高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第3課時(shí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案

第3課時(shí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用[考試要求]1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題．考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．當(dāng)θ＝π2時(shí)，a與b相互垂直，記作a⊥b當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b共線且同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b共線且反向．2．平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．規(guī)定：0·a＝0．3．投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，AB＝a，CD＝b，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|提醒：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cosθbb＝a4．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2[典例1](1)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，則AB·A．－3 B．－2C．2 D．3(2)在邊長為2的正△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)．①若BD＝xBA＋yBC，則x＋y＝________；②BD·(1)C(2)①34②1[(1)因?yàn)锽C＝AC-AB＝所以|BC|＝12+t-3所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3(2)①∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝12∵D是AM的中點(diǎn)，∴BD＝12BA＋12BM＝∴x＝12，y＝14，∴x＋y＝②∵△ABC是邊長為2的正三角形，M是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，且BM＝1，BDcos∠DBM＝BM．∴BD·BM＝|BD||BM|cos∠DBM＝|BM|2數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中兩向量夾角為θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．解題時(shí)一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(2024·河北邯鄲模擬)已知a，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則向量a－2b在向量b上的投影向量為()A．bB．－2bC．－12bD．－(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，A．－18 B．－63C．18 D．63(1)B(2)C[(1)因?yàn)閍，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，所以(a－2b)·b＝a·b－2所以向量a－2b在向量b上的投影向量為a-2b·(2)法一(基向量法)：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA·CB＝0，CD·CB＝(CA+AD)·CB＝法二(坐標(biāo)法)：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由題意得∠CBA＝π6，又AD＝32AB，所以D(－1，33)，則CD·CB＝(－1，33)考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用1．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2．(2)模：|a|＝a·a＝(3)夾角：cosθ＝a·ba(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號成立)?向量的模[典例2](2024·江蘇無錫模擬)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，3)，x∈R，則|b＋xa|的最小值是()A．1 B．0C．2 D．4A[因?yàn)閎＋xa＝(1，3)＋x(0，－1)＝(1，3－x)，所以|b＋xa|＝1+3因?yàn)閤∈R，所以|b＋xa|＝1+3-x2≥1，當(dāng)且僅當(dāng)向量的夾角與垂直[典例3](1)(2024·耒陽模擬)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，若b與λa＋b(λ∈R)垂直，則λ＝()A．54 B．－C．－12 D．(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．(1)A(2)-∞，-92∪-92，3[(1)依題意，λa＋b＝(2－λ，2λ－1)，又b與λ所以(λa＋b)·b即2(2－λ)－(2λ－1)＝0，所以λ＝54(2)∵2a－3b與c的夾角為鈍角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3．又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－92當(dāng)k＝－92時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c此時(shí)2a－3b與c反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為-∞，-9(1)求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝a2＝x2(2)求兩向量a，b的夾角θ，通常采用公式cosθ＝a·(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)已知向量a，b滿足|a|＝6，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則|a＋b|＝__________，|a－3b|＝__________．(2)(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2B．a(chǎn)與b垂直C．a(chǎn)與a－b的夾角為πD．|a－b|＝1(1)21963(2)BC[(1)因?yàn)閨a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×12(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以|a＋b|＝219，|a－3b|＝63．(2)|a＋b|＝12+-1因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D錯(cuò)誤；cos〈a，a－b〉＝a·a-ba所以a與a－b的夾角為π4考點(diǎn)三平面向量的應(yīng)用平面幾何中的向量方法(1)用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．[典例4]如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的彈力F2．已知|F1|＝80N，則G的大小為________N，F(xiàn)2的大小為________N．160803[根據(jù)題意，F(xiàn)1＋F2＝－G，如圖所示．∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝803，∴G的大小為160N，F(xiàn)2的大小為803N．解決本題的關(guān)鍵是利用物理中的力的平衡建立向量的等量關(guān)系求解．跟進(jìn)訓(xùn)練3(2024·沈陽二中模擬)渭河某處南北兩岸平行，如圖所示，某艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中航行速度的大小為|ν1|＝10km/h，水流速度的大小為|ν2|＝6km/h．設(shè)ν1與ν2的夾角為120°，北岸的點(diǎn)A′在碼頭A的正北方向，那么該游船航行到北岸的位置應(yīng)()A．在A′東側(cè) B．在A′西側(cè)C．恰好與A′重合 D．無法確定A[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6，0)，所以ν1＋ν2＝(1，53)，說明游船有x軸正方向的速度，即向東的速度，所以該游船航行到北岸的位置應(yīng)在A′東側(cè)．]【教師備用】(多選)(2024·東莞模擬)在日常生活中，我們會看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況(如圖所示)．假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|，且F1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是()A．|F1|的最小值為12|GB．θ的范圍為[0，π]C．當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|D．當(dāng)θ＝2π3時(shí)，|F1|＝|ACD[由題意知，F(xiàn)1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，兩邊同時(shí)平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosθ＝2|F1|2＋2|F1|2cosθ，所以|F1|2＝G2當(dāng)θ＝0時(shí)，|F1|min＝12|G當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|當(dāng)θ＝2π3時(shí)，|F1|＝|當(dāng)θ＝π時(shí)，豎直方向上沒有分力與重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B錯(cuò)誤．]課后習(xí)題(二十九)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1．(湘教版必修第二冊P39練習(xí)T1改編)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，則a與b夾角的余弦值為()A．6365B．65C．135A[|a|＝32+42＝5，|a·b＝3×5＋4×12＝63．設(shè)a與b的夾角為θ，所以cosθ＝635×13＝632．(人教A版必修第二冊P20練習(xí)T3改編)若a·b＝－6，|a|＝8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為________．－34e[向量b在向量a上的投影向量為a·ba·3．(人教A版必修第二冊P23習(xí)題6.2T11改編)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________．23[a·b＝|a||b|cos60°＝1，|a＋2b|＝a2+4b2+44．(人教A版必修第二冊P24習(xí)題6.2T24改編)如圖，在⊙C中，弦AB的長度為4，則AB·8[取AB的中點(diǎn)M，連接CM(圖略)，則CM⊥AB，AM＝12AB，所以AB·AC＝|ABcos∠BAC＝|AB||AM|＝12|AB|25．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝()A．4 B．3C．2 D．0B[因?yàn)閍·(2a－b)＝2a6．(2024·沈陽質(zhì)檢)已知a，b均為單位向量，若a，b夾角為2π3，則|a－A．7 B．6C．5 D．3D[因?yàn)閨a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×-1所以|a－b|＝3，故選D．]7．(2024·北侖中學(xué)模擬)設(shè)向量a，b滿足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，則a與b的夾角是()A．30° B．60°C．90° D．120°D[設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，所以a2＋a·b＝1＋2cosθ＝0，即cosθ＝－12，因?yàn)?°≤所以a與b的夾角θ＝120°，故選D．]8．已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，則與b共線的單位向量為()A．255B．-25C．2D．-A[由題意得a－2b＝(－2－2k，7)，∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，∴b＝(6，－3)，∴與b共線的單位向量e＝±b62+9．(多選)(2024·湖北天門模擬)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均為正數(shù)，且(a－b)∥c，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b上的投影向量為22C．2m＋n＝4D．mn的最大值為2CD[對于A，向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，則a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共線，所以a，b的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對于B，向量a在b上的投影向量為a·bb·對于C，a－b＝(1，2)，若(a－b)∥c，則－n＝2(m－2)，變形可得2m＋n＝4，故C正確；對于D，由2m＋n＝4，且m，n均為正數(shù)，得mn＝12(2m·n)≤122m+n10．(2024·濰坊模擬)如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平方向的夾角均為45°，|F1|＝|F2|＝102N，則物體的重力大小為________N．20[如圖所示，∵|F1|＝|F2|＝102N，∴|F1＋F2|＝102×∴物體的重力大小為20N．]11．(2024·北京朝陽區(qū)模擬)已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則|a＋b|＝________，b在a上的投影等于________．712[因?yàn)閨a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2