備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第七章立體幾何與空間向量突破4立體幾何中的翻折問題與探索性問題命題點1翻折問題

突破4立體幾何中的翻折問題與探究性問題命題點1翻折問題例1[全國卷Ⅲ]圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE.（2）求圖2中的二面角B－CG－A的大小.圖1 圖2解析（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，（位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系不變）所以AD∥CG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，（與“折痕”垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不變）又BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.（2）如圖，作EH⊥BC，垂足為H.因為EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCGE＝BC，所以EH⊥平面ABC.由題設(shè)知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝3.以H為坐標原點，HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（－1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG＝（1，0，3），AC＝（2，－1，0）.設(shè)平面ACGD的法向量為n＝（x，y，z），則CG·n所以可得平面ACGD的一個法向量為n＝（3，6，－3）.易知m＝（0，1，0）為平面BCGE的一個法向量，則cos＜n，m＞＝n·m｜由圖可知二面角B－CG－A為銳角，因此二面角B－CG－A的大小為30°.方法技巧1.一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變更.留意利用折疊前的平面圖計算長度.2.（1）與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不變更（常用于翻折后構(gòu)成二面角的平面角）；（2）與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不變更.訓(xùn)練1已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝22，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線翻折到△A'BD的位置（A'不在平面ABCD內(nèi)），則在翻折過程中，下列說法正確的是（B）A.存在某個位置，使得直線BD與直線A'C垂直B.存在某個位置，使得直線A'B與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線BC與直線A'D垂直D.對隨意位置，三對直線“A'C與BD”“CD與A'B”“A'D與BC”均不相互垂直解析翻折前、后的圖形如圖1、圖2所示.在圖1中，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合.在圖2中，連接CE.對于選項A，若A'C⊥BD，因為BD⊥A'E，A'E∩A'C＝A'，所以BD⊥平面A'CE.因為CE?平面A'CE，所以BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相沖突，故選項A錯誤.對于選項B，若A'B⊥CD，因為A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC.因為A'C?平面A'DC，所以A'B⊥A'C，由A'B＜BC可知存在這樣的三角形，使得直線A'B與直線CD垂直，此時A'B＝A'C＝2，故選項B正確.對于選項C，若A'D⊥BC，因為DC⊥BC，A'D∩DC＝D，所以BC⊥平面A'DC.因為A'C?平面A'DC，所以BC⊥A'C，又BC＞A'B，所以不存在這樣的直角三角形，故選項C錯誤.由以上分析可知選項D錯誤.故選B.訓(xùn)練2[2024昆明市模擬]如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝12CD，∠ADC＝120°，E為CD的中點，將△ADE沿AE翻折，使點D落到點P的位置，如圖圖1 圖2（1）證明：PB⊥AE.（2）當二面角P－AE－B等于90°時，求PA與平面PEC所成角的正弦值.解析（1）如圖，取AE的中點O，連接PO，BO，BE.由題意及題圖1知，DA＝DE＝AB＝BE，又PA＝DA，PE＝DE，所以PA＝PE.所以PO⊥AE，BO⊥AE，又PO∩BO＝O，所以AE⊥平面POB.因為PB?平面POB，所以AE⊥PB，即PB⊥AE.（2）因為二面角P－AE－B等于90°，所以平面PAE⊥平面ABCE，又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，所以O(shè)A，OB，OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)AB＝2，由已知得∠APE＝120°，所以O(shè)P＝OB＝1，OA＝OE＝3，則P（0，0，1），A（3，0，0），C（－23，1，0），E（－3，0，0），PA＝（3，0，－1），EP＝（3，0，1），EC＝（－3，1，0）.設(shè)平面PEC的法向量為n＝（x，y，z），則E