2024-2025學年度北師版七上數學-總復習-期末復習課（二）【課件】

總復習期末復習課期末復習課（二）數學七年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS（第二章

有理數及其運算）

1.

正數和負數.（1）日常生活中，通常用正數和負數表示

的量.（2）

既不是正數，也不是負數.通常情況下，正數前的正

號“＋”可省略不寫.相反意義

0

2.

有理數的分類.（1）有理數可以分為

和

兩類.正整數、負整

數、零統(tǒng)稱為

；正分數和負分數統(tǒng)稱為

?.（2）有理數可以分為正有理數、

、負有理數三類.3.

有理數的有關概念.（1）數軸：規(guī)定了

、正方向、單位長度的直線.（2）相反數：

a

的相反數是

，0的相反數是0.若

a

與

b

互為相反數，則

a

＋

b

＝

?.整數

分數

整數

分數

零

原點

－

a

0

原點

≥

0

0

（4）倒數：乘積為

的兩個數互為倒數.

a

（

a

≠0）的倒數是

，0沒有倒數.1

4.

科學記數法：把一個大于10的數表示成

的形式，

其中1≤

a

＜10，

n

為正整數.5.

比較有理數的大小.（1）利用數軸比較有理數的大?。孩僭跀递S上表示的兩個有理數，

邊的數總比

?邊的

數大；②

都大于零，

都小于零，正數大于負數；③所有的有理數從小到大在數軸上按從左到右的順序排列.a

×10

n

右

左

正數

負數

（2）利用絕對值比較有理數的大?。簝蓚€負數比較大小，絕對值大的反而小.6.

有理數的運算.（1）①有理數加法法則：先定符號，再計算.同號兩數相加，

取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加，取絕對值較

大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數

同0相加，仍得這個數.②有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數.（2）有理數的乘除法法則：兩個有理數相乘（除），同號

得

，異號得

，并把絕對值相乘（除）.注意：①0與任何數相乘的積為0；②0除以任何非零的數都得

0；③0不能作除數.（3）數的乘方：

an

＝

，其中

a

叫作

?

，

n

叫作

?.正

負

底數

指數

（4）有理數的混合運算：先算

，再算

，最后

算

；如果有括號，先算

里面的；同一級運

算，按照從

到

的順序依次進行.（5）有理數的運算律：①加法的交換律：

a

＋

b

＝

b

＋

a

；②加法的結合律：

a

＋

b

＋

c

＝

?；③乘法的交換律：

a

·

b

＝

b

·

a

；④乘法的結合律：

a

·

b

·

c

＝

a

·（

b

·

c

）；⑤乘法對加法的分配律：

a

·（

b

＋

c

）＝

a

·

b

＋

a

·

c

.乘方

乘除

加減

括號

左

右

a

＋（

b

＋

c

）

數學七年級上冊BS版典例講練02類型一

有理數的相關概念

給出下列各數：

（1）將上面各數填在相應的集合里.整數集合：{

…}；分數集合：{

…}；正數集合：{

…}；負數集合：{

…}.【思路導航】（1）根據整數、分數、正數和負數的概念填寫﹔解：（1）整數集合：{42，0，－32，…}；

【點撥】（1）解答本題的關鍵是掌握有理數的相關概念.（2）按照從大到小的順序用“＞”把這些數連接起來.【思路導航】（2）先化簡各數，再比較大小.

【點撥】（2）比較數的大小時，要先化簡，再比較.

（2）以上7個數中，絕對值最大的數為

，絕對

值最小的數為

，有

對互為相反數.3.5或－3.5

2

類型二

相反數與絕對值

（2）絕對值大于1而小于4的整數有

個；已知點

A

在數軸

上表示的數是－2，則與點

A

的距離等于3的點表示的數是

?

?.

－3

4

－5

或1

【思路導航】（1）根據相反數、倒數、絕對值的概念求解即

可；（2）利用數軸，根據絕對值的概念、數軸上兩點的距離分

類討論即可；【解析】（2）絕對值大于1而小于4的整數有±2，±3，共

有4個.若該點在點

A

的左邊，則為－2－3＝－5；若該點在點

A

的右邊，則為－2＋3＝1.故答案為4，－5或1.（3）若｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，且

a

＞

b

，則

a

－

b

＝

?.【思路導航】（3）根據絕對值的性質，結合

a

＞

b

得出

a

，

b

可

能的值，相減即可.7或1

【解析】（3）因為｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，所以

a

＝±3，

b

＝±4.又因為

a

＞

b

，所以

a

＝±3，

b

＝－4.①當

a

＝3，

b

＝－4時，

a

－

b

＝3－（－4）＝7；②當

a

＝－3，

b

＝－4時，

a

－

b

＝－3－（－4）＝1.故答案為7或1.【點撥】求值計算時，當給出的字母的值不唯一時，必須分情

況討論，一個絕對值分兩種情況，兩個絕對值分四種情況.

5

5

25

－2

－6

【解析】因為｜

a

－2｜≤

b

＋3，所以

b

＋3≥0.又因為｜

a

－2｜＋

b

＝－3，所以｜

a

－2｜＋

b

＋3＝0.所以

a

－2＝0，

b

＋3＝0，解得

a

＝2，

b

＝－3.所以

ab

＝2×（－3）＝－6.故答案為－6.類型三

有理數的混合運算

計算：

（2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）；解：（2）原式＝45－71＋5－9＝（45＋5）－（71＋9）＝50－80＝－30.

【點撥】進行有理數的混合運算時，互為相反數的兩數先結

合；同號的兩數先結合；同分母或易通分的分數先結合；其和

為整數的小數先結合.同時可巧妙應用運算法則和運算律，降低

運算難度和減少運算量.

計算：（1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜；解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4＝－36.

類型四

數軸與絕對值

已知有理數

a

，

b

，

c

在數軸上的位置如圖所示，所對應的

點分別為點

A

，

B

，

C

.

（1）在數軸上表示2的點與表示5的點之間的距離為

?；在數軸上表示－1的點與表示3的點之間的距離為

?；在數軸上表示－3的點與表示－5的點之間的距離為

?；由此可得，點

A

，

B

之間的距離為

，點

B

，

C

之間的

距離為

，點

A

，

C

之間的距離為

?.3

4

2

a

－

b

b

－

c

a

－

c

【思路導航】（1）根據兩點間的距離公式可得答案；（（2）化簡：－｜

a

＋

b

｜＋｜

c

－

b

｜－｜

b

－

a

｜.【思路導航】（2）結合數軸，根據絕對值的性質去掉絕對值符號，再合并同類項即可；解：（2）由數軸可知，

c

＜

b

＜0＜

a

，且｜

a

｜＞｜

b

｜.則

a

＋

b

＞0，

c

－

b

＜0，

b

－

a

＜0.所以原式＝－（

a

＋

b

）＋（

b

－

c

）－（

a

－

b

）＝－

a

－

b

＋

b

－

c

－

a

＋

b

＝－2

a

＋

b

－

c

.（3）若

c2＝4，－

b

的倒數是它本身，

a

的絕對值的相反數是－

2，求－

a

＋2

b

－

c

－（

a

－4

c

－

b

）的值.【思路導航】（3）求出

a

，

b

，

c

的值，再將其代入化簡后的代數式即可.解：（3）因為

c2＝4，－

b

的倒數是它本身，

a

的絕對值的相反數是－2，所以

c

＝－2，

b

＝－1，

a

＝2.所以原式＝－2

a

＋3

b

＋3

c

＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2）＝－4－3－6＝－13.【點撥】（1）｜

a

一

b

｜可表示數軸上兩點的距離；（2）去絕

對值符號時，要考慮絕對值符號里面部分的正負性，若不能確

定，則需分類討論.

已知有理數

a

，

b

，

c

在數軸上的位置如圖所示.解答下列問題：（1）比較

a

，｜

b

｜，

c

的大小（用“＜”連接）；解：（1）根據數軸上點的位置，

得

a

＜

c

＜｜

b

｜.（2）若

m

＝｜

a

＋

b

｜－｜

b

－1｜－｜

a

－

c

｜，試化簡等式的

右邊；解：（2）根據數軸可知，

a

＋

b

＜

0，

b

－1＜0，

a

－

c

＜0.所以

m

＝－

a

－

b

＋

b

－1＋

a

－

c

＝

－1－

c

.

解：（3）原式＝－1－1＋1－

2024×（－1）2024＝－1－2024＝－2025.類型五

數軸上的動態(tài)問題

已知

b

是最小的正整數，且

a

，

b

，

c

滿足｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，請解答下面問題：（1）求

a

，

b

，

c

的值.【思路導航】（1）根據有理數的分類，偶次冪和絕對值的非負

性求解；（1）解：因為

b

是最小的正整數，所以

b

＝1.因為｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，所以

c

－5＝0，

a

＋

b

＝0.所以

c

＝5，

a

＝－

b

＝－1.即

a

＝－1，

b

＝1，

c

＝5.（2）

a

，

b

，

c

在數軸上所對應的點分別為點

A

，

B

，

C

，點

P

為數軸上一動點，其對應的數為

x

，點

P

在0到1之間運動時（即

0＜

x

＜1時），則｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜的值

為

?.10

【思路導航】（2）由0＜

x

＜1可知，

x

＋1，

x

－1，

x

－5的正負，再根據絕對值的意義進行化簡計算；（2）【解析】因為0＜

x

＜1，所以

x

＋1＞0，

x

－1＜0，

x

－5＜0.所以｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜＝

x

＋1－（1－

x

）＋2（5－

x

）＝

x

＋1－1＋

x

＋10－2

x

＝10.故答案為10.（3）在（2）的條件下，點

A

，

B

，

C

開始在數軸上運動，點

A

以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點

B

和點

C

分別以

每秒2個單位長度和每秒5個單位長度的速度向右運動.假設

t

秒

過后，點

B

與點

C

之間的距離表示為

BC

，點

A

與點

B

之間的距

離表示為

AB

.

請問：

BC

－

AB

的值是否隨著時間

t

的變化而改

變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.【思路導航】（3）先分別表示出點

A

，

B

，

C

在運動過程中所表示的數，然后利用數軸上兩點間的距離公式列式計算.（3）解：不變.根據題意可知，

t

秒時，點

A

對應的數為－1－

t

，點

B

對應的數

為2

t

＋1，點

C

對應的數為5

t

＋5.所以

BC

＝（5

t

＋5）－（2

t

＋1）＝3

t

＋4，

AB

＝（2

t

＋1）－（－1－

t

）＝3

t

＋2.所以

BC

－

AB

＝（3

t

＋4）－（3

t

＋2）＝2.所以

BC

－

AB

的值不隨著時間

t

的變化而改變，且

BC

－

AB

＝2.【點