高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題12.3二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布(真題測(cè)試)(原卷版+解析)

專題12.3二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（真題測(cè)試）一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等3．(2023·湖北·高考真題（理））設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，4．(2023·山東·高考真題（理））已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%5．(2023·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是（

）A． B． C． D．6．(2023·全國(guó)·高考真題（理））某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．48．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量（且），最大時(shí)，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01二、多選題9．（2023·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）.（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機(jī)取一件，．A．B．C．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.159910．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全相同的6個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 B．隨機(jī)變量服從超幾何分布C． D．11．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績(jī)，乙地學(xué)生的成績(jī)．下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則（

）（附：若隨機(jī)變量，則，，）A．甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績(jī)比乙地的低 B．甲地?cái)?shù)學(xué)成績(jī)的離散程度比乙地的小C． D．若，則12．(2023·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤命題是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，則樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2B．隨機(jī)變量的方差為，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．隨機(jī)變量，若，，則三、填空題13．(2023·全國(guó)·高考真題（理））一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．14．(2023·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．15．（2023·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為____________，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為______________．16．(2023·河北·高三階段練習(xí)）進(jìn)入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為p（），且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立.記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是，則的最大值點(diǎn)的值為___________；為確保校園安全，某校組織該校的6000名學(xué)生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名同學(xué)逐一檢測(cè)，就需要檢測(cè)6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是隨機(jī)地按k（）人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè).如果混合樣本呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性，如果混合樣本呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，就需要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次.當(dāng)p取時(shí)，檢測(cè)次數(shù)最少時(shí)k的值為___________.參考數(shù)據(jù)：，，，，,，，，四、解答題17．(2023·北京·高考真題（理））為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）18．（2023·天津·高考真題（理））設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.19．（2023·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）20．(2023·天津·高考真題（理））已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.21．(2023·全國(guó)·高考真題（理））某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？22．(2023·全國(guó)·高考真題（理））為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.（?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.專題12.3二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（真題測(cè)試）一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：A分析：根據(jù)超幾何分布的概率公式求解即可【詳解】由題意，故選：A2．（2023·全國(guó)·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等答案：D分析：由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．(2023·湖北·高考真題（理））設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，答案：C【詳解】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，、的密度曲線分別關(guān)于、對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖象可得且的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以對(duì)任意正數(shù)，．考點(diǎn)：正態(tài)分布密度曲線．4．(2023·山東·高考真題（理））已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%答案：B【詳解】試題分析：由題意故選B．5．(2023·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是（

）A． B． C． D．答案：A分析：利用正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)求出，然后再求恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率即可.【詳解】因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參加這次考試的學(xué)生中任意選取1名學(xué)生，其成績(jī)不低于85的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是.故選：A.6．(2023·全國(guó)·高考真題（理））某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案：B【詳解】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．4答案：C分析：根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法，求出ξ的分布列，并求出，則.【詳解】的可能取值為.，，.∴的分布列為：ξ012P于是，故.故選：C.8．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量（且），最大時(shí)，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01答案：C分析：根據(jù)給定條件，求出最大時(shí)的M值，再利用超幾何分布的期望公式計(jì)算作答.【詳解】隨機(jī)變量，則，因最大，則有，即，，整理得，解得，而，則，所以.故選：C二、多選題9．（2023·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）.（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機(jī)取一件，．A．B．C．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599答案：BC分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖像、題中所給公式逐一判斷即可.【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得；又由圖像可知，則長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為：．故選：BC10．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全相同的6個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 B．隨機(jī)變量服從超幾何分布C． D．答案：BCD分析：由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項(xiàng)即可【詳解】由題意，知隨機(jī)變量服從參數(shù)為10，4，4的超幾何分布，即，故A錯(cuò)誤，B正確；隨機(jī)變量的取值范圍為，，，，，，故，故C，D正確．故選：BCD．11．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績(jī)，乙地學(xué)生的成績(jī)．下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則（

）（附：若隨機(jī)變量，則，，）A．甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績(jī)比乙地的低 B．甲地?cái)?shù)學(xué)成績(jī)的離散程度比乙地的小C． D．若，則答案：AD分析：從圖像的對(duì)稱軸可以讀出平均分大小關(guān)系，從圖像的離散程度可分析出方差的關(guān)系，選項(xiàng)C利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性判斷，選項(xiàng)D可以通過(guò)計(jì)算得出.【詳解】觀察圖像可以看出，甲的平均分為，小于乙的平均分，A選項(xiàng)正確；圖像中還可以看出乙地?cái)?shù)據(jù)更加集中，故乙地方差更小，B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，根據(jù)題干數(shù)據(jù)，，根據(jù)對(duì)稱性，，另有，根據(jù)對(duì)稱性，，于是，D選項(xiàng)正確.故選：AD.12．(2023·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤命題是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，則樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2B．隨機(jī)變量的方差為，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．隨機(jī)變量，若，，則答案：ABD分析：選項(xiàng)A利用性質(zhì)求解，選項(xiàng)B利用求解，選項(xiàng)C利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解，選項(xiàng)D利用二項(xiàng)分布的期望方差公式求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋瑒t，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，隨機(jī)變量，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式：，解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題13．(2023·全國(guó)·高考真題（理））一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．答案：1.96分析：根據(jù)二項(xiàng)分布，由公式得到結(jié)果.【詳解】由于是有放回的抽樣，所以是二項(xiàng)分布，,填1.96【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．14．(2023·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．答案：##．分析：根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：?5．（2023·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為____________，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為______________．答案：

分析：根據(jù)甲猜對(duì)乙沒(méi)有猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.【詳解】由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.16．(2023·河北·高三階段練習(xí)）進(jìn)入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為p（），且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立.記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是，則的最大值點(diǎn)的值為___________；為確保校園安全，某校組織該校的6000名學(xué)生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名同學(xué)逐一檢測(cè)，就需要檢測(cè)6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是隨機(jī)地按k（）人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè).如果混合樣本呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性，如果混合樣本呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，就需要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次.當(dāng)p取時(shí)，檢測(cè)次數(shù)最少時(shí)k的值為___________.參考數(shù)據(jù)：，，，，,，，，答案：

0.05

5分析：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式可得,利用導(dǎo)數(shù)求解其最大極值點(diǎn)即可，根據(jù)均值的公式，分別將代入比較大小即可求解.【詳解】依題意，100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是，且.因此，令，解得.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為設(shè)每個(gè)人需要檢測(cè)的次數(shù)為X，若混合樣本成陰性，則；若混合樣本成陽(yáng)性，則，則，，∴，當(dāng)k分別取2，3，4，5，6，7，8，9，10時(shí)，的值分別為0.597，0.476，0.436，0.426，0.432，0.445，0.462，0.481，0.501，故當(dāng)時(shí)檢測(cè)次數(shù)最少.故答案為:，5四、解答題17．(2023·北京·高考真題（理））為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）答案：（1）0.3（2）見解析（3）服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.【詳解】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.18．（2023·天津·高考真題（理））設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）分析：(Ⅰ)由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由(Ⅰ)知：.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.19．（2023·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）答案：（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）20．(2023·天津·高考真題（理））已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.答案：（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．點(diǎn)睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．21．(2023·全國(guó)·高考真題（理））某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？答案：（1）；（2）（i）；（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).分析：（1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；（2）先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.【詳解】（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，