高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：8 2 2 第二課時 非線性回歸模型及其應(yīng)用 (1)(人教A版)

第二課時非線性回歸模型及其應(yīng)用課標要求素養(yǎng)要求1.進一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用相關(guān)統(tǒng)計軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.通過學(xué)習(xí)回歸模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究在實際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運用散點圖選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型來擬合觀測數(shù)據(jù)，然后通過適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程．提示不一定；越小越好．1．殘差的概念2．刻畫回歸效果的方式 (1)殘差圖法

作圖時________為殘差，________可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好． (2)殘差平方和法縱坐標橫坐標(3)利用R2刻畫回歸效果決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報變量的能力．×√拓展深化[微判斷]1．殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好．

(

)2．在畫兩個變量的散點圖時，

響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上．

(

)

提示在畫兩個變量的散點圖時，

響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上．3．R2越小，

線性回歸模型的擬合效果越好．

(

)

提示

R2越大，

線性回歸模型的擬合效果越好．×[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中，

殘差圖的縱坐標為__________．

答案殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中，

殘差圖的縱坐標為__________．

答案殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．[微思考]

在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，需要注意哪些問題？

提示

(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；(2)所建立的經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果好，超出這個范圍越遠，預(yù)報的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753列出殘差表：00.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4規(guī)律方法

(1)解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對實際問題進行分析．(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．【訓(xùn)練1】某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2011201220132014201520162017年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(2)利用(1)中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為解

（1）由所給數(shù)據(jù)計算得題型二殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用

【例2】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)報有效穗；(3)計算各組殘差，并計算殘差平方和；(4)求R2，并說明(2)中求出的回歸模型的擬合程度．解(1)散點圖如下．【訓(xùn)練2】為研究質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進行殘差分析．解(1)散點圖如圖所示．樣本點分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正錯誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．題型三非線性回歸分析【例3】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點圖．(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過計算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．【訓(xùn)練3】下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325解(1)作出散點圖如下圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對y＝c1ec2x兩邊取對數(shù)，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，則有變換后的樣本點應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．當根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)得到的散點圖并不是分布在一條直線附近時，就不能直接求其回歸直線方程了，這時可根據(jù)得到的散點圖，選擇一種擬合得最好的函數(shù)，常見的函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，然后進行變量置換，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(

) A．角度和它的余弦值 B．正方形的邊長和面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和 D．人的年齡和身高

解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系．A，B，C三項中的兩個變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達式，分別為f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D選項中的兩個變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選D.

答案D2．(多選題)關(guān)于殘差圖的描述正確的是(

) A．殘差圖的橫坐標可以是樣本編號 B．殘差圖的橫坐標也可以是解釋變量或預(yù)報變量 C．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小 D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小解析殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時，R2的值越大，故描述錯誤的是C.答案ABD3．某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：x16171819y50344131答案C4．在研究硝酸鈉的溶解度時，觀察它在不同溫度(x)的水中溶解度(y)的結(jié)果如下表：溫度x010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回歸直線的斜率是__________．答案0.88095．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，t4210.50.25y1612521由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125備用工具&資料由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.31255．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y12107532．刻畫回歸效果的方式 (1)殘差圖法

作圖時________為殘差，________可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合