新課標1、2卷立體幾何高考題含答案(2013-2016)20161118

PAGEPAGE4全國卷高考題（立體幾何）20161118學號姓名2014新課標2卷18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.DDDD1C1A1EFABCB1如圖，長方體中,，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．2013新課標2卷18．(2013課標全國Ⅱ，理18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝.(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．2013新課標1卷18．(2013課標全國Ⅰ，理18)(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1答案：2014新課標2卷（18）解：（I）連接BD交AC于點O,連結EO。因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點。又E為PD的中點，所以EO∥PB。EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.（Ⅱ）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直。如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則.設，則。設為平面ACE的法向量，則即，可取。又為平面DAE的法向量，由題設，即，解得。因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為.三菱錐的體積.2015新課標2卷（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為，則，，因為為正方形，所以．于是，所以．以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設是平面的法向量，則即所以可取．又，故．所以直線與平面所成角的正弦值為．考點：1、直線和平面平行的性質；2、直線和平面所成的角．2013新課標2卷解：(1)連結AC1交A1C于點F，則F為AC1又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.設CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．設n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n＝(1，－1，－1)．同理，設m是平面A1CE的法向量，則可取m＝(2,1，－2)．從而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值為.2013新課標1卷(1)證明：取AB的中點O，連結OC，OA1，A1B.因為CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB.因為OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C平面OA1C，故AB⊥A1(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz.由題設知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．則＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．設n＝(x，y，z)是平面BB1C則即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C與平面BB1C12014新課標1卷(Ⅰ)連結，交于O，連結AO．因為側面為菱形，所以，且O為與的中點．又，所以平面，故又

，故（Ⅱ）因為且O為的中點，所以AO=CO

又因為AB=BC，所以故OA⊥OB，從而OA，OB，兩兩互相垂直．

以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，OB為單位長，建立如圖所示空間直角坐標系O-．

因為，所以為等邊三角形．又AB=BC，則，，，，設是平面的法向量，則，即所以可取設是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.2015新課標1卷∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分（Ⅱ）如圖，以G為坐標原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.……12分考點：空間垂直判定與性質；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力2016新課標2卷⑴證明：∵，∴，∴．∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如圖坐標系．，，，，，，，設面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴．2016新課標1卷【解析】=1\*GB2⑴ ∵為正方形