相似三角形的性質及應用-知識講解（提高）

【學習目標】1、探索相似三角形的性質，能運用性質進行有關計算；2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學問題）.【要點梳理】要點一、相似三角形的性質【相似三角形的性質及應用1．相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.3.相似三角形周長的比等于相似比∽∽由比例性質可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的.要點二、相似三角形的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.相似三角形的性質及應用要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影測量法手臂測量法標桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度根據(jù)相似三角形的性質，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質計算AB的長.要點詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離;2．太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影之比等于其對應高的比;3．視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角.【典型例題】類型一、相似三角形的性質1.如圖，在。ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE，EF與CD交于點G.（1）求證：BD∥EF；（（2）若=，BE=4，求EC的長.【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊的判定與性質，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得答案.【答案】B.【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵DF=BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF；（2）∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF=BE=4.∵DF∥EC，∴CE==4×=6.【總結升華】本題考查了相似三角形的判定與性質，利用了平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質.舉一反三【變式】在銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.【答案】過點B做BF⊥AC,垂足為點F，∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,,∴S△ABC=AC.BF=18，:BF=6.2.已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，【答案與解析】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE.∵S△ADE=1，∴S△BCE=4.∴S△ABC=6.∵EF∥BC，【總結升華】注意，同底(或等底)三角形的面積比等于該底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對應底邊的比．當兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應線段比的平方，即相似比的平方.舉一反三：【變式】如圖，已知中，.AI=5，BC=3，AC-4，pgitAB，點P在AC上，(與點A,C不重合)，點在BC上.(1)當?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長.(2)當?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長.【答案】(1)∵,.(2)∵的周長與四邊形的周長相等.=6，.類型二、相似三角形的應用3.如圖，直立在B處的標桿AB=2.4m，直立在F處的觀測者從E處看到標桿頂A、樹求樹高CD.【答案與解析】解：過E作EH⊥CD交CD于H點，交AB于點G，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米.答：故樹高DC為5.2米.【總結升華】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，關鍵是正確作出輔助線，構造出相似三角形.舉一反三：【變式】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EF=AB=1.8m.4.如圖，正方形ABCB1中，AB=1．AB與直線l的夾角為30。，延長CB1交直線l于點A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點A2，作正方形A2B2C2B3，延長C2B3交直線l于點A3，作正方形A3B3C3B4，…,依此規(guī)律，則A2014A2015=.【思路點撥】本題考查相似三角形的判定與性質以及正方形的性質，根據(jù)已知條件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=22，A3A4=23，從而找出規(guī)律答案即可求出.【答案與解析】22014解：∵四邊形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴A1B1=，AA1=2，∴A1A2=