第二章 軸對(duì)稱圖形（角平分線+將軍飲馬模型拓展）-蘇科版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)單元速記巧練（解析版）

第第頁第二章軸對(duì)稱圖形（角平分線+將軍飲馬模型）一、角平分線模型①②③④輔助線做法：①垂兩邊：②截兩邊：③角平分線﹢平行→等腰三角形④角平分線﹢垂線→等腰三角形（三線合一）典例1如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為40和28，則△EDF的面積為（）A．12 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】解析：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB∴DF=DH在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）∴S△EDF=S△GDH，設(shè)面積為S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴S△ADF=S△ADH即28﹢S=40﹣S，解得S=6典例2如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E．求證：BD=2CE．【答案】見解析【分析】解析：延長CE、BA交于F點(diǎn)，如圖，

∵BE⊥EC，

∴∠BEF=∠CEB=90°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴∠F=∠BCF，

∴BF=BC，

∵BE⊥CF，

∴CE=CF，

∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，

∴∠CBA=45°，

∴∠F=（180﹣45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，

∴∠ADB=67.5°，

∵在△ADB和△AFC中，，

∴△ADB≌△AFC（AAS），

∴BD=FC，

∴BD=2CE．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，與AC交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC=5，△BCD的面積為5，則ED的長為（）A． B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】解析：過D點(diǎn)作DF⊥BC于F，如圖∵△BCD的面積為5∴DF·BC=5∵BC=5∴DF=2∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC∴DE=DF=2跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC－PB＜AC－AB.【答案】見解析【分析】解析：如圖，在AC上截取AE，使AE=AB，連接PE，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AEP和△ABP中，，

∴△AEP≌△ABP（SAS），

∴PE=PB，

在△PCE中，PC﹣PE<CE，

∴PC﹣PE<AC﹣AE，

∴PC﹣PB<AC﹣AB．二、將軍飲馬（求兩線段和最小值）1、兩定一動(dòng)思想：化折為直方法：先對(duì)稱，再連接2、兩動(dòng)一定思想：化折為直方法：先對(duì)稱，再垂直，面積法求垂線段3、郵差送信（求三折線段和最小值）思想：化折為直方法：作兩次對(duì)稱再連接典例3按下列要求進(jìn)行尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：（1）如圖1：已知直線m及直線m外兩點(diǎn)A、B，在直線m上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等．（2）如圖2：已知直線m及直線m外兩點(diǎn)A、B，在直線m上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小．【答案】見解析【分析】解析：如圖，點(diǎn)P即為所求典例4如圖：等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（C）A．6B．8C．9D．10【答案】C【分析】解析：連接AD、MA∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴，解得AD=6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA=MC∴MC﹢DM=MA﹢DM≥AD，∴AD的長為CM﹢MD的最小值，∴△CDM的周長最短典例5如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF﹢EF的最小值為．【答案】【分析】解析：作E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線，

∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，

∴M在AB上，

在Rt△ABD中，AD=12，

∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，

∴CN=，

∵E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，

∴EF=FM，

∴CF﹢EF=CF﹢FM=CM，

根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN，

即CF﹢EF≥，

即CF﹢EF的最小值是典例6如圖，A是銳角MON內(nèi)部一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形ABC，使三角形ABC周長最小.【答案】見解析【分析】解析：作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′，關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A′，與OM、ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形.∵A與A′關(guān)于OM對(duì)稱，A與A″關(guān)于ON對(duì)稱，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′A″為△ABC的最小值.典例7若在∠MON內(nèi)部有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上求作點(diǎn)C、D，使得AC﹢CD﹢DB的長度最小【答案】見解析【分析】解析：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OM、ON于點(diǎn)C、D，即為所求跟蹤訓(xùn)練3如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN﹢∠ANM的度數(shù)為（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】D【分析】解析：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A′A″與BC、CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M、N，∵∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，

∴∠A′﹢∠A″=180°﹣∠110°=70°，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，

∴∠AMN﹢∠ANM=2（∠A′﹢∠A″）=2×70°=140°．1、如圖，△ABC的面積為1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，則△PBC的面積為___．【答案】0.5cm2【分析】解析：延長AP交BC于E∵BP平分∠ABC∴∠ABP=∠EBP∵AP⊥BP∴∠APB=∠EPB=90°在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBP，BP=BP，∠APB=∠EPB∴△ABP≌△EBP（ASA）∴AP=PE∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP∴S△PBC=S△ABC=×1cm2=0.5cm22、如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的高AD＝6，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，存在EB﹢EF的最小值，則這個(gè)最小值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】解析：連接CF，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線

∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC

∴EB=EC，

當(dāng)B、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF﹢EC=EF﹢BE=CF，

∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，

∴AD=CF=6，

∴EF﹢BE的最小值為63、如圖，已知正方形ABCD的邊長是為10cm，△ABE為等邊三角形（點(diǎn)E在正方形內(nèi)），若P是AC上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD﹢PE的最小值是多少（C）A．6cmB．8cmC．10cmD．5cm【答案】C【分析】解析：連接BP．∵正方形ABCD的邊長是10cm，△ABE為等邊三角形∴BE=AB=10cm∵ABCD為正方形，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)∴PB=PD∴PE﹢PD=PB﹢PE∵PB﹢PE≥BE∴當(dāng)點(diǎn)E、P、B在一條直線上，PD﹢PE有最小值，最小值=BE=10cm

4、如圖，直線l旁有兩點(diǎn)A，B，在直線上找一點(diǎn)C使到A，B兩點(diǎn)的距離之和最?。谥本€上找一點(diǎn)D使到A，B兩點(diǎn)的距離相等．【答案】見解析【分析】解析：如圖所示，點(diǎn)C，D為求作的點(diǎn)．5、如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是____．【答案】30°【分析】解析：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱