2022-2023學(xué)年陜西省西安某中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年陜西省西安高級中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

1.設(shè)集合4={x[l<xW2},則CRA=()

A.{x|x<1或x>2}B.(x\x<1或x>2}

C.{x\x<1或x>2}D.[x\x<1或x>2]

2.下列函數(shù)是基函數(shù)的是()

A.y=_gB.y=x—1C.y=VxD.y=2x2

3.“x>7”是“x>8”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.對于變量“氣壓”的每一個值，變量“水的沸點”都有唯一確定的值與之對應(yīng).對于變量

“油面寬度”，至少存在一個值，使得變量“儲油量”的值與之對應(yīng)的值不唯一.根據(jù)這兩

條信息，給出下列四個結(jié)論：

①水的沸點是氣壓的函數(shù)；

②水的沸點不是氣壓的函數(shù)；

③儲油量是油面寬度的函數(shù)；

④儲油量不是油面寬度的函數(shù).

其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①④B.①③C.②④D.②③

5.已知函數(shù)/(x)滿足Vx,yeR,+y)=/(x)+/(y)+1,且/(I)=1,則f⑶=()

A.3B.4C.5D.6

6.若晝+a=1,則4%2+9y2的最小值為()

A.16B.20C.24D.25

7,若函數(shù)f(x)=在R上是增函數(shù)，則〃的取值范圍是()

A.(2,102]B.(2,+oo)C.(2,102)D.[102,+oo)

8.已知函數(shù)/（%）=Q/+bx+c（a00）的圖象如圖所示，則關(guān)于x

的不等式8/+ex+a<0的解集為（）

A.B.(-oo,-2]U[l,+oo)

1

C.[-2,1]D.(-8,一目U[1,4-00)

9.已知命題“存在ae[-1,+8),使得/(x)=/_ax+a-2為偶函數(shù)”，則()

A.該命題是全稱量詞命題B.該命題是真命題

C.該命題是存在量詞命題D.該命題是假命題

10.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點E在線段AO上，

點F在線段A8上,且線段BF與線段QE的長度相等，設(shè)DE=x,

△4EF的面積為S(x),則()

A.函數(shù)S(x)的定義域為[0,2)

B.5(1)<1

C.函數(shù)S(x)的定義域為(0,2)

D.S(x)有最大值

11.已知集合4={x|-1〈xW7},8={x|a+2<x<2a-l},若使BU4成立的實數(shù)a的

取值集合為M,則M的一個真子集可以是()

A.(—00,4]B.(—oo,3]C.(3,4]D.[4,5)

12.下列命題是真命題的是()

A.若a>b>0,則：>寢

bb+1

B.若一或<%<0,則:n/2-出的最大值為一i

C.若a>0,b>0,則令一代之逐一白

D.若a2(￡>2-1)=1,則@2+Z?2的最小值為3

13.命題p：VmeQ,|m|21的否定為.

14.若f(x)為奇函數(shù),當x>1時,/(x)=3x-7,則〃-2)=.

15.若集合{x《<x<9}恰有8個整數(shù)元素，寫出整數(shù)。的一個值：.

16.如圖所示，定義域和值域均為R的函數(shù)f(x)的圖象給人以

“一波三折”的曲線之美.

(1)若/(乃在(一2,。+2)上有最大值，則a的取值范圍是

(2)方程/'(/(乃)=3的解的個數(shù)為.

17.已知集合集={1,4,6,7},B=[a,a+b].

(1)若Q=b=4,求AnB,AUB；

(2)若b=3,且4CB=B,求a的值.

18.已知函數(shù)/'(x-2)=x2-2x.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)若/(尤)在［a-6,a-4］上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

19.己知f(x)是定義在［-3,3］上的偶函數(shù).

(1)將所給的圖補充完整;

(2)當一3<m<0時,討論f(x)在［一3,6］上的值域.

20.小張同學(xué)在求解“若ab>0,求4+%謂+》的最小值”這道題時，他的解答過程如下:

(第一步)因為ab>0,所以小b同號，所以《，牛,胃，料為正數(shù)，

(第二步)所以&+^>2花田=4,-+^>2區(qū)？=2V2,

''ab\abab7ab

(第三步)所以4+卷)常+^)>8V2,故(，+券)譚+》的最小值為8口

請你指出他在解答過程中存在的問題，并作出相應(yīng)的修改.

21.近幾年，極端天氣的天數(shù)較往年增加了許多，環(huán)境的保護越來越受到民眾的關(guān)注，企業(yè)的

節(jié)能減排被國家納入了發(fā)展綱要中，這也為檢測環(huán)境的儀器企業(yè)帶來了發(fā)展機遇.某儀器公

司的生產(chǎn)環(huán)境檢測儀全年需要固定投入500萬元,每生產(chǎn)x百臺檢測儀器還需要投入y萬元，

(3x2+14x,0<%<50

其中0<x4100,x€可且、=,8000?me，每臺檢測儀售價2萬元，

220%4---——7500,50<x<100

'x-40

且每年生產(chǎn)的檢測儀器都可以售完.

(1)求該公司生產(chǎn)的環(huán)境檢測儀的年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百臺)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求該公司生產(chǎn)的環(huán)境檢測儀年利潤的最大值.

22.已知函數(shù)/Xx)

(1)判斷f(x)在(0,1］上的單調(diào)性，并用定義加以證明；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=//+1+需岑一a，若VXi€［0,l］,€弓,月，9(/)=f(%2)，求。的

取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|l<x<2},

則CR4={x|x>2或x<1}.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合補集的定義，即可求解.

本題主要考查補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)形如丫=乂。（a為常數(shù)）的函數(shù)為募函數(shù)，

由選項可知，C符合.

故選：C.

利用幕函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

本題主要考查某函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：丫{x|x>8}些{x\x>7）,

:.“x>7”是“x>8”的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)函數(shù)定義，自變量每確定一個值，變量就有唯一確定的值與之對應(yīng)，根據(jù)題意,

水的沸點與氣壓符合這個對應(yīng)關(guān)系，而儲油量與油面寬度的對應(yīng)不唯一，不符合定義.

故①④正確，

故選：A.

結(jié)合函數(shù)的定義即可判斷.

本題考查函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/(X)滿足Vx,y&R,f(x+y)=/Q)+/(>)+1，且f(1)=1，

令x=y=1,則/(2)=/(I)+/(I)+1=3,

令久=1,y=2,貝療(3)=/(l)+/(2)+1=1+3+1=5.

故選：C.

利用賦值法可先求出f(2),再令x=Ly=2,即可求出/(3)的值.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由已知可得4/+9y2=(4/+9、2)6+電=4+9+竽+餐213+

2/岑考=13+12=25,

、yL

當且僅當?shù)?等,即/=|,y2=|時取得最小值為25,

故選：D.

利用“1”的代換以及基本不等式化簡即可求解.

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，涉及到“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，

所以憶父；+99,

解得2<aS102.

故選：A.

由已知結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

本題主要考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由圖可知，函數(shù)/(x)的圖象與x軸相切，對稱軸為直線x=l,

函數(shù)的圖象開口向下，

所以，a<0,且f(x)=a/+bx+c=a(x—1產(chǎn)=a/-2ax+a,則b=-2a,c=a,

所以，不等式b/+ex+aW0即為—2a/+ax+aW0,BP2x2—x—1<0,解得一

故不等式b/+ex+a<0的解集為[一^,1].

故選：A.

分析可知a<0,/(x)=a(x-l)2,可得出b=-2a,c=a,再利用二次不等式的解法解不等式

bx2+ex+a<0,即可得解.

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：“存在a+8),使得/(%)=/一。%+。一2為偶函數(shù)”為存在量詞命題，c正

確，

當a=0時,f［x}=x2-2為真命題.

故選：BC.

由己知結(jié)合量詞的定義及偶函數(shù)定義即可判斷.

本題主要考查了含有量詞的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解:依題意DE=BF=X,四邊形A3C￡>是正方形，于是4E=AF=2—%,故S(x)=?之"),

點E在線段4。上，故04%42,定義域是［0,2］,故AC錯誤；

5(1)=1<1,故8正確；

S。)=生券是開口向上，對稱軸為x=2的二次函數(shù)，故在［0,2］上單調(diào)遞減，故x=0時，S(x)有

最大值S(0)=2,故。正確.

故選：BD.

根據(jù)題意用x表示出S(x),然后分析該函數(shù)的性質(zhì)即可.

本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：當8=。時，a+2>2a-l,解得a<3,

當BH0時，-1Wa+2W2a-1W7,解得3<a<4,

故實數(shù)。的取值范圍為(一8,旬,即M=(-8,旬，

所以”的一個真子集可以是(一8,3］或(3,4］.

故選：BC.

根據(jù)已知條件，分集合8是否為空集討論，求出a的取值范圍，再結(jié)合真子集的定義，即可求解.

本題主要考查真子集的定義，以及集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：A：當a>b>0時，稱一得=迪轉(zhuǎn)等9=品>0，故A正確，

B：因為-&<x<0,則-=—Jx2(2—/)2-X+=一1,當且僅當*2=2—

即工=-1時取得最小值為-1,故B錯誤，

C：因”0,8>0,則*_乃_(窈_9)=*_四_曰+9=嗟一若=(?！?4一盍)

2

(Va-V5)(Va+V5)n

海-u，

故C正確；

D：a2(62-1)=1,

匕2=+1,

■■.a2+b2=a2+-^+1>2Ja2x~2+1=3,當且僅當a?=今即a=±1時取等號，故D正確.

故選：ACD.

對選項進行逐個分析，即可解出.

本題考查了不等式的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】3mGQ,|7n|<1

【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為mnieQ,

故答案為：3mG(?,|m|<1.

根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).

14.【答案】1

【解析】解：若/Q)為奇函數(shù)，當x21時，/(x)=3x-7,

則/'(-2)=-/(2)=-(6-7)=1,

故答案為：1.

由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，計算可得所求值.

本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1(答案不唯一)

【解析】解：當a=l時，集合｛*<x<9｝的整數(shù)元素為1,2,3,4,5,6,7,8.

故答案為：1(答案不唯一).

根據(jù)已知條件，結(jié)合元素與集合關(guān)系，即可求解.

本題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(-3,3]4

【解析】解：(1)由圖象可知函數(shù)在(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單

調(diào)遞增，且/(一1)=f(5)=3,

若在(—2,a+2)上有最大值，

則有{彳m，，

1—1<a+2<5

所以—3<a43,

故a的取值范圍是(—3,3]；

(2)令/'(x)=t,/(t)=3nt=—1,或t=5,

若“切=-1,根據(jù)函數(shù)的圖象可知，方程有三個不相等實根；

若f(x)=5,根據(jù)函數(shù)的圖象可知，方程有一個實根，

所以方程/(/(%))=3的解的個數(shù)為4,

故答案為：(—3,3];4.

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合最大值的定義進行求解即可；

(2)利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法進行求解即可.

本題主要考查了函數(shù)的定義域及值域的求解，還考查了方程的根與函數(shù)圖象的交點之間關(guān)系的轉(zhuǎn)

化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(l)a=6=4.

則B={4,8},

A={146,7},

則力CB={4},AUB={1,4,6,7,8}.

(2)AC\B=B,

???BQA,

當a=l時，集合8={1,4},符合題意，

當a=4時，集合B={4,7},符合題意，

當a=6時，集合B={6,9},不符合題意，

當a=7時，集合B={7,10},不符合題意，

綜上所述，a的值為1或4.

【解析】(1)先求出集合8,再結(jié)合交集、并集的定義，即可求解.

(2)由題意可得，BQA,再分類討論，即可求解.

本題主要考查并集、交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因為/(x-2)=/—2x,令t=x—2,則x=t+2,

則/'?)=?+2)2-2(t+2)=t2+2t,

則/(%)=x2+2x；

(2)因為/"(X)=X2+2X,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，“X)在(―8,-1］上單調(diào)遞減，

則a-4W-l,即aW3,

故a的取值范圍為(-8,3］.

【解析】(1)根據(jù)換元法可解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可解：

本題考查函數(shù)解析式求法以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴因為/(x)是定義在［一3,3］上的偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對稱，作出圖像如下

圖所示：

(2)可設(shè)/(x)=kx+b,(-3<%<-1)

由圖像可知：/(-3)=4,/(-I)=-2.

所以｛-氏第U，解得：｛?=

所以f(x)=-3x-5,(-3<x<-1).

同理可求：/(x)=5x4-3,(-1<x<0).

當一3<mW-l時，/(%)在［-3,利上單減，，則f(x)的值域為［-3m-5,4］；

當一l<m<0時，/(乃在上單減，在［-1,澗上單增,且/(m)</(0)=3<4,則f(x)的

值域為［-2,4］.

綜上,當一3cm4—1時,f(x)的值域為［一3巾—5,4］：當—l<m<0時，f(x)的值域為［―2,4］.

【解析】(1)利用偶函數(shù)的性質(zhì)，保持)，軸右側(cè)圖象不變，將右側(cè)圖像關(guān)于y軸對稱；

(2)利用單調(diào)性及函數(shù)圖象求值域.

本題考查偶函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及分段函數(shù)求值域，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：第二步，兩次等號成立的條件分別為6=2a且a=夜兒此時a,〃不存在，顯然

等號不成立，

修改：因為ab>0,所以小b同號，所以巴卷，織奧為正數(shù)，

abab

(1+y)(^+》=今+整+929+4歷當且僅當/=夜a2時取等號，

故(5+專)譚+9的最小值9+4^2.

【解析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意知，當0<x<50時，L(x)=200x-3x2-14x-500=-3x2+186x-

500,

當50<x<100,L(x)=200x-220x-+7500-500=-(20x++7000,

3x2+186x—500,0<x<50,x6N

綜上，'(x)=1(20%+鬻)+7000,50<x<100,%GN'

(2)當0<x<50時，L(x)=-3x2+186%-500=-3(x-31)2+2383,

所以當x=25時，L(x)取得最大值2383,

當50d)0,L(x)=-(20%+鬻)+7000,

L'M=-20+-^2，

(x-40)z

令-20+8。00=o則x=60,

(x-40)z

當50Wx<60時,L'(x)>0,L(x)遞增，當x>60時,Lz(x)<0,L(x)遞減，

故當x=60時，L(x)取得最大值L(60)=5400,因為5400>2383,

故當x=60(百臺)，該公司生產(chǎn)的環(huán)境檢測儀年利潤最大，最大值為5400萬元.

【解析】(1)根據(jù)利潤=銷售收入-固定成本-投入成本，即可得到年利潤〃%)(萬元)關(guān)于