2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第12章余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

第2課時復(fù)數(shù)的乘除運算

1.常握復(fù)數(shù)的乘法、除法運算.

::2.理解共扼復(fù)數(shù)的概念.

標(biāo)準(zhǔn)

3.能在復(fù)數(shù)集內(nèi)解簡單的一元二次方程.

》基礎(chǔ)認(rèn)知-自主學(xué)習(xí)④

【概念認(rèn)知】

1.復(fù)數(shù)乘法的運算法則和運算律

⑴復(fù)數(shù)乘法的運算法則

設(shè)Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù),

貝!!Z1Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律

對任意復(fù)數(shù)Z1,Z2,Z3￡C，有

交換律ZiZ2=Z2Z|

結(jié)合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

乘法對加法的分配律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

(3)復(fù)數(shù)的乘方

復(fù)數(shù)的乘方是相同復(fù)數(shù)的積，即對任何Z,Z1,Z2^C及m,n￡N*,

則有:

mnmnn

ZZ=zm+nf(z)=,(Z]Z2)=zfZ,.

2.復(fù)數(shù)除法的運算法則

(1)共扼復(fù)數(shù)的概念

如果兩個復(fù)數(shù)滿足實部相等，虛部互為相反數(shù),那么稱這兩個復(fù)數(shù)為

共輾復(fù)數(shù)，Z的共犯復(fù)數(shù)用]一表示.即z=a+bi,則5=a-bi.

⑵復(fù)數(shù)除法運算法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR,Sc+di/)),

z.a+biac+bdbe-ad

貝7=；一一土；Q(c++網(wǎng)).

Z2C+dlC2+d?—C2+d]

3.iYn￡N*)的周期性

計算復(fù)數(shù)的乘方要用到虛數(shù)單位i的乘方，產(chǎn)⑺金年)有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=-1,i3=ii2=-i,i4=Pi=-i2=1,從而對于任何n￡N”,

有i"=1,i4n+1=i,同理可證i4n+2=-1,i4n+3=二j,i4n+4=].上述

公式中，說明『(n￡N*)具有周期性，且最小正周期是4,n可以推廣

到整數(shù)集.

【自我小測】

r1-A2

i.i為虛數(shù)單位，-=（）

v+v

A.-1B.1C.-iD.i

0i)2(1-i)2-2i

選A.----------；=~1.

",(1+i)221

2.（教材練習(xí)改編）復(fù)數(shù)2十（i為虛數(shù)單位）的共輾復(fù)數(shù)是（）

1-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

22(l+i)

選B.化簡可得z二七二號官…j,

所以z的共鈍復(fù)數(shù)為1-i.

3.若---;=a+bi(i為虛數(shù)單位，a,b￡R,則a+b=

22(1+i)

因為上=---------------=l+i,

1-i(1-i)(1+i)

所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.

答案：2

4.（2020?江蘇高考）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i)的實

部是

Z=1+i2-i=3+i,則實部為3.

答案：3

5.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為

1+2i

因為i-z=1+2i,所以z==2-i,故z的實部為2.

答案：2

6.定義運算d:=ad-be,則符合條件21=1+i的復(fù)數(shù)z

cdzZi

1+i

根據(jù)題中條件可有，2zi+z=1+i,z=------分子分母上下同時

2i+1

i-331

乘以(2i-1)得二不，所以化簡為日-1i.

分案----i

口木-55

—15-5i

7.已知復(fù)數(shù)zi=2-3i,z=7；一V.求：

2(2+1)2

(1)Z1+Z2；(2)Z|-Z2；(3)?.

15-5i15-5i5(3-i)(3-4i)

<7---------------------------------------------------------

'(2+i)2-3+4i-(3+4i)(3-4i)

5-15i

-5-=1-3i.

(l)zi+z2=(2-3i)+(l+3i)=3.

(2)zi-Z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.

2-3i(2-3i)(1+3i)2+9+3i口3

1-3i-(1-3i)(1+3i)-10.10+10「

份學(xué)情診斷?課時測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1.(2021?全國乙卷)設(shè)iz=4+3i,則z=()

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

選C.在等式iz=4+3i兩邊同時乘i得，-z=4i-3,所以z=3-4i.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()

A.-iB.iC.1D.-1

選D.因為復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=1-i,

1-i1-i2

所以z=詬

所以z的虛部為-1.

3.(2020?全國in卷)復(fù)數(shù)z-(1+i)=1-i,則z=()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

_1-i(1-i)2-2i

選D.因為z-i,所以z=i.

(1+i)(1-i)2

4.復(fù)數(shù)z=￥-ai,a￡R,且z2=g-坐i,則a的值為()

A.1B.2C.1D.1

選C.由z=^-ai,a￡R,得z2=(坐)-2x2xai+(ai)2=-

因為Z2=1一坐i，

「3,_1

所[4他-a-2，

解得a=；.

5.若a+i=2+bi(a,beR),則(a+bi>=()

A.5-4iI3.5+4i

C.3-4iD.3+4i

選D.因為a+i=2+bi,所以a=2,b=1,所以(z+i>=3+4i.

(l+>

6.、一()

(1-i)2

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

、「(l+i)[2

選D.原式=(1+0=i2(l+i)=-1-i.

_(1-i)_

二、填空題

5-i

7.設(shè)復(fù)數(shù)z-3(i是虛數(shù)單位),則z的共車厄復(fù)數(shù)z-

IT'

5-i5-i(5-i)(1-i)

因為復(fù)數(shù)==(E)(-)=2%所以z的共

期復(fù)數(shù)Z=2+3i.

答案：2+3i

8.若2+i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實系數(shù)方程x23+mx+n=0的一

個根，

則m+n等于.

因為2+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根，所以(2+

i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,

[2m+n+3=0,[m=-4,

所以《所以，m+n=L

[4+m=0,[n=5,

答案：1

9.若復(fù)數(shù)z滿足i-z=1+2z，則z=.

fa=-2b,

設(shè)z=a+bi,則ai-b=1+2(a-bi),所以J所以a=-

[-b=1+2a,

2121

3,b=^,所以z=-w+§i.

答案：441

10.已知復(fù)數(shù)Z1=4+3i,Z2=1+2i,則ZrZ2=；~7=

z.4+3i

Z1.Z2=(4+3i)(i+2i)=4+8i+3i-6=-2+lli,

(4+3i)(1-2i)10-5i

(1+2i)(1-2i)-5

答案：-2+lli2-i

三、解答題

11.計算：(l)(2+i)(2-i)；

fl+A也+小i

(2)(1+2i>;(3)——6+-}=F.

-v小-的

(l)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.

(2)(1+2評=1+4i+(2i)2=l+4i+4i2=-3+4i.

(1+i)2]-也i)

⑶原式=[—>+小2f

fi+A，+i)26+A3■+i)10

12.計算：—□

v-v

1+i

因為--=i,所以原式—..i-+2+3+…+K)=i55=i3=

1-i

【綜合突破練】

一、選擇題

1.已知z是Z的共犯復(fù)數(shù)，若z-zi+2=2z,則z=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

選A.設(shè)z=a+bi(a,b￡R),則z=a-bi,代入z-zi+2=2z中得,

(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),

所以2+(a2+b2)i=2a+2bi,

⑵=2,

由復(fù)數(shù)相等的條件得｛

[a2+b2=2b,

fa=1,

所以

〔b=l.

所以z=1+i.

小+i

2.已知復(fù)數(shù)z=-r~-,z是z的共軌復(fù)數(shù)則z.z等于（）

(1-V3i)2

11

-

AB-

42C.1D.2

V3+i

選A.方法一：因為z=—廠，

(1-V3i)2

-V3i2+ii(1-V3i)ii(1+小i)

(1-^3i)2-(1-V3i)2-1-小i

=-半+點,所以z=-乎-,所以z-z=1.

y/3+i

方法二：因為z=77E

y/3+i巾+”_2_1

所以|Z|二

(1-4)2|(l-V3i)2|"4~2

一——1

所以z-z=4.

3.若一個復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)

數(shù)’.已知z=+bi(a,beR)為“理想復(fù)數(shù)"則()

1-21

A.a-5b=0B.3a-5b=0

C.a+5b=0D.3a+5b=0

a(1+2i)a2a

選D.因為z=+bi=----+--b--i--=--5----+---l-T----+--bJL

1-21(1-2i)(1+2i)5

o2a

由題意知，g=-y-b,貝！]3a+5b=0.

【誤區(qū)警示】解此題時，一定要特別注意“理想復(fù)數(shù)”與共犯復(fù)數(shù)的區(qū)

別，注意共鈍復(fù)數(shù)的思維定式.

4.（多選）已知集合M={m|m=P,n￡N},其中i為虛數(shù)單位，則下

列元素屬于集合M的是（）

1-i

A.")(1+i)B.-----

1+i

1+i

C.——D.(1-i)2

1-i

選BC.根據(jù)題意M=

|m|m=in,nG]^[n=4k(k￡N)時，心=1；

n=4k+l(k^N)時，in=i;n=4k+2(k￡N)時，F(xiàn)=-1;n=4k+

3(kGN)時，產(chǎn)二

所以M=|-1,1,i,-i}.

選項A中(1-i)(1+i)=2建M；

1-i(1-i)2

選項B中，77；^二一》”；

l+i1+i2

選項C中，m=不！百^??；

選項D中(1_i)2=_2/M.

二、填空題

7+ai

5.若復(fù)數(shù)z=—的實部為3,則z的虛部為

2-1

7+ai(7+ai)(2+i)(14-a)+(7+2a)i

Z=-------=--------------------------=----------------7----------------

2-i(2-i)(2+i)5

14-a7+2a

14-a一一

由題意知一一=3,所以a=-1,所以z=3+i.

所以z的虛部為1.

答案：1

6.已知：復(fù)數(shù)z=(l+i)2+且；，其中i為虛數(shù)單位.考

z2+az+b

1-1

=2+3i,則實數(shù)a=,b=

z=(1+i)2+—^―=2i+i(l+i)=-1+3i,由z?+az+b=2+3i得

1-i

(-1+3i)2+a(-1-3i)+b=2+3i,

即(-8-a+b)+(-6-3a)i=2+3i

f-8-a+b=2,fa=-3,

所以解得

[-6-3a=3,[b=7.

答案：-37

7.已知z為復(fù)數(shù)，且z+2i和￡都為實數(shù)，則z=.

設(shè)z=a+bi(a,b￡R),則z+2i=a+(b+2)i為實數(shù)，所以b+2=0,

a+bi(a+bi)(2+i)2a-b

所以b=-2,又一一===

2-iT715

a+2ba+2b

—i為實數(shù)，所以三一二0,所以a=-2b,所以a=4,所以z

=4-2i.

答案：4-2i

8.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1-3i(i是虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)(1+ai)z是

純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為；若復(fù)數(shù)z的共犯復(fù)數(shù)為z，則復(fù)

數(shù)比二——

解得z=-1-2i,因為復(fù)數(shù)(1+ai)z是純虛數(shù),則(1+ai)(-1-2i)=

-l+2a+(-a-2)i,所以-l+2a=0,且-a-2R0,所以實數(shù)a的

值為;?因為z的共輾復(fù)數(shù)為z=-1+2i,所以復(fù)數(shù)看=-14L

答案:；-1-11

三、解答題

z-1z

9.已知z為復(fù)數(shù)，丁為實數(shù)，—為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z.

11-1

z-1a-1+bi

設(shè)z=a+bi(a,b￡R),貝!]-：—=---------=(a-1+bi)-(-i)

=b-(a-l)i.

z-1

因為丁為實數(shù)，所以a-1=0,即a=1.

(a+bi)(1+i)

又因為干

1-i(1-i)(1+i)

(a-b)+(a+b)i

=-----------2-----------為純虛數(shù)，所以a-b=0,且a+b邦，所以

b=1.故復(fù)數(shù)2=1+i.

10.設(shè)z是虛數(shù),co=z+1是實數(shù)，且-l<co<2.

⑴求z的實部的取值范圍.

1-Z

(2)設(shè)口一，求證：口為純虛數(shù);

1+z

（3）求（D-|12的最小值.

⑴因為Z是虛數(shù)，所以可設(shè)2=*+）4,X,y￡R,且y/）,

、11x-yix

所以3=z+：=x+yi+-----=x+yi+-...;=x+----;+

z

Lx+yix+yx+y

?+y"i，

y-^7=0，

可得Jx-+y-^x2+y2=l,

*0，

此時,co=2x=-；<X<1；

1-z1-(x+yi)1-y2-x2-2yi

⑵因為F

1+(x+yi)1+2x+x2+y2

，因為y和，4

<x<l,所以N為純虛數(shù)；

y)2

⑶3-M=2X-J]+J,然后化簡和計算得到3-「=2(X+1)

+7h⑸

2

2（X+】）K-3=1.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，所以co-1的最小值為1.

后素養(yǎng)培優(yōu)練《

（60分鐘100分）

一、選擇題（每小題5分，共45分，多選題全部選對的得5分，選對

但不全的得2分，有選錯的得0分）

fi-A

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則二二2022二（）

U+V

A.iB.-iC.1D.-1

1-i(1-i)2-2i

選D.由于一

1+i(1+i)(1-i)

6-A2022

所以——二(一1)2。22=(-1嚴(yán)05+2=(_評=_J

U+iJ

1+2i

2.復(fù)數(shù)z=丁的實部為（）

A.-2B.-iC.iD.-1

1+2i(1+2i)i

選A.因為Z=T=-F—=-2+i,所以實部為-2.

-1+i

3.復(fù)數(shù)z—的虛部為（）

3.33.3

A.-iB.-gC.iD.5

-1+i(-1+i)(2-i)i3

選D.Vz=--------5+5i,復(fù)數(shù)z=

2+i(2+i)(2-i)

-1+i3

的虛部為^.

2+i

4.已知復(fù)數(shù)z滿足一R=2-i其中i是虛數(shù)單位則復(fù)數(shù)7是()

1+21

A.4-3iB.4+3i

C.-4iD.4

z一一，

選B.因為=2-i,所以z=(2-i)(l+2i)=4+3i.

1+2i

5.復(fù)數(shù)i(l+i)2=()

A.2B.-2C.2iD.-2i

選B.i(l+ip=i?2i=-2.

6.復(fù)數(shù)z滿足z-1=(z+l)i,則z的值是()

A.1+iB.1-i

C.iD.-i

1+i(1+i)2

選D.因為z-1=(z+l)i,所以z=;-；=——.、/,—~=

1-i(l-i)(l+i)

1+2i+i2_

-'一丁=i,所以z=-i.

1-1

2

7.(多選)下面關(guān)于復(fù)數(shù)：z=——:的敘述中正確的是()

-1+1

A.z的虛部為-iB.|z|=V2

C.z的共鈍復(fù)數(shù)為1+iD.z2=2i

22(-1-i)

選BD.z=——=——z——=-1-i,則其虛部為-1,A錯誤；

-1+1z

|z|=N(-1)2+(-1)2=V2,B正確；z的共粗復(fù)數(shù)為-1+i；

z12=(-1-i)2=2i,D正確.

8.(多選)已知復(fù)數(shù)Z=」￡，則以下說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z的虛部為當(dāng)

8」的共朝復(fù)數(shù)一2=2fi

c.憶1=9

D.復(fù)數(shù)z的的實部是-f2

ii(1+2i)21

選CD.因為z=-=-f+],所以復(fù)數(shù)

1-2i(1-2i)(1+2i)33

12—

z的虛部為玄，實部是，所以A錯誤，D正確.z的共輾復(fù)數(shù)z

=~|-1,B錯誤.

izi=AJ(-l2+?2建，故c正確.

2

9.(多選)若復(fù)數(shù)z=-，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是

1+1

()

A.z的虛部為-1B.z=1-i

C.Z?為純虛數(shù)D.z的共粒復(fù)數(shù)為-1-i

22(1-i)2-2i

選ABC.因為z=-~;=-...—―=—^~=1-i,B正確；

1+1(1+1)(1-i)z

z的虛部為-1,A正確；

因為z2=(1-i)2=-2i,故z2為純虛數(shù),C正確；z的共犯復(fù)數(shù)為1

+i,D錯誤.

二、填空題(每小題5分，共15分)

2+i

10.復(fù)數(shù)——的共犯復(fù)數(shù)是_______.

1-21

2+i)(l+2i)5i

ETTF*二匕故其共舸復(fù)數(shù)為…

答案：-i

11.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)/、,=________

(I-)

333i3.

77

由題意亦1-2i+i2--2i薪=21

3

答案：Ii

12.若zi=l-3i/2=6-8i,星+'U，則z的值為

l+3i

由zi=1-3i,得,=--―13.

(1-3i)(1+3i)-10+10i'

Z]i.3i

6+8i6+8i3

又由Z2=6-8i,得;=J—

Z26-8i(6-8i)(6+8i)10