專題2.24第28章銳角三角函數(shù)函數(shù)單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）（解析版）

注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共25題，其中選擇10道、填空8道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1招遠(yuǎn)市期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°,tanA【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.【解答】解：∵tanA=,∴cosA=.故選：C.2豐澤區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°,則sinA等于()【分析】根據(jù)正弦值的定義解決此題.【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°,sinA=.故選：B.3工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，BC＝3，AC=,∠C＝90°,則∠A的度數(shù)是()【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可.【解答】解：如圖所示：∵BC＝3，AC=,∠C＝90°,∴tanA===故選：D.4梁平區(qū)期末）式2cos30°﹣tan45°﹣【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.【解答】解：原式＝2×﹣1﹣(﹣1）=﹣1﹣+1=0.故選：A.5景縣校級(jí)模擬）如圖，已知A處位于點(diǎn)B處的右上方，若從B處觀察A處的仰角為40°,則從A處觀察B處的俯角為()【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的仰角與俯角正好是兩條水平線間的內(nèi)錯(cuò)角，大小相等，即可得出答案.【解答】解：∵從點(diǎn)A處觀察B處的俯角與從B處觀察A處的仰角互為內(nèi)錯(cuò)角，大小相等，∴從A處觀察B處的俯角為40°.故選：A.6高新區(qū)期中）如圖，小王在高臺(tái)上的點(diǎn)A處測(cè)得塔底點(diǎn)C的俯角為α,塔頂點(diǎn)D的仰角為β,已知塔的水平距離AB＝a，則此時(shí)塔高CD的長(zhǎng)為()A．a(chǎn)sinα+asinβB．a(chǎn)tanα+atanβ【分析】利用直角三角形的邊角關(guān)系，用含有AB的代數(shù)式表示BD、BC即可解答.【解答】解：∵AB＝a，AB⊥CD，在Rt△ABD中有，BD＝AB?tanβ=atanβ,在Rt△ABC中有，BC＝AB?tanα=atanα,∴CD＝BD+BC＝atanβ+atanα.故選：B.7雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為()【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，利用網(wǎng)格以及勾股定理求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BC交網(wǎng)格于點(diǎn)D，連接AD，由網(wǎng)格以及正方形的性質(zhì)可得AD⊥BD，由網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形可得，ADBD2，在Rt△ABD中，tan∠ABC==,故選：A.8徐匯區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°,如果∠A=α,BC=α.那么AC的長(zhǎng)是()【分析】利用正弦函數(shù)求解即可.【解答】解：如圖，=在Rt△ABC中，AC==.故選：D.9惠山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AC于點(diǎn)E，若S△ADE=,sin∠CDE=D.【分析】利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的長(zhǎng)，利用面積公式求解即可.【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，∵ED⊥AB，∴ED∥CF，∴∠CDE=∠DCF，在Rt△CDE中，sin∠CDE＝sin∠DCF=∴DF3x，∴BF＝BD﹣DF＝2x，在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2∴BC22x）2+（4x）2＝20x2，∴=∵ED=∴S△ADE===.∵S△ADE=∴BC==2.故選：C.10姑蘇區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且cos∠AOB=B.【分析】如圖，過點(diǎn)O作直線l′∥直線l，則直線l與直線l′之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB′，AB′，AB′交直線l′于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．首先證明當(dāng)A，O，B′共線時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)AB的值最小，解直角三角形求出此時(shí)AB的值，可得結(jié)論.【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作直線l′∥直線l，則直線l與直線l′之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB′，AB′，AB′交直線l′于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W.在Rt△ABB′中，AB==,∴當(dāng)A，O，B′共線時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)AB的值最小，∴∠TAB=∠TBA，∵cos∠AOB＝cos∠ATB=,∴=,∴可以假設(shè)TH＝3k，AT＝TB＝5k，∴BH＝TB﹣TH＝2k，∴AH4k，∴AB2√5k，＝?AB?TW＝?TB?AH，∴×2k×4=×5k×4k，解得k=,∴AB的最小值＝2×=4，故選：D.二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11陽谷縣校級(jí)月考）如果α是銳角，sina＝cos30°,那么α為60°.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出cos30°,再根據(jù)sin60°=解答即可.【解答】解：∵cos30°=,sina＝cos30°,∴sina=,∵sin60°=,∴α=60°,故答案為：60°.12晉江市期中）比較大小：tan50°＜tan60°.【分析】根據(jù)正切隨角度的增大而增大得出即可.【解答】解：∵50°＜60°,故答案為：<.13工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為6米．則這個(gè)坡面的坡度為3：4.【分析】根據(jù)勾股定理求出斜坡的水平寬度，再根據(jù)坡度的概念計(jì)算即可.【解答】解：由勾股定理得：斜坡的水平寬度為8（米故答案為：3：4.14萊西市期末）計(jì)算：cos245°﹣tan60°?cos30°=﹣1.【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.【解答】解：原式=(=﹣=﹣1.故答案為：﹣1.15倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則tan∠PAB+tan∠PBA=.【分析】由銳角的正切定義，可求解.【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是a，∵tan∠PAB===,tan∠PBA===,∴tan∠PAB+tan∠PBA＝+=16百色一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，則sinC= .【分析】根據(jù)題意由AD＝12，BD＝AD，可計(jì)算出BD的長(zhǎng)，即可而算出CD＝BC﹣BD的長(zhǎng)，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AC根據(jù)正弦函數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.【解答】解：∵AD＝12，在Rt△ACD中，AC==,∴sinC==.17南通）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測(cè)得B到樹底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測(cè)角儀BD，測(cè)得樹頂A的仰角為60°,則樹高AC為（1+10）m（結(jié)果保留根號(hào)）.【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE?tan60°,加上1即為AC的長(zhǎng).【解答】解：如圖，設(shè)DE⊥AC于點(diǎn)E，在Rt△AED中，AE＝DE?tan60°=10×18河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN=.【分析】先判斷出四邊形ABEF是正方形，進(jìn)而判斷出△ABG≌△BEH（SAS得出∠BAG=∠EBH，進(jìn)而求出∠AOB＝90°,再判斷出△AOB∽△ABG，求出，再判斷出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案.【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AF＝BE＝AD，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴△ABG≌△BEH（SAS∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG＝90°,:上AOB＝90。，“BG＝EH＝BE＝2，:BE＝5，:AF＝5，“上OAB＝上BAG，上AOB＝上ABG，:△AOB一△ABG，:，:==,“OM丄ON，:上MON＝90。＝上AOB，:上BOM＝上AON，“上BAG+上FAG＝90。，上ABO+上EBH＝90。，上BAG＝上EBH，:上OBM＝上OAN，:△OBM一△OAN，:，“點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，:AN＝AF=,:，:BM＝1，:AM＝AB-BM＝4，在Rt△MAN中，tan上AMN=故答案為：==三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19二道區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：2sin30。-tan45。+cos230。.【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.=1﹣1+=.20臨清市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝30°,AC＝12【分析】由銳角的正弦，余弦定義即可求解.【解答】解：作AD⊥BC于D，∵cosC=,∴DC＝AC?cosC，∴DC＝12cos30°=6，∵sinB=,∴BC＝DB+DC＝6+8.21路橋區(qū)一模）火鉗是鐵制夾取柴火的工具，有保潔員拿它拾撿地面垃圾使用，圖1是火鉗實(shí)物圖，圖2是其示意圖．已知火鉗打開最大時(shí)，兩鉗臂OC，OD的夾角上COD＝40。，若OC＝OD＝40cm，求兩鉗臂端點(diǎn)C，D的距離結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70?！?.94，cos70。≈0.34，tan70?！?.75）【分析】連接CD，過點(diǎn)O作OE丄CD，垂足為E，利用等腰三角形的性質(zhì)可得上C＝上D＝70。，CD=2CE，然后在Rt△OCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長(zhǎng)，從而求出CD的長(zhǎng)，即可解答.【解答】解：連接CD，過點(diǎn)O作OE丄CD，垂足為E，“OC＝OD＝40cm，上COD＝40。，:上C＝上D＝70。，CD＝2CE，在Rt△OCE中，CE＝OC?cos70。≈40×0.34＝13.6（cm:CD＝2CE≈27（cm:兩鉗臂端點(diǎn)C，D的距離約為27cm.22賈汪區(qū)二模）如圖，在某單位拐角處的一段道路上，有施工隊(duì)正在修路并在點(diǎn)M處放置了施工提示牌，小李騎電動(dòng)自行車從點(diǎn)P出發(fā)，沿著路線PQ以2m/s的速度勻速行駛，其視線被辦公樓遮擋．已知PB=500m，上QPB＝20。，上NBP＝25。，行駛3分鐘后，小李能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M處的施工提示牌參考數(shù)據(jù)：sin20。≈0.34，cos20。≈0.94，tan20。≈0.36，sin25【分析】過點(diǎn)B作BA⊥PQ，分別求得AP，AN，即可求得PN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)路程除以速度等于時(shí)間求得時(shí)間，進(jìn)而即可求解.【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BA⊥PQ于點(diǎn)A，23閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC＝6，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，求：（1）線段BE的長(zhǎng)；（2）∠ECB的余弦值.【分析】（1）根據(jù)題意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=,由AE＝sin45°?AD的長(zhǎng)度，則BE＝AB﹣AE，計(jì)算即可得出答案；（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，EF＝BF＝sin45°?BE，則CF＝BC﹣BF，根據(jù)勾股定理可得CE=,在Rt△ECF中，由cos∠ECB=計(jì)算即可得出答案.【解答】解1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AB==6，（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，如圖，∴EF＝BF＝sin45°?BE==4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE===2，在Rt△ECF中，cos∠ECB===24雁塔區(qū)校級(jí)模擬）問題提出形ABCD的面積結(jié)果保留根號(hào)）問題探究（2）某地有兩條平行的道路m、n，以及與其相交的另一條道路l，交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)（如圖2所示在道路m、n上分別有一點(diǎn)P、Q，且AP＝60m，BQ＝180m，AB＝240m，∠ABQ＝60°,現(xiàn)計(jì)劃在道路m、n之間，道路1右側(cè)選取兩點(diǎn)M、N，修建四邊形花園PMQN，且滿足PM＝PN，∠MPN＝120°,若存在，請(qǐng)求出其面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】（1）根據(jù)四邊形常作的輔助線是對(duì)角線，把它分割成三角形進(jìn)行即可，可得連接BD，延長(zhǎng)DA、BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，可得AE＝AB＝3，進(jìn)而得到DE＝7，EFBE＝3，進(jìn)而得到CE＝5=,再由四形ABCD的面積等于S△ABD+S△CBD，即可求解.可得∠E=∠ABE，從而得到,BH=,BH=（2）理由同（1）連接PQ，過點(diǎn)A作AC⊥BQ于點(diǎn)C，可證得四邊形ACQP是矩形，從而得到PQ∥AC，PQ＝AC＝120m，∠APQ＝90°,再由四邊形PMQN等于S△PMQ+S△PNQ，可得要使四邊形PMQN的面積最小，則點(diǎn)M、N到PQ的距離的和最小，此時(shí)MN⊥PQ，可得到PQ垂直平分MN，從而得到∠MQP﹣∠MQN＝15°,然后連接MN交PQ于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)F，連接FQ，可得∠APF=∠AFP，從而得到AF＝AP＝60m，可證得△BFQ是等邊三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DM＝FM，然后在直角△PDM中，利用銳角三角函數(shù)可得DM360﹣180）m，即可求解.【解答】解1）如圖，連接BD，延長(zhǎng)DA、BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，∴AF∥DG，∴=,∴EF＝BF，∴AF＝AEBH＝BE，∴EF=,∴=,解得：DG=,∴四邊形ABCD的面積等于S△ABD+S△CBD＝AD?BH+BC?DG=;+2×=（2）存在符合要求的四邊形PMQN，理由如下：如圖，連接PQ，過點(diǎn)A作AC⊥BQ于點(diǎn)C，“上ABQ＝60。，:AB＝2BC，“AB＝240m，:BC＝120m，:AC＝120m，“BQ＝180m，AP＝60m，:CQ＝AP＝60m，“APⅡCO，:四邊形ACQP是平行四邊形，“上ACQ＝90。，:四邊形ACQP是矩形，:PQⅡAC，PQ＝AC＝120m，上APQ＝90。，“四邊形PMQN等于S△PMQ+S△PNQ，:要使四邊形PMQN的面積最小，則點(diǎn)M，點(diǎn)N到PQ的距離的和最小，此時(shí)MN丄PQ，“PM＝PN，:PQ垂直平分MN，:QM＝QN，MN＝2DM，:上MQP＝上NQP=上MQN＝15。，連接MN交PQ于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)F，連接FQ，“PM＝PN，上MPN＝120。，:上APM＝30。，∴∠APF=∠AFP，∴AF＝AP＝60m，∴BF＝AB﹣AF＝180m，∴BF＝BQ，∴△BFQ是等邊三角形，∴∠PQF＝30°,∴∠FQM=∠MQP，∴DM﹣FM，∴PF＝FQ?tan∠PQF＝60m，設(shè)FM＝DM＝xm，則PM60﹣x）m，在直角△PDM中，sin∠MPD=,∴sin60°=,解得：x＝360﹣180，即DM360﹣180）m，∴MN720﹣360）m，∴四邊形PMQN的面積為MN?PQ＝120×（720﹣36086400﹣129600）m2，綜上所述，存在符合要求的四邊形PMQN，其面積的最小值為（86400﹣129600）m2.25雙陽區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC＝AB＝10過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出