2024-2025學(xué)年度北師版七上數(shù)學(xué)-總復(fù)習(xí)-期末復(fù)習(xí)課（二）【課件】

總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課（二）數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)BS版知識(shí)梳理典例講練目錄CONTENTS（第二章

有理數(shù)及其運(yùn)算）

1.

正數(shù)和負(fù)數(shù).（1）日常生活中，通常用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示

的量.（2）

既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).通常情況下，正數(shù)前的正

號(hào)“＋”可省略不寫.相反意義

0

2.

有理數(shù)的分類.（1）有理數(shù)可以分為

和

兩類.正整數(shù)、負(fù)整

數(shù)、零統(tǒng)稱為

；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為

?.（2）有理數(shù)可以分為正有理數(shù)、

、負(fù)有理數(shù)三類.3.

有理數(shù)的有關(guān)概念.（1）數(shù)軸：規(guī)定了

、正方向、單位長(zhǎng)度的直線.（2）相反數(shù)：

a

的相反數(shù)是

，0的相反數(shù)是0.若

a

與

b

互為相反數(shù)，則

a

＋

b

＝

?.整數(shù)

分?jǐn)?shù)

整數(shù)

分?jǐn)?shù)

零

原點(diǎn)

－

a

0

原點(diǎn)

≥

0

0

（4）倒數(shù)：乘積為

的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

a

（

a

≠0）的倒數(shù)是

，0沒(méi)有倒數(shù).1

4.

科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成

的形式，

其中1≤

a

＜10，

n

為正整數(shù).5.

比較有理數(shù)的大小.（1）利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小：①在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，

邊的數(shù)總比

?邊的

數(shù)大；②

都大于零，

都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；③所有的有理數(shù)從小到大在數(shù)軸上按從左到右的順序排列.a

×10

n

右

左

正數(shù)

負(fù)數(shù)

（2）利用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.6.

有理數(shù)的運(yùn)算.（1）①有理數(shù)加法法則：先定符號(hào)，再計(jì)算.同號(hào)兩數(shù)相加，

取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較

大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；一個(gè)數(shù)

同0相加，仍得這個(gè)數(shù).②有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).（2）有理數(shù)的乘除法法則：兩個(gè)有理數(shù)相乘（除），同號(hào)

得

，異號(hào)得

，并把絕對(duì)值相乘（除）.注意：①0與任何數(shù)相乘的積為0；②0除以任何非零的數(shù)都得

0；③0不能作除數(shù).（3）數(shù)的乘方：

an

＝

，其中

a

叫作

?

，

n

叫作

?.正

負(fù)

底數(shù)

指數(shù)

（4）有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算

，再算

，最后

算

；如果有括號(hào)，先算

里面的；同一級(jí)運(yùn)

算，按照從

到

的順序依次進(jìn)行.（5）有理數(shù)的運(yùn)算律：①加法的交換律：

a

＋

b

＝

b

＋

a

；②加法的結(jié)合律：

a

＋

b

＋

c

＝

?；③乘法的交換律：

a

·

b

＝

b

·

a

；④乘法的結(jié)合律：

a

·

b

·

c

＝

a

·（

b

·

c

）；⑤乘法對(duì)加法的分配律：

a

·（

b

＋

c

）＝

a

·

b

＋

a

·

c

.乘方

乘除

加減

括號(hào)

左

右

a

＋（

b

＋

c

）

數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)BS版典例講練02類型一

有理數(shù)的相關(guān)概念

給出下列各數(shù)：

（1）將上面各數(shù)填在相應(yīng)的集合里.整數(shù)集合：{

…}；分?jǐn)?shù)集合：{

…}；正數(shù)集合：{

…}；負(fù)數(shù)集合：{

…}.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念填寫﹔解：（1）整數(shù)集合：{42，0，－32，…}；

【點(diǎn)撥】（1）解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的相關(guān)概念.（2）按照從大到小的順序用“＞”把這些數(shù)連接起來(lái).【思路導(dǎo)航】（2）先化簡(jiǎn)各數(shù)，再比較大小.

【點(diǎn)撥】（2）比較數(shù)的大小時(shí)，要先化簡(jiǎn)，再比較.

（2）以上7個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)為

，絕對(duì)

值最小的數(shù)為

，有

對(duì)互為相反數(shù).3.5或－3.5

2

類型二

相反數(shù)與絕對(duì)值

（2）絕對(duì)值大于1而小于4的整數(shù)有

個(gè)；已知點(diǎn)

A

在數(shù)軸

上表示的數(shù)是－2，則與點(diǎn)

A

的距離等于3的點(diǎn)表示的數(shù)是

?

?.

－3

4

－5

或1

【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的概念求解即

可；（2）利用數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值的概念、數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離分

類討論即可；【解析】（2）絕對(duì)值大于1而小于4的整數(shù)有±2，±3，共

有4個(gè).若該點(diǎn)在點(diǎn)

A

的左邊，則為－2－3＝－5；若該點(diǎn)在點(diǎn)

A

的右邊，則為－2＋3＝1.故答案為4，－5或1.（3）若｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，且

a

＞

b

，則

a

－

b

＝

?.【思路導(dǎo)航】（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合

a

＞

b

得出

a

，

b

可

能的值，相減即可.7或1

【解析】（3）因?yàn)椋?/p>

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，所以

a

＝±3，

b

＝±4.又因?yàn)?/p>

a

＞

b

，所以

a

＝±3，

b

＝－4.①當(dāng)

a

＝3，

b

＝－4時(shí)，

a

－

b

＝3－（－4）＝7；②當(dāng)

a

＝－3，

b

＝－4時(shí)，

a

－

b

＝－3－（－4）＝1.故答案為7或1.【點(diǎn)撥】求值計(jì)算時(shí)，當(dāng)給出的字母的值不唯一時(shí)，必須分情

況討論，一個(gè)絕對(duì)值分兩種情況，兩個(gè)絕對(duì)值分四種情況.

5

5

25

－2

－6

【解析】因?yàn)椋?/p>

a

－2｜≤

b

＋3，所以

b

＋3≥0.又因?yàn)椋?/p>

a

－2｜＋

b

＝－3，所以｜

a

－2｜＋

b

＋3＝0.所以

a

－2＝0，

b

＋3＝0，解得

a

＝2，

b

＝－3.所以

ab

＝2×（－3）＝－6.故答案為－6.類型三

有理數(shù)的混合運(yùn)算

計(jì)算：

（2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）；解：（2）原式＝45－71＋5－9＝（45＋5）－（71＋9）＝50－80＝－30.

【點(diǎn)撥】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)

合；同號(hào)的兩數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的分?jǐn)?shù)先結(jié)合；其和

為整數(shù)的小數(shù)先結(jié)合.同時(shí)可巧妙應(yīng)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律，降低

運(yùn)算難度和減少運(yùn)算量.

計(jì)算：（1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜；解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4＝－36.

類型四

數(shù)軸與絕對(duì)值

已知有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，所對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)分別為點(diǎn)

A

，

B

，

C

.

（1）在數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示5的點(diǎn)之間的距離為

?；在數(shù)軸上表示－1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離為

?；在數(shù)軸上表示－3的點(diǎn)與表示－5的點(diǎn)之間的距離為

?；由此可得，點(diǎn)

A

，

B

之間的距離為

，點(diǎn)

B

，

C

之間的

距離為

，點(diǎn)

A

，

C

之間的距離為

?.3

4

2

a

－

b

b

－

c

a

－

c

【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得答案；（（2）化簡(jiǎn)：－｜

a

＋

b

｜＋｜

c

－

b

｜－｜

b

－

a

｜.【思路導(dǎo)航】（2）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可；解：（2）由數(shù)軸可知，

c

＜

b

＜0＜

a

，且｜

a

｜＞｜

b

｜.則

a

＋

b

＞0，

c

－

b

＜0，

b

－

a

＜0.所以原式＝－（

a

＋

b

）＋（

b

－

c

）－（

a

－

b

）＝－

a

－

b

＋

b

－

c

－

a

＋

b

＝－2

a

＋

b

－

c

.（3）若

c2＝4，－

b

的倒數(shù)是它本身，

a

的絕對(duì)值的相反數(shù)是－

2，求－

a

＋2

b

－

c

－（

a

－4

c

－

b

）的值.【思路導(dǎo)航】（3）求出

a

，

b

，

c

的值，再將其代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式即可.解：（3）因?yàn)?/p>

c2＝4，－

b

的倒數(shù)是它本身，

a

的絕對(duì)值的相反數(shù)是－2，所以

c

＝－2，

b

＝－1，

a

＝2.所以原式＝－2

a

＋3

b

＋3

c

＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2）＝－4－3－6＝－13.【點(diǎn)撥】（1）｜

a

一

b

｜可表示數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離；（2）去絕

對(duì)值符號(hào)時(shí)，要考慮絕對(duì)值符號(hào)里面部分的正負(fù)性，若不能確

定，則需分類討論.

已知有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示.解答下列問(wèn)題：（1）比較

a

，｜

b

｜，

c

的大小（用“＜”連接）；解：（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，

得

a

＜

c

＜｜

b

｜.（2）若

m

＝｜

a

＋

b

｜－｜

b

－1｜－｜

a

－

c

｜，試化簡(jiǎn)等式的

右邊；解：（2）根據(jù)數(shù)軸可知，

a

＋

b

＜

0，

b

－1＜0，

a

－

c

＜0.所以

m

＝－

a

－

b

＋

b

－1＋

a

－

c

＝

－1－

c

.

解：（3）原式＝－1－1＋1－

2024×（－1）2024＝－1－2024＝－2025.類型五

數(shù)軸上的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

已知

b

是最小的正整數(shù)，且

a

，

b

，

c

滿足｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，請(qǐng)解答下面問(wèn)題：（1）求

a

，

b

，

c

的值.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)有理數(shù)的分類，偶次冪和絕對(duì)值的非負(fù)

性求解；（1）解：因?yàn)?/p>

b

是最小的正整數(shù)，所以

b

＝1.因?yàn)椋?/p>

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，所以

c

－5＝0，

a

＋

b

＝0.所以

c

＝5，

a

＝－

b

＝－1.即

a

＝－1，

b

＝1，

c

＝5.（2）

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為點(diǎn)

A

，

B

，

C

，點(diǎn)

P

為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為

x

，點(diǎn)

P

在0到1之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即

0＜

x

＜1時(shí)），則｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜的值

為

?.10

【思路導(dǎo)航】（2）由0＜

x

＜1可知，

x

＋1，

x

－1，

x

－5的正負(fù)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算；（2）【解析】因?yàn)?＜

x

＜1，所以

x

＋1＞0，

x

－1＜0，

x

－5＜0.所以｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜＝

x

＋1－（1－

x

）＋2（5－

x

）＝

x

＋1－1＋

x

＋10－2

x

＝10.故答案為10.（3）在（2）的條件下，點(diǎn)

A

，

B

，

C

開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

A

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)

B

和點(diǎn)

C

分別以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng).假設(shè)

t

秒

過(guò)后，點(diǎn)

B

與點(diǎn)

C

之間的距離表示為

BC

，點(diǎn)

A

與點(diǎn)

B

之間的距

離表示為

AB

.

請(qǐng)問(wèn)：

BC

－

AB

的值是否隨著時(shí)間

t

的變化而改

變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值.【思路導(dǎo)航】（3）先分別表示出點(diǎn)

A

，

B

，

C

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所表示的數(shù)，然后利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式列式計(jì)算.（3）解：不變.根據(jù)題意可知，

t

秒時(shí)，點(diǎn)

A

對(duì)應(yīng)的數(shù)為－1－

t

，點(diǎn)

B

對(duì)應(yīng)的數(shù)

為2

t

＋1，點(diǎn)

C

對(duì)應(yīng)的數(shù)為5

t

＋5.所以

BC

＝（5

t

＋5）－（2

t

＋1）＝3

t

＋4，

AB

＝（2

t

＋1）－（－1－

t

）＝3

t

＋2.所以

BC

－

AB

＝（3

t

＋4）－（3

t

＋2）＝2.所以

BC

－

AB

的值不隨著時(shí)間

t

的變化而改變，且

BC

－

AB

＝2.【點(diǎn)