四川省綿陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考文科試題含解析

Page19時(shí)間：120分鐘滿分：150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第ⅠⅠ卷（非選擇題）兩部分第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)是（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】解方程組求出，即可得答案.【詳解】由題意知，解，得或，故，其子集有，所以的子集個(gè)數(shù)是4，故選：B2.已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．3.設(shè)向量，且，則（）A.3 B. C.-1 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量的坐標(biāo)形式的共線條件進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意，，又，且，依據(jù)向量共線的條件可知，，解得.故選：D4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義，常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，依據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知其是奇函數(shù)，由其單調(diào)性可知，在時(shí)遞增，故不在上單調(diào)遞增，例如，但，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，設(shè)，則，是奇函數(shù)，但定義域是，無(wú)法在上單調(diào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，又，故是偶函?shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，又時(shí)，，均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.故選：D5.已知等比數(shù)列前項(xiàng)和（為常數(shù)），則的值為（）A. B. C.-1 D.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出，確定的值，即可求得答案.【詳解】由題意等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故必適合上式，故，故選：C6.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由三角形大邊對(duì)大角可知，由在上的單調(diào)性可得，由此可確定結(jié)果.【詳解】由正弦定理以及三角形大邊對(duì)大角可得：，又，在上單調(diào)遞減，，即，“”是“”成立的充分必要條件.故選：C.7.已知函數(shù)，若直線與和的圖象分別交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合函數(shù)的圖象求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的最小值．【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，在上遞增；在上遞增，且，如圖，所以，且，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為，即的最小值為1．故選：B．8.一個(gè)容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部一個(gè)微小的小孔漸漸地勻速漏出，后剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過(guò)后發(fā)覺(jué)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有起先時(shí)的十六分之一，則需再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案．【詳解】依題意有，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，當(dāng)容器中只有起先時(shí)的十六分之一，則有，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為.故選：A.9.已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，將圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得，依據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，依據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得答案.【詳解】依題意，則，解得，所以，將圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，得到函數(shù).由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以在區(qū)間上的最小值為.故選：B.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】將切化弦，結(jié)合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即．故選：C．11.已知實(shí)數(shù)m，n滿意，，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特別值、三角函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)問(wèn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題易知，取，，則，所以A錯(cuò)誤；，所以，B錯(cuò)誤；，，所以，C正確；，，，，即，D錯(cuò)誤.故選：C12.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由題干條件得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而得到最小值，求出答案.【詳解】的定義域?yàn)?，依?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，令，則，由解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故選：A.第II卷（非選擇題，共90分）二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.13.已知為實(shí)數(shù)，，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由投影的定義先分別計(jì)算出，再代入投影公式即可.【詳解】由題意，所以，則向量在向量方向上的投影為.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】對(duì)已知式子利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形可得答案.詳解】由，得，，所以，所以，故答案為：15.已知中，若的面積為為的平分線與邊的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角形面積公式，結(jié)合三角形角平分線的性質(zhì)、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，由余弦定理可知：，因?yàn)榻瞧椒志€，所以，在三角形中，由余弦定理可知：，在三角形中，由余弦定理可知，故答案：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角形角平分線的性質(zhì).16.已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________.【答案】36【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，對(duì)稱(chēng)中心為，所以曲線的對(duì)稱(chēng)中心為，即，因?yàn)?，易知?shù)列為等差數(shù)列，，所以，則，，所以.故答案為：36.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程成演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式，（2）設(shè)，且的前項(xiàng)和為，證明，.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，列方程求解首項(xiàng)和公差，即得答案；（2）由（1）結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和可得表達(dá)式，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，由得，，解得，，即，，結(jié)合，；【小問(wèn)2詳解】證明：由.，即，又隨著n的增大增大，當(dāng)時(shí)，取最小值為，又時(shí)，，且無(wú)限趨近于0，故，故.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求A；（2）求的內(nèi)切圓半徑.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得值，即可得答案；（2）由數(shù)量積定義可得的值，利用余弦定理求出，再結(jié)合三角形面積，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】，故在中，；【小問(wèn)2詳解】由，在中，由余弦定理，，又，r為三角形內(nèi)切圓半徑，.19.在中，從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.求：（1）求；（2）設(shè)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的值.條件：①②.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式、三角恒等變換結(jié)合正弦定理邊化角化簡(jiǎn)即可求解.（2）由二倍角公式、幫助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后結(jié)合圖象將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題即可求解.【小問(wèn)1詳解】若選條件①：由，結(jié)合正弦定理邊化角，，且，，即，又，且，所以，又.若選條件②：，則所以，于是，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，由題意，且由題知，從而.由題知在上與有3個(gè)交點(diǎn).又在的大致圖象如圖：由圖可知，，又，.20.已知函數(shù).（1）若時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值.（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最大值為，最小值為（2）【解析】【分析】（1）先求在上的極值狀況，得到極大值和微小值，然后和端點(diǎn)值，比較，即可得到最大值和最小值；（2）由題意，原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得.當(dāng)時(shí)，，.由，解得；由，解得.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.故又，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【小問(wèn)2詳解】存在實(shí)數(shù)，使不等式的解集恰好為，等價(jià)于函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).，i）當(dāng)時(shí)，由，解得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；由，解得或，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又只須要，解得.ii）當(dāng)時(shí)，明顯只有一個(gè)零點(diǎn)成立.iii）當(dāng)時(shí)，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；由，解得或，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；又只須要，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知函數(shù).（1）求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；（2）已知對(duì)隨意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，將點(diǎn)代入即可得答案；（2）令，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，依據(jù)的符號(hào)合理分類(lèi)探討.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程解得，故切線方程為；【小問(wèn)2詳解】令，則原不等式即為，又，且，若時(shí)，則，再令且，因?yàn)椋?，而，故（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以在上為增函數(shù)，所以，此時(shí)不等式恒成立即恒成立.當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有即在上單調(diào)遞增，若，則，有恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不合題意；若，則存在，使得，故，，有恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不合題意；綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于其次問(wèn)依據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，解答時(shí)結(jié)合的符號(hào)合理分類(lèi)探討，繼而證明在該兩個(gè)范圍內(nèi)不等式恒成立和不成立.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；（2）已知直線（t為參數(shù)），若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別是A、B，求的值．【答案】（1）；；（2）4.【解析】【分析】（1）兩邊同時(shí)乘以，由，可得直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)P的直角坐標(biāo).（2）將直線的參數(shù)方程代入C方程，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：（1）由，得，又，，∴，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為．（2）把直線l的方程代入C方程，整理得，，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是、，則，于是[選修4-5：不等式選講]（1