高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專(zhuān)題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專(zhuān)題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】以幾何圖形為載體，通過(guò)考查正弦定理、余弦定理的（實(shí)際）應(yīng)用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識(shí)的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（二）三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．（三）測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ特別提醒：涉及到角時(shí)，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置．如方位角135°的始邊是指北方向線，始邊順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°得到終邊；方向角南偏西30°的始邊是指南方向線，向西旋轉(zhuǎn)30°得到終邊．（四）常用結(jié)論：1．三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：＝－.2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．4．三角形中的大角對(duì)大邊在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．【?？碱}型剖析】題型一：正弦定理例1.（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．例2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解題型二：余弦定理例3.（2023·全國(guó)·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．例4.（2023·全國(guó)·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【總結(jié)提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．題型三：正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用例5.（2023·山東·高考真題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或例6.（2023·海南·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【規(guī)律方法】題型四：應(yīng)用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀例7.【多選題】(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，下列命題為真命題的有（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形例8．（2023·全國(guó)·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【規(guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．2．無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對(duì)三角函數(shù)值的限制．題型五：與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例9.(2023·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則()A． B． C． D．例10．（2023·北京·高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【總結(jié)提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中，要注意三角函數(shù)公式的工具性作用．題型六：與三角形周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題例11.(2023·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．例12.(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【總結(jié)提升】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，建立邊長(zhǎng)的方程，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，解答過(guò)程中，要注意整體代換思想的應(yīng)用，如果遇到確定最值問(wèn)題，往往要結(jié)合均值定理求解.題型七：三角形中的最值與范圍問(wèn)題例13.（2023·全國(guó)高考真題（文））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．例14.(2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【總結(jié)提升】三角形中的最值范圍問(wèn)題，往往有三種情況，一是轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問(wèn)題，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤；三是利用函數(shù)的單調(diào)性.題型八：解三角形中的實(shí)際問(wèn)題例15.(2023·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．例16.（2023·河南·高三月考（文））據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道今年第14號(hào)臺(tái)風(fēng)“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國(guó)東南沿海一帶，13日5時(shí)，測(cè)定臺(tái)風(fēng)中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心以千米/小時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時(shí)間為_(kāi)______________________．【總結(jié)提升】1.測(cè)量距離問(wèn)題，歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：（1）兩點(diǎn)都不可到達(dá)；（2）兩點(diǎn)不相通的距離；（3）兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá).2.求解高度問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．3.（1）測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解．提醒：方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．（2）解決角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)=1\*GB3①測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．=2\*GB3②求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．題型九：平面解析幾何中的解三角形問(wèn)題例17.(2023·上海普陀·二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（異于A，），，且，若，則的取值范圍為_(kāi)_________.例18.(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與C的一條漸近線垂直，垂足為A，且，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．例19．(2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．專(zhuān)題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】以幾何圖形為載體，通過(guò)考查正弦定理、余弦定理的（實(shí)際）應(yīng)用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識(shí)的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（二）三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．（三）測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ特別提醒：涉及到角時(shí)，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置．如方位角135°的始邊是指北方向線，始邊順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°得到終邊；方向角南偏西30°的始邊是指南方向線，向西旋轉(zhuǎn)30°得到終邊．（四）常用結(jié)論：1．三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：＝－.2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．4．三角形中的大角對(duì)大邊在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．【?？碱}型剖析】題型一：正弦定理例1.（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．答案：分析：由和角正弦公式求函數(shù)值，再應(yīng)用正弦定理求即可.【詳解】，由正弦定理可知，，∴.故答案為：例2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473答案：B【解析】分析：通過(guò)做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳解】過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解題型二：余弦定理例3.（2023·全國(guó)·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.例4.（2023·全國(guó)·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3答案：D【解析】分析：利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【總結(jié)提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．題型三：正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用例5.（2023·山東·高考真題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或答案：A【解析】分析：利用余弦定理求出，并進(jìn)一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；【詳解】，，，，，，，，故選：A.例6.（2023·海南·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．答案：詳見(jiàn)解析【解析】分析：方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時(shí).若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問(wèn)題中的三角形不存在．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．【規(guī)律方法】題型四：應(yīng)用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀例7.【多選題】(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，下列命題為真命題的有（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形答案：ACD【解析】分析：利用正弦定理判斷選項(xiàng)A，利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B和C，利用數(shù)量積的性質(zhì)和余弦定理判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：A：若，由正弦定理得，，則A正確；B：若，則，，即為鈍角，為鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；C：若，則，為直角三角形，故C正確；D：若，則，，，由余弦定理知，，則，，，為直角三角形，故D正確．故選：ACD．例8．（2023·全國(guó)·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，解得，又，所以；?）因?yàn)椋?，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【?guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．2．無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對(duì)三角函數(shù)值的限制．題型五：與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例9.(2023·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則()A． B． C． D．答案：C【解析】【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.例10．（2023·北京·高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．答案：選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】分析：選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【總結(jié)提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中，要注意三角函數(shù)公式的工具性作用．題型六：與三角形周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題例11.(2023·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．答案：(1)見(jiàn)解析(2)14【解析】分析：（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)椋桑?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.例12.(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).(1)解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.【總結(jié)提升】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，建立邊長(zhǎng)的方程，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，解答過(guò)程中，要注意整體代換思想的應(yīng)用，如果遇到確定最值問(wèn)題，往往要結(jié)合均值定理求解.題型七：三角形中的最值與范圍問(wèn)題例13.（2023·全國(guó)高考真題（文））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案：(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去?，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是例14.(2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．答案：(1)；(2)．【解析】分析：（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．(1)因?yàn)?，即，而，所以?2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【總結(jié)提升】三角形中的最值范圍問(wèn)題，往往有三種情況，一是轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問(wèn)題，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤；三是利用函數(shù)的單調(diào)性.題型八：解三角形中的實(shí)際問(wèn)題例15.(2023·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．答案：.【解析】分析：根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?例16.（2023·河南·高三月考（文））據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道今年第14號(hào)臺(tái)風(fēng)“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國(guó)東南沿海一帶，13日5時(shí)，測(cè)定臺(tái)風(fēng)中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心以千米/小時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時(shí)間為_(kāi)______________________．答案：小時(shí)小時(shí)分析：根據(jù)給定信息畫(huà)出圖形，再借助余弦定理結(jié)合已知列出不等式求解即得.【詳解】如圖，A為某市的位置，是臺(tái)風(fēng)中心在13日5時(shí)的位置，設(shè)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)小時(shí)后的位置為，則，又，在中，由余弦定理得：，由，解得，于是得(小