高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：3 2 2 第二課時(shí) 雙曲線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用(人教A版)

第二課時(shí)雙曲線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解直線與雙曲線的位置關(guān)系.2.會(huì)求解有關(guān)弦長問題.通過運(yùn)用雙曲線的方程與性質(zhì)解決問題，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是解答雙曲線基本問題的法寶，這節(jié)課我們將在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并運(yùn)用它們解決有關(guān)直線與雙曲線的綜合問題.問題類比直線與橢圓的位置關(guān)系可知直線與雙曲線有幾種位置關(guān)系？提示有三種位置關(guān)系，分別為相交、相切、相離三種情況.1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線不一定相切漸近線兩個(gè)一個(gè)沒有拓展深化[微判斷]×√1.過點(diǎn)A(1，0)作直線l與雙曲線x2－y2＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線可作2條.(

)

提示過A(1，0)作直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)這樣的直線可作3條.兩條平行于漸近線，一條與雙曲線相切.2.直線l：y＝x與雙曲線C：2x2－y2＝2有兩個(gè)公共點(diǎn).(

)[微訓(xùn)練][微思考]如何判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系？提示將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定.[微思考]如何判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系？提示將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定.題型一直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)當(dāng)1－k2≠0，即k≠±1時(shí)，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).此時(shí)方程(*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1－k2＝0，即k＝±1時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程(*)化為2x＝5，故方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線l與雙曲線相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).故當(dāng)k＝±或±1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).此時(shí)方程(*)無實(shí)數(shù)解，即直線l與雙曲線無公共點(diǎn).規(guī)律方法(1)解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與漸近線平行的特殊情況.(2)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目，應(yīng)分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)注意對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論.規(guī)律方法(1)解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與漸近線平行的特殊情況.(2)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目，應(yīng)分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)注意對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論.解(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝1與雙曲線相切，符合題意.(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.當(dāng)4－k2＝0時(shí)，k＝±2，l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；題型二弦長公式及中點(diǎn)弦問題解易得雙曲線的左焦點(diǎn)為F1(－2，0)，與雙曲線方程聯(lián)立，消y得8x2－4x－13＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，規(guī)律方法雙曲線中有關(guān)弦長問題，解決方法與橢圓中類似.解決中點(diǎn)弦問題常用判別式法和點(diǎn)差法，注意所求參數(shù)的取值范圍.∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，∵點(diǎn)B(1，1)是弦的中點(diǎn)，故雙曲線上不存在被點(diǎn)B(1，1)所平分的弦.法二設(shè)雙曲線上存在被點(diǎn)B平分的弦MN，且點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，又Δ＝－8<0，∴直線MN與雙曲線不相交，故雙曲線上不存在被點(diǎn)B平分的弦.∴直線MN的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.題型三直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合問題規(guī)律方法解決綜合問題時(shí)，可以仿照橢圓的處理思路，借助于方程思想，將問題進(jìn)行化歸，然后利用直線與雙曲線位置關(guān)系進(jìn)行求解.解(1)顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)k＝1時(shí)，滿足Δ>0，∴直線AB的方程為y＝x＋1.(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.雙曲線的綜合問題常常涉及離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力. (1)當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí)，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立關(guān)系求解. (2)當(dāng)與直線有關(guān)時(shí)，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解.二、素養(yǎng)訓(xùn)練答案A2.“直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的(

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線不一定相切(直線與雙曲線的漸近線平行時(shí))；直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線一定有唯一交點(diǎn).答案B3.直線y＝x－1被雙曲線2x2－y2＝3所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1)答案C解析易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，則該直線的方程為y＋1＝k(x－3)，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，∴所求直線方程為3x＋4y－5＝0.答案3x＋4y－5＝0解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AB|＝|y1－y2|＝4，滿足題意.答案3備用工具&資料解析易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，則該直線的方程為y＋1＝k(x－3)，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，∴所求直線方程為3x＋4y－5＝0.答案3x＋4y－5＝0拓展深化[微判斷]×√1.過點(diǎn)A(1，0)作直線l與雙曲線x