2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第08講 直線的方程（學(xué)生版）

第第頁第08講直線的方程【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標(biāo)公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程SKIPIF1<0由直線上一定點及其斜率決定，我們把SKIPIF1<0叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為SKIPIF1<0時，直線方程為SKIPIF1<0；3、當(dāng)直線傾斜角為SKIPIF1<0時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：SKIPIF1<0．4、SKIPIF1<0表示直線去掉一個點SKIPIF1<0；SKIPIF1<0表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，根據(jù)直線的點斜式方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．我們把直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)SKIPIF1<0叫做直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距，方程SKIPIF1<0由直線的斜率SKIPIF1<0與它在SKIPIF1<0軸上的截距SKIPIF1<0確定，所以方程SKIPIF1<0叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線SKIPIF1<0在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點SKIPIF1<0的點斜式方程得到；3、當(dāng)SKIPIF1<0時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直線的斜率，SKIPIF1<0是直線在SKIPIF1<0軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的直線方程為SKIPIF1<0，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當(dāng)直線沒有斜率(SKIPIF1<0)或斜率為SKIPIF1<0時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與SKIPIF1<0選擇的順序無關(guān)．4、在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式SKIPIF1<0通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式SKIPIF1<0，從而得到的方程中，包含了SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，與y軸的交點為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則過AB兩點的直線方程為SKIPIF1<0，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是SKIPIF1<0，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c的坐標(biāo)，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為SKIPIF1<0，這個方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)SKIPIF1<0時，方程可變形為SKIPIF1<0，它表示過點SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，方程可變形為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，它表示一條與SKIPIF1<0軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線上一定點，SKIPIF1<0是斜率不垂直于SKIPIF1<0軸斜截式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是斜率，SKIPIF1<0是直線在y軸上的截距不垂直于SKIPIF1<0軸兩點式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線上兩定點不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸截距式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線在x軸上的非零截距，SKIPIF1<0是直線在y軸上的非零截距不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，且不過原點一般式SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多SKIPIF1<0，應(yīng)用時若采用SKIPIF1<0的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應(yīng)用1、已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．2、據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．(1)從斜截式考慮已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．(2)從一般式考慮：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，記憶式(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．【典例例題】題型一：點斜式直線方程例1．已知直線的方程是SKIPIF1<0，則()A．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1C．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點SKIPIF1<0，斜率為1例2．過點SKIPIF1<0且傾斜角為150°的直線l的方程為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0題型二：斜截式直線方程例3．寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(2)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(3)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0．題型三：兩點式直線方程例4．在SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0邊上中線所在直線的兩點式方程．題型四：截距式直線方程例5．已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.題型五：中點坐標(biāo)公式例6．直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0恰為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0的方程為__________.例7．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段PQ的中點為SKIPIF1<0，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程例8．已知SKIPIF1<0的三個頂點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為______．例9．寫出過點SKIPIF1<0，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程__________.題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例10．已知SKIPIF1<0的三個頂點分別是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．例11．已知SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求過點SKIPIF1<0，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的一般式方程.題型八：判斷動直線所過定點例12．已知直線SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，直線SKIPIF1<0總是經(jīng)過定點，則定點坐標(biāo)為______.例13．無論SKIPIF1<0為何值，直線SKIPIF1<0必過定點坐標(biāo)為______題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題例14．已知直線l過點SKIPIF1<0，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)SKIPIF1<0時，求直線l的方程．(2)當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時，求直線l的方程．例15．已知直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0．(1)求證：不論SKIPIF1<0為何值，直線必過定點SKIPIF1<0；(2)過點SKIPIF1<0引直線SKIPIF1<0，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求SKIPIF1<0的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．經(jīng)過點SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．過點SKIPIF1<0且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．過點SKIPIF1<0，且與原點距離最遠(yuǎn)的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2，且SKIPIF1<0，若直線PA的方程為SKIPIF1<0，則直線PB的方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知直線SKIPIF1<0過定點P，若點P在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題6．經(jīng)過點SKIPIF1<0，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l為______．7．已知直線SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，直線SKIPIF1<0總是經(jīng)過定點，則定點坐標(biāo)為______.8．已知點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為d，則d的最大值是______．9．設(shè)SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0的動直線SKI