高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：1 4 1 第3課時(shí) 空間中直線、平面的垂直(人教A版)

第一章

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識(shí)點(diǎn)二線面垂直的向量表示知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2

分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l與α斜交√解析∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2.已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為√解析由題意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，2.已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為√解析由題意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，3.(多選)下列命題中，正確的命題為A.若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB.若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0C.若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α垂直，則n∥aD.若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直√√√解析A中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知BCD正確.4.平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，則t的值為_(kāi)_______.5解析∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.2題型探究PARTTWO一、證明線線垂直問(wèn)題例1如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).求證：EF⊥BC.證明由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，證明由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，反思感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.跟蹤訓(xùn)練1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝

CC1.求證：AB1⊥MN.證明設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.二、證明線面垂直問(wèn)題例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F.求證：PB⊥平面EFD.證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，即x＋y

－z＝0. ①所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②因?yàn)镻B⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二

設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，反思感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.③

判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.②求出平面的法向量.③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.證明設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，∴EF⊥平面B1AC.令x＝1得n＝(1,1，－1)，三、證明面面垂直問(wèn)題例3在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，方法一

連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，所以O(shè)E∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二

設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z).令x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝(1,1,0).因?yàn)閚1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn).求證：平面AED⊥平面A1FD1；證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一個(gè)法向量為n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.3隨堂演練PARTTHREE1.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無(wú)法確定√12345解析a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2.已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于A.4 B.－4 C.5 D.－5√12345解析∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0√解析E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，即2－2z＝0，即z＝1.1234512345PM⊥AM解析以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，12345所以PM⊥AM.12345是解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于BC的直線為x軸，AC，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，123451.知識(shí)清單：(1)線線垂直.(2)線面垂直.(3)面面垂直.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法、法向量法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對(duì)應(yīng)易混.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于A.－2 B.2 C.10 D.6√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2.若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，則x的值為√12345678910111213141516解析因?yàn)棣痢挺?，所以它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3.已知點(diǎn)A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)√得－x＋1－z＝0. ①聯(lián)立①②得x＝－1，z＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1,0,2).123456789101112131415164.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于A.BD B.AC C.A1D D.A1A√12345678910111213141516解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.∴CE⊥BD.123456789101112131415165.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC，MN都不垂直√12345678910111213141516√解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).12345678910111213141516∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1顯然不垂直，故選AC.6.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z＝________.12345678910111213141516－9解析由題意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，則x的值為_(kāi)_______.123456789101112131415160或9解析∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，12345678910111213141516分三種情況：綜上，x的值為0或9.8.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝

，則n的坐標(biāo)為_(kāi)________________________.12345678910111213141516(－2,4,1)或(2，－4，－1)設(shè)n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直，解得y＝4或y＝－4.當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－2，z＝1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x＝2，z＝－1.∴n的坐標(biāo)為(－2,4,1)或(2，－4，－1).123456789101112131415169.如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA.12345678910111213141516證明如圖，連接OP，OQ，PQ，取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線為x軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示).123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，12345678910111213141516求證：平面ADE⊥平面ABE.證明取BE的中點(diǎn)O，連接OC，又AB⊥平面BCE，所以以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示).設(shè)平面ADE的法向量為n＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE，所以AB⊥OC.因?yàn)锽E⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABE，所以O(shè)C⊥平面ABE.所以平面ABE的法向量可取為m＝(1,0,0).所以平面ADE⊥平面ABE.A.EF至多與A1D，AC中的一個(gè)垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故選B.1234567891011121314151612.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的比值為12345678910111213141516√解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，PA＝a，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，y，0)，所以F為AD的中點(diǎn)，所以AF∶FD＝1∶1.1234567891011121314151613.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是________.12345678910111213141516垂直解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，取y＝1，則z＝1，平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，∴EF⊥平面PBC.1234567891011121314151614.如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E，C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線MN有________條.123456789101112131415161解析假設(shè)存在滿足條件的直線MN，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D1(2,0,2)，E(1,2,0)，所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，12345678910111213141516即存在滿足條件的直線MN，有且只有一條.1234567891011121314151615.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是12345678910111213141516拓廣探究A.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ與平面A1BD垂直√解析以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，取z＝－2，則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(2,1，－2).12345678910111213141516但此方程關(guān)于λ無(wú)解.故不存在DQ與平面A1BD垂直.1234567891011121314151616.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：A1E⊥BD；12345678910111213141516