6多元函數(shù)微積分簡介(一)

空間解析幾何簡介

6.1

多元函數(shù)的極限與連續(xù)6.2

偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.3

目錄

第六章多元函數(shù)微積分一復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法6.4

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空間解析幾何簡介

6.1

多元函數(shù)的極限與連續(xù)6.2

偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.3

目錄

第六章多元函數(shù)微積分一復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法6.4

下頁6.1空間解析幾何簡介

一、空間直角坐標系通常規(guī)定x軸，y軸，z軸的正向要遵循右手法則.橫軸縱軸豎軸坐標原點6.1空間解析幾何簡介

Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ6.1空間解析幾何簡介

空間的點有序數(shù)組特殊點的表示：坐標軸上的點坐標面上的點6.1空間解析幾何簡介

【解】根據(jù)坐標與點的對應(yīng)關(guān)系，描出各點如下圖所示.【例如】

在空間直角坐標系中，標出下列各點的坐標：A(1,2,3),B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1空間解析幾何簡介

●空間兩點的距離公式長方體的對角線長的平方等于三條棱長的平方和，則：如圖可知,該長方體的各棱長分別為：所以點和兩點間的距離為已知6.1空間解析幾何簡介

三點為頂點的三角形是等腰三角形.【例1】（1）

求證：以【證】因為所以故三角形為等腰三角形.公式6.1空間解析幾何簡介

【例1】（2）一動點M(x,y,z)到原點O(0,0,0)的距離為定值1，求動點的軌跡方程.【解】因為|MO|=1，所以根據(jù)兩點間的距離公式，得化簡，得所求軌跡方程為6.1空間解析幾何簡介

二、平面與直線由兩點間的距離公式得

x+2y-2z-3=0.●平面方程【解】依題意有化簡后，可得點M的軌跡方程為【例2

】

求與兩定點，的距離相等的點的軌跡方程.

6.1空間解析幾何簡介

空間中任意一個平面的方程都可表示為一個三元一次方程：此方程稱為平面的一般方程【例3】（1）求過點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.即x+y+z=1.【解】

已知平面的一般方程為將點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的坐標分別代入平面方程，得解得將此代入平面方程得6.1空間解析幾何簡介

【解】設(shè)平面的方程為Ax+By+Cz+D=0.將三點坐標代入得【例3】（2）設(shè)平面過點P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc≠0)，求它的方程．將上面結(jié)果代入所設(shè)方程得，即為平面的截距式方程.整理得6.1空間解析幾何簡介

平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標原點；平面平行于軸；平面通過軸；平面平行于面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.平面一般方程：6.1空間解析幾何簡介

例如，

作出下列平面.

(1)x=2;

(2)z=3;

(3)x+y=2;【解】(1)x=2表示過點(2,0,0)且平行于yOz面的平面.

(2)z=3表示過點(0,0,3)且平行于xOy面的平面.6.1空間解析幾何簡介

(3)x+y=2表示過點(2,0,0),(0,2,0)且與z軸平行的平面.表示過三點(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.6.1空間解析幾何簡介

※【例4】

求過x軸和點M(2,-2,3)的平面方程.【解】因為平面過x軸，所以設(shè)平面的方程為By+Cz=0.將點M(2,-2,3)代入上式，得-2B+3C=0.解得將代入方程By+Cz=0中，得因為，故所求平面方程為即3y+2z=0.6.1空間解析幾何簡介

●

直線方程設(shè)空間一直線為l

,

為交于l

的兩個平面，方程為

直線的一般方程6.1空間解析幾何簡介

※點到平面的距離6.1空間解析幾何簡介

●曲面方程的概念【定義1】如果曲面S與三元方程F(x,y,z)

=

0有如下關(guān)系：（1）曲面S上任意一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0，

(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足F(x,y,z)=0，則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程，而曲面S

稱為F(x,y,z)=0的圖形.定義16.1空間解析幾何簡介

【例5】求球心在點，半徑為R的球面方程.

【解】設(shè)M(x,y,z)是球面上任意一點，則整理，得特別地，當(dāng)球心在原點O(0,0,0)時，球面方程為根據(jù)兩點間的距離公式，得【解】把原方程配方，得【例6】方程表示怎樣的曲面？所以，它表示球心在點(2,0,-1),半徑為的球面．6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的概念

【例1】圓柱的體積和它的底半徑R，高H之間具有關(guān)系對于R、H在一定范圍內(nèi)取一對確定的值時，V都有惟一確定的值與之對應(yīng).【例2】設(shè)R是電阻R1,R2并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系對于R1,R2在一定范圍內(nèi)取一對確定的值，R都有惟一確定的值與之對應(yīng).6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)自變量x，y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，通常記為D.二元函數(shù)的定義域是平面點集。

二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).z

=f(x，y).設(shè)在某一變化過程中有三個變量x，y，z，如果對于變量x，y在其變化范圍內(nèi)所取的每一對數(shù)值，

變量z按照某一法則f，都有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z為x，y的二元函數(shù)，記作定義16.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面區(qū)域：整個x,y平面或x,y平面上由幾條曲線所圍成的部分.圍成平面區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域.如果一個區(qū)域可以包含在一個以原點為圓心、適當(dāng)大的長度為半徑的圓內(nèi)，則稱該區(qū)域為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域.對于自變量x,y

的一組值，對應(yīng)著xoy面上的一點P（x,y）因此，二元函數(shù)也可以看作是平面上點的函數(shù)，即Z=f（P）.6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例3】求下列函數(shù)的定義域并畫出圖形：.【解】（1）由對數(shù)函數(shù)的定義可知，該函數(shù)的定義域是：定義域區(qū)域如圖所示.6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)要使函數(shù)Z有意義，必須,即

所以，所求函數(shù)的定義域是6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【解】由兩邊平方，得整理，得

※【例4】作二元函數(shù)的圖形，并指出其定義域D.

定義域D為6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)上述二元函數(shù)的極限又叫做二重極限.

鄰域:

內(nèi)有定義，如果當(dāng)點P(x,y)沿任意路經(jīng)趨于點時，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點的某個領(lǐng)域f（x,y）無限趨向于一個確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)P（x,y）趨于時的極限，記作定義2二、二元函數(shù)的極限6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例5】求極限

【解】＝2.【例6】求極限

【解】6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例7】討論極限是否存在？

【解】因為當(dāng)點P（x,y

）沿直線y=0趨于點（0，0）時，有＝0

而當(dāng)點P（x,y）沿直線y=x

趨于點（0，0）時，有＝

＝所以，極限不存在.

【注意】二元函數(shù)的極限存在，是指點以任何方式趨于點時，函數(shù)都無限接近于常數(shù)Ａ．6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)則稱二元函數(shù)f（x,y）在點處連續(xù).二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域（指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域）內(nèi)是連續(xù)的.

定義，如果極限存在，且設(shè)函數(shù)f（x,

y）在的某個鄰域內(nèi)有定義３三、二元函數(shù)的連續(xù)性數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)連續(xù).

如果函數(shù)f（x,y）在區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱函●二元函數(shù)連續(xù)性定義6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例8】求下列極限：

（1）（2）【解】（1）（2）的間斷點是(0,0)．函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點.

例如，函數(shù)6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)●有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)的性質(zhì)

【性質(zhì)1】（最大值和最小值定理)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則該函數(shù)在D上一定有最大值和最小值。

【性質(zhì)2】（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必能取得介于它的兩個不同函數(shù)值之間的任何值至少一次。一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分●

偏導(dǎo)數(shù)的概念存在，則稱此極限值為函數(shù)Z=f（x，y）在點處對x

的偏導(dǎo)數(shù)，記作

【定義1】設(shè)函數(shù)Z=f（x，y）在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量y

保持定值y0

而自變量x

在處有增量△x時，相應(yīng)的函數(shù)有增量如果極限6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分即類似地,如果極限存在,那么稱此極限值為函數(shù)Z=f（x，y）在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記作即6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分即類似地，z=f（x,y）對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)記作即如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x，y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的函數(shù)，則稱這個函數(shù)為對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】

【例1】求在(1,2)的偏導(dǎo)數(shù)6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例2】設(shè)求【解】

【例3】求三元函數(shù)u=2xy+3yz+5zx的偏導(dǎo)數(shù).【解】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分在點M

處的切線關(guān)于x軸和y軸的斜率.※根據(jù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，偏導(dǎo)數(shù)和在幾何上，分別表示曲線6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分●

高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則它們?nèi)匀皇莤，y的函數(shù).如果這兩個偏導(dǎo)函數(shù)對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù).（1）兩次都對x求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作即6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分（2）第一次對x，第二次對y求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作（3）第一次對y，第二次對x求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作（4）兩次都對y求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二階混合偏導(dǎo)數(shù)

二階混合偏導(dǎo)數(shù)

6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】【例4】設(shè)求與關(guān)系？【思考】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【定理1】如果函數(shù)z=f（x，y）的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)

及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.定理說明，只要兩個混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它們的結(jié)果與求導(dǎo)次序無關(guān).6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例5】設(shè)，求【解】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分※【例6】驗證函數(shù)滿足方程：【證】因此拉普拉斯方程6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分※

●

偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義當(dāng)價格P2不變而P1發(fā)生變化時，需求量Q1和Q2將隨P1變化而變化，需求量Q1和Q2對價格的彈性分別為η11稱為甲商品需求量Q1對自身價格P1的直接價格偏彈性，η21稱為甲商品需求量Q2對自身價格P1的交叉價格偏彈性.類似地，可定義并解釋6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例7】已知某商品需求量Q1是該商品價格P1與另一相關(guān)商品價格P2

的函數(shù)，且Q1=120-2P1+15P2，求當(dāng)時，需求的直接價格偏彈性η11及交叉價格偏彈性η12.【解】當(dāng)時，

故得并且有6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.全微分的概念f（x+△x）－f（x）≈f

（x）△x.對x的偏增量對x的偏微分對y的偏增量對y的偏微分三、全微分6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分△z=f（x+△x，y+△y）—f（x，y）可以表示為△z=A△x+B△y+

其中A、B是x，y的函數(shù)，與△x，△y無關(guān)，是一個比

高階的無窮小，則稱A

x+B

y是二元函數(shù)Z=f（x,y）在點（x,y）處的全微分，記作dz，即dz=A△x+B△y.這時，也稱二元函數(shù)Z=f（x,y）在點（x，y）處可微.

【定義2】設(shè)函數(shù)在點（x，y）的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，點（x+△x，y+△y）在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點（x，y）的增量6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分

【定理2】如果函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）處可微分，則它在點（x，y）處連續(xù).【證】已知因為所以6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分

【定理3】（可微的必要條件）如果函數(shù)z=f（x，y）在點【證】可微，則它在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)必存在，且6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】因為【定理4】（可微的充分條件）如果函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則函數(shù)在該點可微，且有

【例1】求函數(shù)

的全微分.所以6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】【例2】求函數(shù)的全微分.【解】

【例3】求函數(shù)在點(2,1)處的全微分.6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分2.全微分在近似計算中的應(yīng)用6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例4】當(dāng)正圓錐體變形時，它的底面半徑由30cm增大到30.1cm，高由60cm減少到59.5cm，求正圓錐體體積變化的近似值.【解】正圓錐體體積為將r=30，△r=0.1，h=60，△h=－0.5代入上式，得

6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例5】計算（0.99）2.02的近似值

.【解】設(shè)f(x,y)=xy

,取△x=－0.01,y=2,△y=0.02,則f（1，2）=1,6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是變量u、v的函數(shù),而又是x,y的函數(shù)，則是x,y的復(fù)合函數(shù).中間變量函數(shù)結(jié)構(gòu)圖

6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

【定理1】如果函數(shù)z=f(u，v)關(guān)于u，v有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)u=u(x，y),

v=v(x，y)在點(x，y)有偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f(u(x，y)，v(x，y))在點(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且鏈式法則6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【解】