2024年高等數(shù)學(xué)經(jīng)典方法與典型例題歸納

山東省一般高等教誨專升本考試山東專升本暑期精講班核心講義高職高專類高等數(shù)學(xué)經(jīng)典措施及經(jīng)典例題歸納—經(jīng)管類專業(yè)：會計學(xué)、工商管理、國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易、電子商務(wù)—理工類專業(yè)：電氣工程及其自動化、電子信息工程、機(jī)械設(shè)計制造及其自動化、交通運(yùn)輸、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、土木工程5月17日星期五曲天堯編寫一、求極限各種措施1．約去零因子求極限例1：求極限【闡明】表白無限接近，但，因此這一零因子能夠約去?！窘狻?42．分子分母同除求極限例2：求極限【闡明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出極限,可通過度子分母同除來求?！窘狻俊咀ⅰ?1)一般分子分母同除最高次方；(2)3．分子(母)有理化求極限例3：求極限【闡明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化措施外，及時分離極限式中非零因子是解題核心4．應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實(shí)現(xiàn)。重要考第二個重要極限。例5：求極限【闡明】第二個重要極限重要搞清楚湊步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)某些?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5．用等價無窮小量代換求極限【闡明】(1)常用等價無窮小有：當(dāng)時,,；(2)等價無窮小量代換,只能代換極限式中因式；(3)此措施在各種求極限措施中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】.例8：求極限【解】6．用洛必達(dá)法則求極限例9：求極限【闡明】或型極限,可通過羅必塔法則來求。【解】【注】許多變動上顯積分體現(xiàn)極限，常用洛必達(dá)法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】因?yàn)?于是====7．用對數(shù)恒等式求極限例11：極限【解】==【注】對于型未定式極限，也可用公式=因?yàn)槔?2：求極限.【解1】原式【解2】原式8．利用Taylor公式求極限例13求極限.【解】,;.例14求極限.【解】.9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【闡明】這是形式數(shù)列極限，因?yàn)閿?shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供措施結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限因此，10．n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理措施(1)用定積分定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【闡明】用定積分定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把當(dāng)作［0,1］定積分。【解】原式＝例17：極限【闡明】(1)該題遇上一題類似，不過不能湊成形式，因而用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用措施是都換成最大或最小?！窘狻恳?yàn)橛忠虼耍剑?1．單調(diào)有界數(shù)列極限問題例18：設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計算.【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限存在.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)），則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（Ⅱ）因，由（Ⅰ）知該極限為型，(使用了洛必達(dá)法則)故.二、常用不定積分求解措施討論0.引言不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中一個重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分函數(shù)基本，要處理以上問題，不定積分問題必要處理，而不定積分基本就是常用不定積分解法。不定積分解法不像微分運(yùn)算時有一定法則，它要依照不一樣題型特點(diǎn)采取不一樣解法，積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，不但技巧性更強(qiáng)，并且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來”，就是說這些函數(shù)原函數(shù)不能用初等函數(shù)來體現(xiàn)，例如（其中）；；；等。這首先體現(xiàn)了積分運(yùn)算困難，另首先也推進(jìn)了微積分自身發(fā)展。同時，同一道題也也許有各種解法，各種成果，因此，掌握不定積分解法比較困難，下面將不定積分各種求解措施分類歸納，以便于愈加好掌握、利用。1.不定積分概念定義：在某區(qū)間I上函數(shù)，若存在原函數(shù)，則稱為可積函數(shù)，并將全體原函數(shù)記為,稱它是函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)不定積分，其中為積分符號，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量。若為原函數(shù)，則：=+C(C為積分常數(shù))。在這里要尤其注意，不定積分是某一函數(shù)全體原函數(shù)，而不是一個單一函數(shù)，它幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：()和是不相等，前者成果是一個函數(shù)，而后者是無窮各種函數(shù)，因此，在書寫計算成果時一定不能忘掉積分常數(shù)。性質(zhì)：1.微分運(yùn)算與積分運(yùn)算時互逆。注：積分和微分連在一起運(yùn)算時：——————>完全抵消。——————>抵消后差一常數(shù)。2.兩函數(shù)代數(shù)和不定積分，等于它們各自積分代數(shù)和，即：=±。3.在求不定積分時，非零數(shù)可提到積分符號外面，即：=(≠0)。在這里，給出兩個重要定理：(1)導(dǎo)數(shù)為0函數(shù)是常函數(shù)。(2)若兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)到處相等，則兩函數(shù)相差一個常數(shù)。以便于愈加好處理某些簡單不定積分問題。上面將不定積分概念以及性質(zhì)做了簡單簡介，下面，咱們開始討論不定積分各種求解措施。2.直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分定義來計算不定積分是非常不以便，利用不定積分運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種措施就是直接積分法(另稱公式法)。下面先給出基本求導(dǎo)公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。依照以上基本求導(dǎo)公式，咱們不難導(dǎo)出如下基本積分表：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。下面舉例子加以闡明：例2.1：求解原式====注意：這里三個積分常數(shù)都是任意，故可寫成一個積分常數(shù)。因此對一個不定積分，只要在最后所得式子中寫上一個積分常數(shù)即可，日后遇到這種情況不再闡明。例2.2：求解原式===注：此處有一個技巧措施，這里先稱作“加1減1”法，相稱于是將多項(xiàng)式拆提成各種單項(xiàng)式，然后利用基本積分公式計算，下面例題中還會遇到類似題型，遇屆時詳細(xì)講解。直接積分法只能計算較簡單不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表處理不定積分，對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)不定積分便無從下手，因此，下面咱們將一一討論其她措施。3.第一類換元法(湊微法)利用基本積分公式和積分性質(zhì)可求得某些函數(shù)原函數(shù)，但只是這么遠(yuǎn)不能處理問題，如就無法求出，必要將它進(jìn)行變形，然后就能夠利用基本積分公式求出其積分。假如不定積分用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為，作變量代換，并注意到，則可將有關(guān)變量積分轉(zhuǎn)化為有關(guān)積分，于是有假如能夠求出，不定積分計算問題就處理了，這就是第一類換元法(湊微分法)。注：上述公式中，第一個等號體現(xiàn)換元，最后一個等號體現(xiàn)回代.下面詳細(xì)舉例題加以討論例3.1：求.解原式==對變量代換比較純熟后，可省去書寫中間變量換元和回代過程。例3.2：求.解原式例3.3：求解在這里做一個小結(jié)，當(dāng)遇到形如：不定積分，可分為如下3中情況：：①不小于0時?？蓪⒃交癁?，其中，x1、x2為兩個解，則原不定積分為：②等于0時。可利用完全平方公式，然后可化成。然后依照基本微分公式(2)便可求解。③小于0時。形如例4，可先給分母進(jìn)行配方。然后可依照基本積分公式(4)便可求解。例3.4：求解原式該題也可利用三角函數(shù)之間關(guān)系求解：原式.雖然兩種解法成果不一樣，但經(jīng)驗(yàn)證均為原函數(shù)，這也就體現(xiàn)了不定積分解法以及成果不唯一性。例3.5：求.解例3.6：求.解注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積時，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。當(dāng)被積函數(shù)為三角函數(shù)偶數(shù)次冪時，常用半角公式通過減少冪次措施來計算；若為奇次，則拆一項(xiàng)去湊微，剩余偶次用半角公式降冪后再計算。例3.7：求.解原式注：這里也就是類似例2所說措施，此處是“減1加1”法。4.第二類換元法假如不定積分用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作恰當(dāng)變量替代后，所得到有關(guān)新積分變量不定積分能夠求得，則可處理計算問題，這就是所謂第二類換元(積分)法。設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具備原函數(shù)，則，其中是反函數(shù)。注：由此可見，第二類換元積分法換元與回代過程與第一類換元積分法恰好相反。例4.1：求不定積分.解令，則，，因此axt為將變量還原回本來積分變量，由作直角三角形，可知，代入上式，得axt注：對本題，若令，同樣可計算。例4.2：求不定積分.解令，則，，因此例4.3：求不定積分.解令，則，，因此注：以上幾例所使用均為三角代換，三角代換目是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中具備時，可令，；假如被積函數(shù)中具備，可令，；假如被積函數(shù)中具備；可令，.例4.4：求不定積分解令，則，因此，。.例4.5：求不定積分.解(變形).令，.原式有關(guān)第二類換元法，就舉些例子闡明，詳細(xì)要多做大量習(xí)題，這么才能找到該怎么樣換元感覺，才能愈加好掌握這種措施。5.分部積分法前面所簡介換元積分法雖然能夠處理許多積分計算問題，但有些積分，如、等，利用換元法就無法求解.接下來要簡介另一個基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)和具備連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則移項(xiàng)得到，因此有，或.上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分核心在于怎樣將所給積分化成形式，使它更輕易計算.所采取重要措施就是湊微分法，例如，利用分部積分法計算不定積分，選用好u,v非常核心，選用不當(dāng)將會使積分計算變得愈加復(fù)雜。下面將通過例題簡介分部積分法應(yīng)用。例5.1：求不定積分.解令，，則有些函數(shù)積分需要連續(xù)數(shù)次應(yīng)用分部積分法。例5.2：求不定積分.解令和，則.對背面不定積分再用分部積分法，(運(yùn)算純熟后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得