數(shù)學(xué)建模的主要步驟高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

第八章數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（一）8.2數(shù)學(xué)建模的主要步驟

新課導(dǎo)入在上一節(jié)，哥尼斯堡七橋問題的解決顯示了數(shù)學(xué)建模的過程和意義，接下來我們再看一個(gè)生活中的問題，以展示數(shù)學(xué)建模的主要步驟.數(shù)學(xué)建模本身即是一種生活技能.———加芬克爾（SolomonGarfunkel，1943—）提出問題

在一個(gè)十字路口，每次亮綠燈的時(shí)長為15s，那么，每次亮綠燈時(shí)，在一條直行道路上能有多少汽車通過十字路口？建立模型這個(gè)問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素.而不同型號(hào)的車長是不同的，駕駛員的習(xí)慣不同也會(huì)使車距、車速不同，行人和非機(jī)動(dòng)車的干擾因素則復(fù)雜且不確定.面對(duì)這些不同和不確定，就需要作出假設(shè).例如，雖然通過路口的車輛各種各樣，但大多數(shù)是小轎車，因此這次建模就只考慮小轎車的情況，它們的長度差距不大，可以假設(shè)車輛長度都相同.建立模型經(jīng)過對(duì)相關(guān)因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合實(shí)際情況的幾個(gè)假設(shè)：想一想：你認(rèn)為可以作出哪些合理的假設(shè)呢？（1）通過路口的車輛長度都相等；（2）等待時(shí)，前后相鄰兩輛車的車距都相等；（3）綠燈亮后，汽車都是在靜止?fàn)顟B(tài)下勻加速啟動(dòng)；（4）前一輛車啟動(dòng)后，下一輛車啟動(dòng)的延長時(shí)間相等；（5）車輛行駛秩序良好，不發(fā)生堵塞.這是建模的重要環(huán)節(jié)——假設(shè).建立模型

將車輛長度記作，車距記作，經(jīng)過實(shí)際調(diào)查，取較為合理.

另據(jù)調(diào)查，一般的汽車按照十字路口的加速狀態(tài)，內(nèi)可以從靜止加速到，加速度記作，計(jì)算可得，為了簡化，這里取.汽車加速到最高限速后，便以這個(gè)最高限速行駛.

資料顯示，城市十字路口的限速

延時(shí)時(shí)間記作，經(jīng)觀察，取較為合理.用表示第輛汽車開始啟動(dòng)的時(shí)間，則用表示第輛車到達(dá)最高限速的時(shí)間，則汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是：為了簡化，這里的值取問題中涉及的數(shù)據(jù)要建模者自己收集.建立模型

用表示時(shí)刻第輛汽車所在的位置，停車線位置記作0，則這樣，實(shí)際問題就可以表述為數(shù)學(xué)問題：求滿足的的最大值，其中求解模型代入各個(gè)量的參數(shù)的值，可得：求解模型根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，可以計(jì)算出綠燈亮至15s時(shí)若干輛汽車的位置，如表8-1.表8-1

由表可見，綠燈亮至15s時(shí)，第7輛車已經(jīng)駛過停車線______m,而第8輛車還距停車線______m，沒有通過.因此，15s的綠燈最多可以通過____輛汽車.16.02.17檢驗(yàn)結(jié)果思考：如何檢驗(yàn)利用數(shù)學(xué)模型求解的結(jié)果是否符合實(shí)際情況呢？到十字路口實(shí)地調(diào)查，對(duì)結(jié)論做檢驗(yàn).若沒有明顯誤差，就可以使用這個(gè)模型.否則修改假設(shè)，重新建模.思考交流

1.從小學(xué)到中學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，做過不少“應(yīng)用題”，比較上述實(shí)際問題的解決，說明用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題和做應(yīng)用題有什么聯(lián)系和區(qū)別？

2.你能總結(jié)數(shù)學(xué)建模的基本步驟嗎？思考交流

1.從小學(xué)到中學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，做過不少“應(yīng)用題”，比較上述實(shí)際問題的解決，說明用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題和做應(yīng)用題有什么聯(lián)系和區(qū)別？數(shù)學(xué)應(yīng)用題和數(shù)學(xué)建模的目的都是為了培養(yǎng)同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，都體現(xiàn)了從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并解決的過程，從局部步驟上看也有某些相似之處.

二者的聯(lián)系：思考交流

1.從小學(xué)到中學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，做過不少“應(yīng)用題”，比較上述實(shí)際問題的解決，說明用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題和做應(yīng)用題有什么聯(lián)系和區(qū)別？

①問題特征.應(yīng)用題中的問題比較明確，所涉及的數(shù)據(jù)和信息大多是經(jīng)過專家和命題者加工提煉后，以文字或圖的形式給出；條件清楚、不多不少，結(jié)論唯一確定.數(shù)學(xué)建模所面對(duì)的問題來源則更生活化，更貼近實(shí)際；條件和結(jié)論更模糊，數(shù)據(jù)一般要同學(xué)們收集、挑選、整理和比較后才能進(jìn)一步運(yùn)用.②解決過程.應(yīng)用題中問題數(shù)學(xué)化的過程簡單、清楚明了，解出的結(jié)論也很少需要同學(xué)們思考是否合乎實(shí)際，是否需要進(jìn)一步調(diào)整和修改已有的模型.數(shù)學(xué)建模一般不會(huì)有現(xiàn)成的可供使用的事項(xiàng)、數(shù)據(jù)、陳述、關(guān)系等條件，需要同學(xué)們明確提出問題，對(duì)條件進(jìn)行合理假設(shè)、數(shù)學(xué)化以及驗(yàn)證的過程.歸納小結(jié)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.

主要過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確立參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.1.提出問題數(shù)學(xué)建模的一般步驟如下：實(shí)際情境中的問題往往是模糊和籠統(tǒng)的，原始的問題往往是一個(gè)希望得到優(yōu)化的期待，或者是某個(gè)不良現(xiàn)象的消失.這就需要透過現(xiàn)象，明確地提出問題.2.建立模型在一定的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上，建立預(yù)測的數(shù)學(xué)模型，抓住主要因素，摒棄次要因素，做出適當(dāng)簡化和假設(shè).

3.求解模型這個(gè)過程是求解數(shù)學(xué)問題.值得注意的是，如果目標(biāo)是求值，一般不容易求得精確值，這就要根據(jù)需要求近似解.4.檢驗(yàn)結(jié)果用實(shí)際現(xiàn)象或數(shù)據(jù)檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否符合實(shí)際.如果不符實(shí)際情況，就要重新建模.在假設(shè)的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)概念表示實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)反映實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系.從不同角度、用不同知識(shí)表示同樣的問題，就會(huì)得到不同的模型.歸納小結(jié)數(shù)學(xué)建模的過程可用框圖表示，如右圖所示.實(shí)際情境提出