相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用-知識(shí)講解（提高）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題（如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)【相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比∽∽由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法影測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng).2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).要點(diǎn)詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;2．太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角.【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)1.如圖，在。ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE，EF與CD交于點(diǎn)G.（1）求證：BD∥EF；（（2）若=，BE=4，求EC的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.【答案】B.【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵DF=BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF；（2）∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF=BE=4.∵DF∥EC，∴CE==4×=6.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì).舉一反三【變式】在銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.【答案】過點(diǎn)B做BF⊥AC,垂足為點(diǎn)F，∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽R(shí)t△CEB,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,,∴S△ABC=AC.BF=18，:BF=6.2.已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，【答案與解析】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE.∵S△ADE=1，∴S△BCE=4.∴S△ABC=6.∵EF∥BC，【總結(jié)升華】注意，同底(或等底)三角形的面積比等于該底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方.舉一反三：【變式】如圖，已知中，.AI=5，BC=3，AC-4，pgitAB，點(diǎn)P在AC上，(與點(diǎn)A,C不重合)，點(diǎn)在BC上.(1)當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng).(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】(1)∵,.(2)∵的周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等.=6，.類型二、相似三角形的應(yīng)用3.如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m，直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹求樹高CD.【答案與解析】解：過E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米.答：故樹高DC為5.2米.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形.舉一反三：【變式】已知：如圖，陽(yáng)光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EF=AB=1.8m.4.如圖，正方形ABCB1中，AB=1．AB與直線l的夾角為30。，延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長(zhǎng)C2B3交直線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4，…,依此規(guī)律，則A2014A2015=.【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=22，A3A4=23，從而找出規(guī)律答案即可求出.【答案與解析】22014解：∵四邊形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴A1B1=，AA1=2，∴A1A2=