函數(shù)的最大(小)值高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.3函數(shù)的最大(小)值(2)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.利用導數(shù)解決函數(shù)問題．2.通過對生活中優(yōu)化問題的學習，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用．3.通過對實際問題的研究，培養(yǎng)分析問題、解決問題及數(shù)學建模的能力．活動方案例1給定函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調性，并求出f(x)的極值；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的個數(shù)．活動一利用導數(shù)研究函數(shù)問題

【解析】

(1)函數(shù)的定義域為R.f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2.f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示：函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質．通常可以按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的大致圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的零點；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，并得出f(x)的單調性與極值；(4)確定f(x)的圖象所經過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；(5)畫出f(x)的大致圖象．【解析】

(1)由題意，得f(x)的定義域為R，f′(x)＝a·ex－x－1，若函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f′(x)＝a·ex－x－1＝0有兩個變號零點，當h(x)＝0時，x＝－1，當x→－∞時，h(x)→－∞，當x→＋∞時，h(x)→0且為正數(shù)，則h(x)的圖象如圖所示，所以0<a<1.故實數(shù)a的取值范圍是(0,1)．例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.(1)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(2)瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最?。炕顒佣?shù)在實際生活中的應用

(1)當半徑為6cm時，利潤最大．(2)當半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．實際問題一定要注意自變量的取值范圍，利用導數(shù)解決利潤等實際意義量的最值問題．在經濟學中，生產x單位產品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x)；出售x單位產品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)；R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)．(1)設C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生產多少單位產品時，邊際成本C′(x)最低？(2)設C(x)＝50x＋10000，產品的單價p(x)＝100－0.01x，怎樣定價可使利潤最大？【解析】

(1)由題意，得C′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5.記g(x)＝C′(x)，由g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得x＝1000.當x∈(－∞，1000)時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調遞減；當x∈(1000，＋∞)時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調遞增，所以當x＝1000時，g(x)取得最小值，即當x＝1000時，邊際成本C′(x)最低．(2)由題意，得R(x)＝x(100－0.01x)，則P(x)＝100x－0.01x2－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000.由P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得x＝2500，所以當x＝2500時，利潤最大，此時p＝100－0.01×2500＝75(元)，故當產品單價為75元時，利潤最大．檢測反饋13524C12345A1234531245B