廣西三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題含解析

Page232024年廣西三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟高二年級(jí)10月聯(lián)考（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題可得.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】.故選：B.3.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若，則的夾角是鈍角B.若，則C.若，則D.空間中任何兩個(gè)向量都是共面對(duì)量【答案】D【解析】【分析】由空間向量數(shù)量積的定義即可推斷A，由空間向量的位置關(guān)系即可推斷BC，由共面對(duì)量的定義即可推斷D.【詳解】對(duì)于，若夾角為，則成立，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則不愿定垂直，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，不愿定平行，C錯(cuò)誤對(duì)于D，若空間任何兩個(gè)向量必定共面，D正確.故選：D.4.直線與直線，則的充要條件是（）A.3 B. C.3或 D.1或【答案】B【解析】【分析】由一般式直線方程平行條件求的值，并檢驗(yàn).【詳解】由直線與直線平行，得，即，即或，當(dāng)時(shí)，，即，重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，滿意.綜上.故選：B5.已知，是不同的直線，，是不同的平面，下列命題中，正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和符號(hào)表示，推斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【詳解】在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則，故B錯(cuò)誤；在C中，必需平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，此時(shí)兩平面才平行，故C錯(cuò)誤；在D中，，時(shí)，過(guò)作平面，所以，且，所以，故D正確.故選：D.6.已知三邊所在直線方程為，，，則邊上的高所在直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)邊上的高和直線垂直得到，聯(lián)立直線和的方程得到，然后寫(xiě)直線方程即可.【詳解】設(shè)則邊上的高所在直線的斜率為，，，，聯(lián)立，得，∴邊上的高所在直線的方程為.故選：A.7.棱長(zhǎng)為2的正方體中，是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】的中點(diǎn)為，有，余弦定理求即可；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角.【詳解】解法一：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，分別是的中點(diǎn)，，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.正方體棱長(zhǎng)為2，面對(duì)角線長(zhǎng)為，由正方體的結(jié)構(gòu)可知，中，，，則，同理，在中，，，由余弦定理可知.所以異面直線與所成角的余弦值是.解法二：以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，有，，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：A.8.幾何學(xué)史上有一個(gè)聞名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試著在邊上找一點(diǎn)，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn).依據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，該圓的方程是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出線段的垂直平分線，依題意圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因?yàn)樵搱A與軸相切，所以圓的半徑，依據(jù)，得到方程求出的值，即可得解.【詳解】由題意可知，點(diǎn)為過(guò)兩點(diǎn)且和軸相切的圓的切點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線方程為，所以以為弦的圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因?yàn)樵搱A與軸相切，所以圓的半徑，又，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，是鈍角，故舍去.所以此時(shí)圓的方程為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線與圓相切于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)直線與圓相切求出直線斜率k推斷A，求出在坐標(biāo)軸上的截距推斷B，依據(jù)直角三角形推斷C，再由圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)距離求最值推斷D.【詳解】如圖，因?yàn)椋詧A心到直線的距離等于半徑2，即，解得直線斜率，所以A正確.中，令，則，令，則，，故B正確.因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)為，則，所以.所以選項(xiàng)C正確.的最大值等于，所以選項(xiàng)D不正確.故選：ABC10.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列正確的是（）A. B.C.的長(zhǎng)為 D.【答案】AD【解析】【分析】AB選項(xiàng)，依據(jù)空間向量基本定理進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，表達(dá)出，平方后由空間向量數(shù)量積公式得到，得到模長(zhǎng)；D選項(xiàng)，利用空間向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確，B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤：C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：D選項(xiàng)，對(duì)于，，故，又，則，D正確.故選：AD.11.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，，側(cè)面為正三角形，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B平面平面C.二面角的平面角是D.三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，然后依據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可得到；B選項(xiàng)，依據(jù)二面角平面角的定義得到是二面角的平面角，然后通過(guò)勾股定理得到即可說(shuō)明二面角是直二面角，即可證明面面垂直；C選項(xiàng)，依據(jù)，平面得到，，即可得到是二面角的平面角；D選項(xiàng)，依據(jù)球心的性質(zhì)得到是三棱錐外接球的外心，然后利用勾股定理得到外接球半徑即可求外接球的表面積.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)楹投际堑冗吶切危瑒t，，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；是二面角的平面角，，又，所以，即，所以二面角是直二面角，所以平面平面，故B正確；因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)椋矫?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，平面，所以平面，同理平面，設(shè)分別是和的中心，如圖，作與交于點(diǎn)，則平面，平面，所以是三棱錐外接球的外心，由于，是正方形，，而，所以即為外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.12.已知與交于兩點(diǎn)，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.到直線距離最小值為BC.存在點(diǎn)，使得為等邊三角形D.最小值為2【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合基本不等式即可推斷A，求出A,B坐標(biāo)，計(jì)算出的表達(dá)式，利用換元法和配方法即可推斷BD，通過(guò)假設(shè)存在這樣的等邊三角形，利用等邊三角形性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)，對(duì)A，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)，聯(lián)立有，解得或，則不妨假設(shè)，則，令則，則，當(dāng)，即，即或（舍去）時(shí)取等，故B正確.，D不正確，最小值為1.對(duì)C，若要為等邊三角形，則首先點(diǎn)為線段的垂直平分線和曲線的交點(diǎn)，則垂直平分線的所在直線的方程為，將其與曲線聯(lián)立得解得或（舍去），此時(shí)，而，則，則不存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，故錯(cuò)誤.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線過(guò)點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，，再寫(xiě)出直線的方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)?，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，，由直線過(guò)點(diǎn)?，直線的方程為：，即.故答案為：.14.已知?是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若滿意，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)數(shù)量積公式綻開(kāi)，再化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的有界性求最值.【詳解】，，即，.故答案為：15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，利用求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則,則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：16.已知圓，點(diǎn)，若圓上隨意一點(diǎn)都滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用題中條件得到，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，進(jìn)一步得到圓上的點(diǎn)到的距離的最小值大于，列出不等式，解出即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則即：，則，設(shè)，即，即圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值大于，又圓心，半徑，則圓上的點(diǎn)到的距離的最小值為，故只需，即，解得：故答案為：.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓，直線過(guò)點(diǎn).（1）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的斜率；（2）線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點(diǎn)和點(diǎn)之間的關(guān)系式，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿意的關(guān)系式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿意的條件，即可求出.【小問(wèn)1詳解】已知的圓心是，半徑是，設(shè)直線斜率為則直線方程是，即，則圓心到直線距離為，解得直線的斜率.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)則，由點(diǎn)是的中點(diǎn)得，所以①因?yàn)樵趫A上運(yùn)動(dòng)，所以②①代入②得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程是.18.在中，已知角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)得到，即可得到；（2）依據(jù)三角形面積公式和余弦定理列方程得到，，然后借助完全平方公式得到，即可求三角形周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由，可得，解得或（舍去），又，.【小問(wèn)2詳解】，，由得，又由余弦定理得，，解得，的周長(zhǎng)為.19.如圖，在正四棱柱中，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若正四棱柱的外接球的表面積是，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，則，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）求出正四棱柱的外接球半徑，進(jìn)而可求出，依據(jù)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接；分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，正四棱柱的外接球的半徑為，因?yàn)檎睦庵耐饨忧虻谋砻娣e，解得，由題意為正四棱柱的外接球的直徑，由，得，解得或（舍），即.20.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行跳繩競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則如下：進(jìn)行兩輪跳繩競(jìng)賽，每人每輪競(jìng)賽在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上得1分，跳繩不夠200次得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為跳繩王，得分相同則進(jìn)行加賽直至有一方勝出為止.依據(jù)以往成果分析，已知甲在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，乙在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，且每輪競(jìng)賽中甲、乙兩人跳繩的成果互不影響.（1）求兩輪競(jìng)賽結(jié)束乙得分為1分的概率；（2）求不進(jìn)行加賽甲就獲得跳繩王的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由相互獨(dú)立事務(wù)的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，由相互獨(dú)立事務(wù)的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【小問(wèn)1詳解】設(shè)“甲第輪得一分”，設(shè)“乙第i輪得一分”，設(shè)“兩輪競(jìng)賽甲得分”，設(shè)“兩輪競(jìng)賽乙得分”，所以兩輪競(jìng)賽結(jié)束乙得分為1分的概率為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)“不進(jìn)行加賽甲就獲得跳繩王”.所以不進(jìn)行加賽甲就獲得跳繩王的概率為.21.如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明平面即可；（2）用向量法求角度及基本不等式即可【小問(wèn)1詳解】的中點(diǎn)為中點(diǎn)，，又，可得，又直圓柱的上、下底面圓心分別為平面平面.且平面平面；又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，過(guò)作軸//，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，所以，設(shè)，；設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則時(shí)，，.22.已知圓為圓上一點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）圓的圓心為，與圓相交于、兩點(diǎn)，為圓上相異于、的點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)、，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：將轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)確定的直線的斜率，然后依據(jù)相切求斜率即可；方法二：將轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)確定的直線的斜率，然后利用勾股定理和傾斜角求斜率即可；（2）設(shè)，，，然后寫(xiě)出直線和的方程，即可得到，，然后依據(jù)三角形面積公式得到，最終依據(jù)的范圍求最值即可.【小問(wèn)1詳解】方法一：可看做動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)確定的直線的斜率，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線可設(shè)為，即，圓半徑為2，當(dāng)點(diǎn)