北京朝陽區(qū)2025屆九上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

北京朝陽區(qū)2025屆九上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的個交點坐標為，，其部分圖象如圖所示，下列結論：①；②方程的兩個根是，；③；④當時，的取值范圍是．其中結論正確的個數是（）A． B． C． D．2．如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，矩形ABCD內的一個動點P落在陰影部分的概率是()A． B． C． D．3．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，弦AC，BD交于點P．若∠A＝∠C＝40°，則∠BPC的度數為（）A．100° B．80°C．50° D．40°4．如圖，已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60cm長的綁繩EF，tanα=，則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是（）A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm5．對于二次函數y＝4（x+1）（x﹣3）下列說法正確的是（）A．圖象開口向下B．與x軸交點坐標是（1，0）和（﹣3，0）C．x＜0時，y隨x的增大而減小D．圖象的對稱軸是直線x＝﹣16．從1到9這9個自然數中任取一個，是偶數的概率是（）A． B． C． D．7．“拋一枚均勻硬幣，落地后正面朝上”這一事件是（）A．必然事件 B．隨機事件 C．確定事件 D．不可能事件8．二次函數的圖象向左平移個單位，得到新的圖象的函數表達式是（）A． B．C． D．9．如果一個正多邊形的中心角為60°，那么這個正多邊形的邊數是（）A．4 B．5 C．6 D．710．若a，b是方程x2+2x-2016=0的兩根，則a2+3a+b=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2012二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D為AC上一點，AD=2，P為BD上一點，連接CP，以CP為邊，在PC的右側作等邊△CPQ，連接AQ交BD延長線于E，當△CPQ面積最小時，QE=____________．12．在中，，則∠C的度數為____．13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑是4，sinB=，則線段AC的長為．14．二次函數y=x2-2x+1的對稱軸方程是x=_______.15．為估計某水庫鰱魚的數量，養(yǎng)魚戶李老板先撈上150條鰱魚并在鰱魚身上做紅色的記號，然后立即將這150條鰱魚放回水庫中，一周后，李老板又撈取200條鰱魚，發(fā)現(xiàn)帶紅色記號的魚有三條，據此可估計出該水庫中鰱魚約有________條．16．為了解某校九年級學生每天的睡眠時間，隨機調查了其中20名學生，將所得數據整理并制成如表，那么這些測試數據的中位數是______小時．睡眠時間（小時）6789學生人數864217．三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程x2﹣13x+40=0的根，則該三角形的周長為．18．已知拋物線y＝x2+2kx﹣6與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別在直線x＝2的兩側，則k的取值范圍是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）四張質地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后,背面朝上放置在桌面上．(1)求隨機抽取一張卡片,恰好得到數字2的概率;(2)小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲,游戲規(guī)則見信息圖．你認為這個游戲公平嗎?請用列表法或畫樹形圖法說明理由．20．（6分）某駐村扶貧小組實施產業(yè)扶貧，幫助貧困農戶進行西瓜種植和銷售.已知西瓜的成本為6元/千克，規(guī)定銷售單價不低于成本，又不高于成本的兩倍.經過市場調查發(fā)現(xiàn)，某天西瓜的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)的函數關系如下圖所示：(1)求y與x的函數解析式(也稱關系式)；(2)求這一天銷售西瓜獲得的利潤的最大值.21．（6分）計算：sin45°+2cos30°﹣tan60°22．（8分）某學校打算用籬笆圍成矩形的生物園飼養(yǎng)小兔（1）若籬笆的長為16m，怎樣圍可使小兔的活動范圍最大；（2）求證：當矩形的周長確定時，則一邊長為周長的時，矩形的面積最大.23．（8分）如圖，已知拋物線經過，及原點，頂點為．（1）求拋物線的函數解析式；（2）設點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以、、，為頂點，為邊的四邊形是平行四邊形，求點的坐標；（3）是拋物線上第一象限內的動點，過點作軸，垂足為．是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．24．（8分）已知二次函數.（1）用配方法求出函數的頂點坐標；（2）求出該二次函數圖象與軸的交點坐標。（3）該圖象向右平移個單位，可使平移后所得圖象經過坐標原點.請直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標為.25．（10分）如圖，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當AH=DG時，求證：菱形EFGH為正方形．26．（10分）如圖，在中，，垂足為平分，交于點，交于點.(1)若，求的長；(2)過點作的垂線，垂足為，連接，試判斷四邊形的形狀，并說明原因.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】利用拋物線與x軸的交點個數可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另個交點坐標為(3，0)，則可對②進行判斷；由對稱軸方程可對③進行判斷；根據拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍可對④進行判斷．【詳解】∵觀察函數的圖象知：拋物線與軸有2個交點，

∴＞0，所以①錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線，

而點關于直線的對稱點的坐標為，

∴方程的兩個根是，所以②正確；∵拋物線的對稱軸為，即，∴，所以③正確；∵拋物線與軸的兩點坐標為，，且開口向下，

∴當y＞0時，的取值范圍是，所以④正確；綜上，②③④正確，正確個數有3個．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是掌握對于二次函數，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置；常數項c決定拋物線與y軸交點位置；拋物線與x軸交點個數由決定．2、B【解析】根據矩形的性質，得△EBO≌△FDO，再由△AOB與△OBC同底等高，△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出結論．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO與△FDO中，，∴△EBO≌△FDO，∴陰影部分的面積=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質，矩形具有平行四邊形的性質，又具有自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質．3、B【分析】根據同一個圓中，同弧所對的圓周角相等，可知，結合題意求的度數，再根據三角形的一個外角等于其不相鄰兩個內角和解題即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查圓的綜合，其中涉及圓周角定理、三角形外角性質，是常見考點，熟練掌握相關知識是解題關鍵.4、B【解析】試題分析：解：如圖：根據題意可知：：△AFO∽△ABD，OF=EF=30cm∴，∴∴CD=72cm，∵tanα=∴∴AD==180cm．故選B．考點：解直角三角形的應用.5、C【解析】先把解析式化為頂點式的二次函數解析式,再利用二次函數的性質求解即可.【詳解】A.∵a=4>0,圖象開口向上,故本選項錯誤,

B.與x軸交點坐標是（-1,0）和（3,0）,故本選項錯誤,

C.當x＜0時，y隨x的增大而減小,故本選項正確,

D.圖象的對稱軸是直線x=1,故本選項錯誤,

故選C.【點睛】本題主要考查了二次函數的性質,解題的關鍵是理解并靈活運用二次函數的性質.6、B【解析】∵在1到9這9個自然數中，偶數共有4個，∴從這9個自然數中任取一個，是偶數的概率為：.故選B.7、B【詳解】隨機事件.根據隨機事件的定義，隨機事件就是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，即可判斷：拋1枚均勻硬幣，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故拋1枚均勻硬幣，落地后正面朝上是隨機事件.故選B.8、C【分析】根據向左平移橫坐標減求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可．【詳解】解：∵二次函數的圖象向左平移個單位，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（-2，0），∴新的圖象的二次函數表達式是：；故選擇：C.【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點的變化確定函數解析式的變化更簡便，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．9、C【解析】試題解析：這個多邊形的邊數為：故選C.10、C【分析】先根據一元二次方程的解的定義得到a2+2a-2016=0，即a2+2a=2016，則a2+3a+b化簡為2016+a+b，再根據根與系數的關系得到a+b=-2，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】∵a是方程x2+2x-2016=0的實數根，

∴a2+2a-2016=0，

∴a2=-2a+2016，

∴a2+3a+b=-2a+2016+3a+b=a+b+2016，

∵a、b是方程x2+2x-2016=0的兩個實數根，

∴a+b=-2，

∴a2+3a+b=-2+2016=1．

故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=-，x1?x2=．也考查了一元二次方程的解．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】如圖，過點D作DF⊥BC于F，由“SAS”可證△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性質和勾股定理可求BD的長，由銳角三角函數可求BP的長，由相似三角形的性質可求AE的長，即可求解．【詳解】如圖，過點D作DF⊥BC于F，∵△ABC，△PQC是等邊三角形，∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，∴△ACQ≌△BCP（SAS）∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，∵AC＝6，AD＝2，∴CD＝4，∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝2，DF＝CF÷tan30°=CF＝2，∴BF＝4，∴BD＝==2，∵△CPQ是等邊三角形，∴S△CPQ＝CP2，∴當CP⊥BD時，△CPQ面積最小，∴cos∠CBD＝，∴，∴BP＝，∴AQ＝BP＝，∵∠CAQ＝∠CBP，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴，∴，∴AE＝，∴QE＝AQ?AE＝．故答案為；．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，銳角三角函數，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識，求出BP的長是本題的關鍵．12、【分析】先根據平方、絕對值的非負性求得、，再利用銳角三角函數確定、的度數，最后根據直角三角形內角和求得．【詳解】解：∵∴∴∴∴．故答案是：【點睛】本題考查了平方、絕對值的非負性，銳角三角函數以及三角形內角和，熟悉各知識點是解題的關鍵．13、1．【分析】連結CD如圖，根據圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，則sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可計算出AC的長．【詳解】解：連結CD，如圖，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=1．故答案為1．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形．14、1【分析】利用公式法可求二次函數y=x2-2x+1的對稱軸．也可用配方法．【詳解】∵-=-=1，∴x=1．故答案為1【點睛】本題考查二次函數基本性質中的對稱軸公式；也可用配方法解決．15、10000【解析】試題解析：設該水庫中鰱魚約有x條，由于李老板先撈上150條鰱魚并在上做紅色的記號，然后立即將這150條鰱魚放回水庫中，一周后，李老板又撈取200條鰱魚，數一數帶紅色記號的魚有三條，由此依題意得200：3=x：150，∴x=10000，∴估計出該水庫中鰱魚約有10000條．16、1【解析】根據中位數的定義進行求解即可．【詳解】∵共有20名學生，把這些數從小到大排列，處于中間位置的是第10和11個數的平均數，∴這些測試數據的中位數是=1小時；故答案為：1．【點睛】本題考查了中位數，中位數是將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）．17、1．【解析】試題分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周長為3+4+5=1.故答案為1.考點：1一元二次方程；2三角形.18、【分析】由拋物線y＝x2+2kx﹣6可得拋物線開口方向向上,根據拋物線與x軸有兩個交點且這兩個交點分別在直線x＝2的兩側可得:當x=2時,拋物線在x軸下方,即y＜1.【詳解】解：∵y＝x2+2kx﹣6與x軸有兩個交點,兩個交點分別在直線x＝2的兩側,∴當x＝2時,y＜1．∴4+4k﹣6＜1解得：k＜；∴k的取值范圍是k＜,故答案為：k＜．【點睛】本題主要考查二次函數圖象性質,解決本題的關鍵是要熟練掌握二次函數圖象的性質.三、解答題(共66分)19、（1）P（抽到數字2）=;（2）游戲不公平,圖表見解析．【詳解】試題分析：（1）根據概率公式即可求解;（2）利用列表法,求得小貝勝與小晶勝的概率,比較即可游戲是否公平．試題解析：（1）P（抽到數字2）=;（2）公平．列表：

2

2

3

6

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

3

（3,2）

（3,2）

（3,3）

（3,6）

6

（6,2）

（6,2）

（6,3）

（6,6）

由上表可以看出,可能出現(xiàn)的結果共有16種,它們出現(xiàn)的可能性相同,所有的結果中,滿足兩位數不超過32的結果有10種．所以P（小貝勝）=,P（小晶勝）=．所以游戲不公平．考點：游戲公平性．20、(1)y與x的函數解析式為；(2)這一天銷售西瓜獲得利潤的最大值為1250元.【解析】(1)當6x≤10時，由題意設y＝kx＋b(k＝0)，利用待定系數法求得k、b的值即可；當10＜x≤12時，由圖象可知y＝200，由此即可得答案；(2))設利潤為w元，當6≦x≤10時，w＝－200＋1250，根據二次函數的性質可求得最大值為1250；當10＜x≤12時，w＝200x－1200，由一次函數的性質結合x的取值范圍可求得w的最大值為1200，兩者比較即可得答案.【詳解】(1)當6x≤10時，由題意設y＝kx＋b(k＝0)，它的圖象經過點(6，1000)與點(10，200)，∴，解得，∴當6x≤10時，y＝-200x+2200，當10＜x≤12時，y＝200，綜上，y與x的函數解析式為；(2)設利潤為w元，當6x≤10時，y＝－200x＋2200，w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200＋1250，∵－200＜0，6≦x≤10，當x＝時，w有最大值，此時w=1250；當10＜x≤12時，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，∴200＞0，∴w＝200x－1200隨x增大而增大，又∵10＜x≤12，∴當x＝12時，w最大，此時w=1200，1250＞1200，∴w的最大值為1250，答：這一天銷售西瓜獲得利潤的最大值為1250元.【點睛】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，涉及了待定系數法，二次函數的性質，一次函數的性質等，弄清題意，找準各量間的關系是解題的關鍵.21、1【分析】根據特殊角的三角函數值計算即可求出值．【詳解】解：原式＝×+2×﹣＝1．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值、二次根式的運算，解決本題的關鍵是熟練掌握特殊角的銳角函數值.22、(1)4;(2)證明見詳解.【分析】（1）設長為x，面積為y，利用矩形的面積求法得出y與x之間的函數關系式進行分析即可；（2）設周長為4m，一邊長為x，面積為y，列出關系式進行驗證求證即可.【詳解】解：（1）長為x，寬為8-x，列關系式為，配方可得，可得當x=4時，面積y取最大值；（2）設周長為4m，一邊長為x，列出函數關系式即可知當x=m時，即一邊長為周長的時，矩形的面積最大．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，正確得出函數關系式是解題關鍵．23、（1）；（2）點的坐標為：（1，3）；（3）存在．符合條件的點有兩個，分別是或（3，15）．【分析】（1）由于拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標；

（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標．【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為，將點，，代入，可得：，解得：．故函數解析式為：；（2）當AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知：DE=AO=2，

由四邊形AODE可知D在對稱軸直線x=-1右側，

則D橫坐標為1，代入拋物線解析式得D（1，3）．

綜上可得點D的坐標為：（1，3）；（3）存在．理由如下：如圖：，，根據勾股定理得：，，，，是直角三角形，，假設存在點，使以，，為頂點的三角形與相似，設，由題意知，，且，①若，則，即，得：，（舍去）．當時，，即,②若，則，即：，得：，（舍去），當時，，即．故符合條件的點有兩個，分別是或（3，15）．【點睛】本題考查的是二次函數的綜合題，首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質確定點D和點P的坐標，注意分類討論思想的運用，難度較大．24、（1）（-1,8）；（2）和；（3）3；（4,0）【分析】（1）利用配方法將一般式轉化為頂點式，然后求頂點坐標即可；（2）將y=0代入，求出x的值，即可求出該二次函數圖象與軸的交點坐標；（3）根據坐標與圖形的平移規(guī)律即可得出結論．【詳解】解：（1）∴二次函數的頂點坐標為（-1,8）；（2）將y=0代入，得解得：∴該二次函數圖象與軸的交點坐標為和；（3）∵向右平移3個單位后與原點重合∴該圖象向右平移3個單位，可使平移后所得圖象經過坐標原點，此時也向右平移了3個單位，平移后的坐標為（4,0）即平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標為（4,0）故答案為：3；（4,0）．【點睛】此題考查的是求二次函數的頂點坐標、二次函數與x軸的交點坐標和坐標與圖形的平移規(guī)律，掌握將二次函數的一般式化為頂點式、求二次函數與x軸的交點坐標和坐標與圖形的平移規(guī)律是解決此題的關鍵．25、（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）連接GE，根據正方形的性質和平行線的性質得到∠AEG=∠CGE，根據菱形的性質和平行線的性質得到∠HEG=∠FGE，解答即可；（2）證明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，證明∠GHE=90°，根據正方形的判定定理證明．【詳解】解：（1）連接GE，∵AB∥CD，∴