高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：7 4 1 二項分布(人教A版)

7.4二項分布與超幾何分布7．4.1二項分布

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征.2.能用二項分布解決簡單的實際問題.通過學(xué)習(xí)二項分布的概念及研究其數(shù)字特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是在中國民間流傳很廣的一句諺語，這句諺語是非常有道理的，下面我們從概率的角度來探討一下這個問題：假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團，假定對某事進行決策時，每名謀士決策正確的概率為0.7，諸葛亮決策正確的概率為0.85，現(xiàn)在要為某事能否可行征求每位謀士的意見，并按照多數(shù)人的意見作出決策，試比較諸葛亮和智囊團決策正確概率的大?。畣栴}上述情境中的問題，假如讓你猜想的話，你能得到正確的答案嗎？提示智囊團決策正確的概率要大于諸葛亮決策正確的概率，具體怎么計算的通過學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容即可解決．1．n重伯努利試驗的概念

只包含____個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗具有如下共同特征 (1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次； (2)各次試驗的結(jié)果相互獨立．兩3．二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：P(X＝k)＝_________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作__________________．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝________________．X～B(n，p)np(1－p)拓展深化[微判斷]1．在n重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響．

(

)2．在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同．

(

)

提示在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率均相同．×√√[微訓(xùn)練]2．連續(xù)擲一枚硬幣5次，

恰好有3次出現(xiàn)正面向上的概率是__________．2．連續(xù)擲一枚硬幣5次，

恰好有3次出現(xiàn)正面向上的概率是__________．3．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，

此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為__________．

解析設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X～B(3，0.6)．[微思考]1．你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X～B(n，p)中，當(dāng)n＝1時，二項分布便是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式．2．在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎？

提示

在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互之間無影響．因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的，所以第i＋1次試驗的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其中i＝1，2，…，n－1).

題型一n重伯努利試驗的判斷【例1】判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗： (1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上； (2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中； (3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．解(1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗．(3)每次抽取時，球的個數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗．規(guī)律方法

n重伯努利試驗的判斷依據(jù)(1)要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復(fù)進行．(2)每次試驗的結(jié)果相互獨立，互不影響．【訓(xùn)練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D【訓(xùn)練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D題型二n重伯努利試驗概率的求法【例2】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位) (1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率； (2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率．

解(1)記“預(yù)報一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8. 5次預(yù)報相當(dāng)于5次伯努利試驗． “恰有2次準(zhǔn)確”的概率為(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.規(guī)律方法n重伯努利試驗概率求解的關(guān)注點(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式．(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗中某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關(guān)公式求概率．解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因為各次射擊的結(jié)果互不影響，故所求概率為(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，符合n重伯努利試驗概率模型．故所求概率為X的分布列為(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(X≤3)，規(guī)律方法解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【訓(xùn)練3】

某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%. (1)求從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差； (2)求從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及

標(biāo)準(zhǔn)差．

解(1)用Y表示抽得的正品數(shù)，則Y＝0，1. Y服從兩點分布，且P(Y＝0)＝0.02，P(Y＝1)＝0.98，

所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196. (2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10，0.98)，

所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．n重伯努利試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．答案B答案C3．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為X，則D(X)等于(

)解析因為X～B(2，p)，所以X的分布列為備用工具&資料3．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為X，則D(X)等于(

)【訓(xùn)練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)．

其中是n重伯努利試驗的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重伯努利試驗．

答案D[微思考]1．你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X～B(n，p)中，當(dāng)n＝1時，二項分布便是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式．2．在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎？

提示

在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互之間無影響．因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的，所以第i＋1次試驗的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其中i＝1，2，…，n－1).

3．二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：