高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：習(xí)題課 軌跡問(wèn)題(人教A版)

習(xí)題課軌跡問(wèn)題第三章

圓錐曲線的方程1.理解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本方法.2.能熟練地運(yùn)用直接法、定義法、代入法等方法求曲線的軌跡方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)生活中我們處處可見(jiàn)軌跡的影子.導(dǎo)語(yǔ)例如：人生的軌跡，我們每個(gè)人的成長(zhǎng)軌跡，美麗的流星劃過(guò)夜空留下的軌跡.隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、定義法求軌跡方程二、相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程三、直接法求軌跡方程內(nèi)容索引一、定義法求軌跡方程問(wèn)題1

回顧圓、橢圓的定義，圓、橢圓上的點(diǎn)分別滿(mǎn)足什么條件？提示圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足到圓心的距離等于半徑.橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù).例1

一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(2,0)，且與定圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解將定圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x＋2)2＋y2＝62，這時(shí)，已知圓的圓心坐標(biāo)為B(－2,0)，半徑為6，如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.∴已知圓(大圓)半徑與動(dòng)圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根據(jù)橢圓的定義知M的軌跡是以點(diǎn)B(－2,0)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)O(0,0)為中心的橢圓.反思感悟觀察幾何圖形，根據(jù)幾何圖形的直觀性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何屬性，由曲線的定義直接得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.注意要檢驗(yàn)是否有要?jiǎng)h除的點(diǎn).反思感悟觀察幾何圖形，根據(jù)幾何圖形的直觀性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何屬性，由曲線的定義直接得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.注意要檢驗(yàn)是否有要?jiǎng)h除的點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1

已知△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－4，0)，(4,0)，C

為動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足sinB＋sinA＝

sinC，求點(diǎn)C的軌跡.即|AC|＋|BC|＝10，滿(mǎn)足橢圓的定義.則a′＝5，c′＝4?b′＝3，二、相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程解設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由M為線段AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為(2x－2a，2y).反思感悟相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程的一般步驟(1)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0).(2)找出(x，y)與(x0，y0)之間的等量關(guān)系，用x，y表示x0，y0.(3)將x0，y0代入其所在的曲線方程.(4)化簡(jiǎn)方程得所求方程.反思感悟相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程的一般步驟(1)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0).(2)找出(x，y)與(x0，y0)之間的等量關(guān)系，用x，y表示x0，y0.(3)將x0，y0代入其所在的曲線方程.(4)化簡(jiǎn)方程得所求方程.跟蹤訓(xùn)練2

已知P(－4，－4)，Q是橢圓x2＋2y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，M是線段PQ上的點(diǎn)，A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9√又Q(m，n)在橢圓x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.三、直接法求軌跡方程問(wèn)題2

直接法求軌跡方程的步驟有哪些？提示建系、設(shè)點(diǎn)列式、化簡(jiǎn)檢驗(yàn).(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Γ的方程；解設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，解設(shè)點(diǎn)B(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)，反思感悟求軌跡方程時(shí)，沒(méi)有坐標(biāo)系時(shí)要先建立坐標(biāo)系，設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，軌跡方程就是x，y之間的等式，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，然后用x，y表示.解設(shè)P(x，y).即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝8y.1.知識(shí)清單：(1)定義法求軌跡方程.(2)相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程.(3)直接法求軌跡方程.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū)：在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，易忽略檢查是否有要?jiǎng)h除(增加)的點(diǎn).課堂小結(jié)隨堂演練1.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是√1234解析在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，1234解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，0)，1234∵點(diǎn)P在x2＋y2＝4上，3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是____________.1234x＋y－1＝0解析由點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＝|PB|，可知點(diǎn)P的軌跡為點(diǎn)A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分線.∴其垂直平分線的斜率為－1.∴點(diǎn)P的軌跡方程是y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.故曲線C的軌跡是橢圓.橢圓1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)的距離之和為10，則M的軌跡方程是√解析平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)的距離之和為10＞6，所以M的軌跡滿(mǎn)足橢圓的定義，是橢圓，且a＝5，c＝3，則b＝4，基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知△ABC的周長(zhǎng)為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為√解析∵△ABC的周長(zhǎng)為12，頂點(diǎn)B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，又8＞4，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，123456789101112131415163.已知點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動(dòng)點(diǎn)A到F1的距離是

線段AF2的垂直平分線交AF1于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程是√12345678910111213141516∴點(diǎn)P的軌跡是以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓.4.已知橢圓

(a>b>0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是A.圓 B.橢圓C.線段 D.直線√解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，12345678910111213141516又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.√12345678910111213141516解析設(shè)交點(diǎn)為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共線，12345678910111213141516∵A2，P2，P共線，123456789101112131415166.動(dòng)圓M與圓M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，與圓M2：(x－1)2＋y2＝25內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是√12345678910111213141516解析設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x，y)，半徑為R，動(dòng)圓與圓M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，與圓M2：(x－1)2＋y2＝25內(nèi)切，∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6，∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2，∴該動(dòng)圓圓心M的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且2a＝6，c＝1，解得a＝3，根據(jù)a，b，c的關(guān)系求得b2＝8，12345678910111213141516解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(x≠±2)，12345678910111213141516解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，123456789101112131415169.如圖所示，Rt△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－2,0)，直角頂點(diǎn)B(0，

頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn).(1)求邊BC所在直線的方程；12345678910111213141516(2)M為Rt△ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；令y＝0，得C(4,0).∴圓心M(1,0).又∵|AM|＝3，∴圓M的方程為(x－1)2＋y2＝9.12345678910111213141516(3)若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程.解∵P(－1,0)，M(1,0)，且圓N過(guò)點(diǎn)P(－1,0)，∴PN是該圓的半徑.又∵動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2.∴點(diǎn)N的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓.1234567891011121314151610.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2，0)為其右焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；12345678910111213141516若點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則其左焦點(diǎn)為F′(－2,0)，12345678910111213141516又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，(2)若P是(1)中所求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求PF的中點(diǎn)Q的軌跡方程.12345678910111213141516解設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，∵Q為PF的中點(diǎn)，11.已知在△ABC中，點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B(2,0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，則點(diǎn)C的軌跡方程為√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析設(shè)C(x，y)，12345678910111213141516由tan∠CAB·tan∠CBA＝2，當(dāng)x＝±2時(shí)，C與A或B重合，不符合題意.12.設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為√12345678910111213141516解析圓心C(－1,0)，半徑為5，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，∵AQ的垂直平分線交CQ于M，∴|MA|＝|MQ|，又|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，即|MA|＋|MC|>|AC|，由橢圓的定義可得點(diǎn)M的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，c＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析設(shè)M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，12345678910111213141516因?yàn)閨AB|＝5，解析設(shè)Q(x，y)，1234567891011121314151615.如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A.圓 B.一條直線C.橢圓 D.兩條平行直線√拓廣探究12345678910111213141516解析因?yàn)槿切蔚拿娣e為定值，以AB為底，則底邊長(zhǎng)一定，從而可得P到直線AB的距離為定值，分析可得，點(diǎn)P在以AB為軸線的圓柱面與平面α的交線上，且α與圓柱的軸線斜交，由平面與圓柱面的截面的性質(zhì)判斷，可得P的軌跡為橢圓.16.設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|＋|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程.12345678910111213141516解圓A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)，如圖所示，因?yàn)閨AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因?yàn)镋B∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.12345678910111213141516又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0).|AB|＝2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝4，c＝1，所以a2＝4，b2＝3，12345678910111213141516備用工具&資料解圓A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)，如圖所示，因?yàn)閨AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因?yàn)镋B∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|