2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第01講實(shí)數(shù)

第01講實(shí)數(shù)目錄 2考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類（高頻考點(diǎn)） 2題型01實(shí)數(shù)的分類 3題型02無(wú)理數(shù)估值 5題型03相反意義的量 6考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點(diǎn)） 7題型01用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù) 8題型02求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離 10題型03根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子正負(fù) 11題型04數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 13題型05求一個(gè)數(shù)的相反數(shù) 17題型06多重符號(hào)化簡(jiǎn) 18題型07相反數(shù)的應(yīng)用 19題型08求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值 20題型09化簡(jiǎn)絕對(duì)值 21題型10絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用 24題型11利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值 26題型12乘方運(yùn)算 29題型13乘方的應(yīng)用 30考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)） 32題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù) 33題型02求一個(gè)數(shù)的近似數(shù) 34考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小 35題型01利用數(shù)軸法比較實(shí)數(shù)大小 36題型02利用類比法比較實(shí)數(shù)大小 36題型03利用作差法比較實(shí)數(shù)大小 37題型04利用作商法比較實(shí)數(shù)大小 40題型05利用平方法比較實(shí)數(shù)大小 41題型06利用其它方法比較實(shí)數(shù)大小 42考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根 43題型01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根 44題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題 45題型03求一個(gè)數(shù)的平方根 46題型04已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù) 47題型05求一個(gè)數(shù)的立方根 47考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)） 48題型01實(shí)數(shù)的運(yùn)算 50\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)實(shí)數(shù)的分類理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的實(shí)數(shù)這一考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中屬于較為簡(jiǎn)單的一類考點(diǎn)，在中考，實(shí)數(shù)的分類及相關(guān)概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡(jiǎn)單；科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)多以選擇題或填空題形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種形式，有時(shí)帶“億”“萬(wàn)”“千萬(wàn)”等單位，做題時(shí)要仔細(xì)審題，切忽略單位；實(shí)數(shù)的大小比較常以選擇題形式出現(xiàn)，常與數(shù)軸結(jié)合考查；實(shí)數(shù)的運(yùn)算考查形式多樣，多數(shù)以解答題形式出現(xiàn)，結(jié)合絕對(duì)值、銳角三函數(shù)、二次根式、平方根、立方根等知識(shí)考查.對(duì)于實(shí)數(shù)的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實(shí)數(shù)相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和順序等考點(diǎn).實(shí)數(shù)的相關(guān)概念可以借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)利用科學(xué)記數(shù)法簡(jiǎn)化表示非常大或非常小的數(shù)，了解近似數(shù)，會(huì)按問(wèn)題的要求進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似計(jì)算實(shí)數(shù)比較大小靈活運(yùn)用多種方法比較實(shí)數(shù)大小平方根、算術(shù)平方根、立方根了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)算掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算(以三步以內(nèi)為主)；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，知道有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)\"\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)\"考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類（高頻考點(diǎn)）1.正負(fù)數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號(hào)“-”的數(shù)叫負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).2.正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．3.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（本質(zhì)：能夠化為分?jǐn)?shù)的形式）.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).4.實(shí)數(shù)的分類：1）按定義分類：2）按性質(zhì)分類：11.有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).（例：0.53（分?jǐn)?shù)形式：53100QUOTEb-3100b-3100）、1.333333…（分?jǐn)?shù)形式：43）等）2.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).(例如：π，（不是分?jǐn)?shù)）等).3.帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).4.對(duì)非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時(shí)遺漏0.題型01實(shí)數(shù)的分類【例1】（2023·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（

）A．38 B．3.232232223??? C． D．2【答案】A【提示】根據(jù)立方根、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．【詳解】解：A.38B.3.232232223???是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；C.是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；D.2是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了立方根、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)，熟記無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．2023 B．-2023 C．12023 D．【答案】B【提示】根據(jù)小于0的數(shù)即為負(fù)數(shù)解答可得．【詳解】-2023是負(fù)數(shù)，2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""和12023是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握負(fù)數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·浙江金華·中考真題）在-2,12,A．-2 B．12 C．3 D．【答案】C【提示】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵-2，12，2是有理數(shù)，3故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，如開方開不盡的數(shù)的方根、π．【變式1-3】（2022·山東日照·中考真題）在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0）=1，，38=2中，有理數(shù)是38=2，x所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·江西·中考真題）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（

）A．3 B．2.1 C．0 D．-2【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解．【詳解】解：3\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是正整數(shù)，2.1\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是小數(shù)，不是整數(shù)，0\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""不是正數(shù)，-2\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""不是正數(shù)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．題型02無(wú)理數(shù)估值【例2】（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）下列無(wú)理數(shù)中，大小在3與4之間的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得答案．【詳解】解：∵，，而，，∴大小在3與4之間的是，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·浙江嘉興·中考真題）下面四個(gè)數(shù)中，比1小的正無(wú)理數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)正數(shù)負(fù)數(shù)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵∴∴∴比1小的正無(wú)理數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了比較實(shí)數(shù)是大小，無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)負(fù)數(shù)．【變式2-2】（2023·天津·中考真題）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之【答案】B【提示】由于4＜6＜9，于是，從而有．【詳解】解：∵4＜6＜9，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．【變式2-3】（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）若為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，則．【答案】3【提示】根據(jù)夾逼法求解即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)撥】題目主要考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵．題型03相反意義的量【例3】（2023·廣東廣州·中考真題）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（

）A．-5元 B．0元 C．+5元 D．+10元【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)的意義可進(jìn)行求解．【詳解】解：由把收入5元記作+5\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，可知支出5元記作-5\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查相反數(shù)的意義，熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”、如：糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“+30”，則“-30”表示（

）A．運(yùn)出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食【答案】A【提示】根據(jù)題意明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，再根據(jù)題意即可求解．【詳解】解：糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“+30\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""”，則“-30\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""”表示運(yùn)出30噸糧食．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，理解“正”和“負(fù)”分別表示相反意義的量是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·吉林·中考真題）月球表面的白天平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應(yīng)記作（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，平均溫度零上表示正，平均溫度零下表示負(fù)即可求解．【詳解】解：平均溫度零上，記作+126°C，夜間平均溫度零下，應(yīng)記作，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查正負(fù)數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合，掌握正負(fù)數(shù)表示相反意義的量是解題的關(guān)鍵．判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)或無(wú)理數(shù)的方法關(guān)鍵：1.有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.2.判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果．如√16是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù)．常見的無(wú)理數(shù)：開方開不盡的數(shù)，如：2、35等有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如5π，3+π，等.具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001···（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）.某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點(diǎn)）相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.在數(shù)軸上距原點(diǎn)n個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有2個(gè).數(shù)軸中點(diǎn)公式：數(shù)軸上有兩點(diǎn)A.B分別表示的數(shù)為x，y，若C是A.B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，C所表示的數(shù)為c，則有：2c=x+y.數(shù)軸兩點(diǎn)距離=數(shù)軸上右側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)-左側(cè)的點(diǎn)表示的數(shù)（簡(jiǎn)稱大數(shù)-小數(shù)）.相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù).若A.b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的的距離相等且位于原點(diǎn)的兩側(cè).正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)是本身的數(shù)是0.（a+b）的相反數(shù)是-（a+b），（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.多重符號(hào)化簡(jiǎn)口訣：數(shù)負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)，奇負(fù)偶正.絕對(duì)值在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記為|a|．兩個(gè)正數(shù)比較，絕對(duì)值大數(shù)越大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小.正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（A.b可以是多項(xiàng)式）.幾何意義補(bǔ)充：|x|=|x-0|，數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離|x-1|，數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離|x+2|，數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示-2的點(diǎn)之間的距離倒數(shù)1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．0沒有倒數(shù).若A.b互為倒數(shù)，則ab=1互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）.倒數(shù)是本身的只有1和-1.乘方n個(gè)相同的因數(shù)a相乘記作an，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪.負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).規(guī)定：a0=1（a≠0）11.0的相反數(shù)是0，0的絕對(duì)值是0.絕對(duì)值最小的數(shù)是0.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負(fù)數(shù).2.任何一個(gè)數(shù)都有且只有一個(gè)相反數(shù).任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0（或非負(fù)數(shù)）.3.到已知點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，注意分類討論．此外，運(yùn)用數(shù)軸可以將絕對(duì)值化為幾何問(wèn)題，代數(shù)式|x?a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，代數(shù)式|x+a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與－a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，不可將兩者混淆．題型01用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)【例1】（2023·浙江溫州·中考真題）如圖，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【提示】根據(jù)數(shù)軸及有理數(shù)的加法可進(jìn)行求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知點(diǎn)A表示的數(shù)是-1，所以比-1大3的數(shù)是-1+3=2；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)軸及有理數(shù)的加法，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·四川自貢·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，OA=OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（

）A．2023 B．-2023 C．12023 D．【答案】B【提示】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可．【詳解】解；∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，OA=OB，∴OB=2023，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是-2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，A，B位于數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)，且OB=2OA．若點(diǎn)B表示的數(shù)是6，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5【答案】B【提示】根據(jù)OB=2OA，點(diǎn)B表示的數(shù)是6，先求解OA,再根據(jù)A的位置求解A對(duì)應(yīng)的數(shù)即可．【詳解】解：由題意可得：點(diǎn)B表示的數(shù)是6，且B在原點(diǎn)的右側(cè)，OB=2OA，在原點(diǎn)的左側(cè)，表示的數(shù)為-3\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""故選B【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的和差倍分關(guān)系，數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的表示，熟悉數(shù)軸的組成與數(shù)軸上數(shù)的分布是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)7的點(diǎn)可能是(

)

A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)S【答案】B【提示】根據(jù)先估算7的大小，看它介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而得解．【詳解】解：∵4<7<9∴4<7<∴數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)7的點(diǎn)可能是Q，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查無(wú)理數(shù)的大小估算，推出7介于哪兩個(gè)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．題型02求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離【例2】（2023·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）一只螞蟻從數(shù)軸上A點(diǎn)出發(fā)爬了4個(gè)單位到了相反數(shù)B點(diǎn)所在的位置，則點(diǎn)A所表示的是（）A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4【答案】A【提示】由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離為4，即可提示出兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2【詳解】由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離為4，∴兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離＝4÷2＝2，∴這兩個(gè)數(shù)分別為2，-2，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，相反數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是提示出互為相反數(shù)的兩數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離為4．【變式2-1】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A.B分別表示A.b，且a+b=0，若AB=6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（

）A．-3 B．0 C．3 D．-6【答案】A【提示】由AB的長(zhǎng)度結(jié)合A.B表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可得出A，B表示的數(shù)【詳解】解：∵a+b=0∴A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，∴可設(shè)A表示的數(shù)為a，則B表示的數(shù)為-a，∵AB=6∴-a-a=6，解得：a=-3，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值，相反數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程-a-a=6．【變式2-2】（2023·寧夏·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是-1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是

【答案】2【提示】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)平分線段進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2∴AC=22∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，以及線段的中點(diǎn)．熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子正負(fù)【例3】（2023·山東濰坊·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列判斷正確的是（

）

A．-c<b B．a(chǎn)>-c C．a(chǎn)-b=b-a D．【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得a<b<0<c，a>【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<b<0<c，a>A.-c>b，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.a<-c，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，，則此項(xiàng)正確，符合題意；D.，，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是（

）

A．c(b-a)<0 B．b(c-a)<0 C．a(chǎn)(b-c)>0 D．a(chǎn)(c+b)>0【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸可得，a<0<b<c，再根據(jù)a<0<b<c逐項(xiàng)判定即可．【詳解】由數(shù)軸可知a<0<b<c，∴c(b-a)>0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴b(c-a)>0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴a(b-c)>0，故C選項(xiàng)正確；∴a(c+b)<0，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)a<0<b<c進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵．【變式3-2】【多選】（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，下列各式成立的是（

）A．a(chǎn)b>1 B．-a<b C．a(chǎn)-b>0 D【答案】AD【提示】根據(jù)數(shù)軸判斷出A.b的取值范圍，再根據(jù)有理數(shù)的乘除法，加減法運(yùn)算對(duì)各選項(xiàng)提示判斷后利用排除法求解．【詳解】解：由題意可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，A.abB.-a＞b，故本選項(xiàng)不符合題意；C.a-b＜0，故本選項(xiàng)不符合題意；D.-ab>0，故本選項(xiàng)符合題意．故選：AD．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的乘除運(yùn)算以及有理數(shù)的加減運(yùn)算，判斷出A.b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，則a+b0.(用“>”“<”或“=”填空)

【答案】<【提示】根據(jù)數(shù)軸可得a<0<b,a【詳解】解：由數(shù)軸可得a<0<b,∴a+b<0【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵利用特殊值法判斷式子正負(fù)利用數(shù)軸來(lái)判斷代數(shù)式的符號(hào)這類題目，在做選擇題和填空題的時(shí)候，還可以利用數(shù)軸，選擇特殊值法.【變式3-3】中根據(jù)數(shù)軸A、B點(diǎn)的位置，首先可知a為負(fù)數(shù)，b為正數(shù)且a的絕對(duì)值大于b的絕對(duì)值，所以我們假設(shè)a=-2,b=1，然后代入到代數(shù)式中判斷正負(fù).利用特殊值法做題時(shí)，大家需要注意：根據(jù)題目信息將合適的數(shù)值帶入到代數(shù)式中判斷式子正負(fù).題型04數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例4】（2022·廣東·惠州一中?？级＃┤鐖D，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周到達(dá)點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）．A．3 B．4 C．π D．2π【答案】C【提示】圓向前滾動(dòng)了一個(gè)圓周長(zhǎng)的距離，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵圓的直徑為1，∴圓周長(zhǎng)為π，所以點(diǎn)A表示的數(shù)是π，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸上表示的數(shù)，明確圓向前滾動(dòng)了一個(gè)圓周長(zhǎng)的距離是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2021·廣西百色·一模）正方形紙板ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A,D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1和0，若正方形紙板ABCD繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，則在數(shù)軸上與2020對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】D【提示】先翻轉(zhuǎn)一次和兩次確認(rèn)點(diǎn)B.C對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)歸納類推出每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律，從而即可得出答案．【詳解】翻轉(zhuǎn)一次可得：點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為2；再翻轉(zhuǎn)一次可得：點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為3在正方形紙板連續(xù)翻轉(zhuǎn)的過(guò)程中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的規(guī)律歸納類推如下：點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1,5,9,?,1+4n，n為非負(fù)整數(shù)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2,6,10,?,2+4n，n為非負(fù)整數(shù)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為3,7,11,?,3+4n，n為非負(fù)整數(shù)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0,4,8,?,4n，n為非負(fù)整數(shù)由此可知，只有點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)可以為2020，此時(shí)n=505為非負(fù)整數(shù)，符合要求故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸的定義的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，歸納類推出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·河北承德·二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-10，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，矩形ABCD的邊AD在數(shù)軸上．矩形從點(diǎn)A與M重合開始勻速向正方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D與點(diǎn)N重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運(yùn)動(dòng)一周，且點(diǎn)P與矩形同時(shí)到達(dá)各自終點(diǎn)．已知AB=10，BC=30，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)稱為點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)的數(shù)．

(1)若矩形運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．(2)若a=60，當(dāng)，即點(diǎn)Р在BC邊上時(shí)，點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）(3)若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有一段時(shí)間，點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，則a=．【答案】(1)t-10(2)3t-20(3)100【提示】（1）根據(jù)線段的和與差可得OA=MA-MO，即可求得；（2）根據(jù)P的速度和矩形的周長(zhǎng)，求得P運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，進(jìn)一步求得矩形的速度，即可求得；（3）根據(jù)點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度，求解即可．【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點(diǎn)A的速度也為l，則運(yùn)動(dòng)的距離為MA=t，故OA=MA-MO=t-10，即A的值為t-10故答案為：t-10．（2）解：點(diǎn)P的速度為2，則運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為（秒），從M到N，長(zhǎng)度為70，所以矩形運(yùn)動(dòng)速度為70-30÷40=1所以當(dāng)點(diǎn)Р在BC邊上時(shí)，點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t-10+t-10=3t-20，故答案為：3t-20．（3）解：點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)不變，說(shuō)明矩形向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Р向左運(yùn)動(dòng)，二者速度“抵消”了，所以矩形的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，所以a+10-3040解得a=100，故答案為：100．【點(diǎn)撥】本題看了數(shù)軸，矩形的周長(zhǎng)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等，根據(jù)點(diǎn)Р對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】．（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，程序員在數(shù)軸上設(shè)計(jì)了A.B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于―6和9的位置，現(xiàn)兩點(diǎn)按照下述規(guī)則進(jìn)行移動(dòng)：每次移動(dòng)的規(guī)則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點(diǎn)數(shù)：①若兩次向上面的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則A點(diǎn)向右移動(dòng)1個(gè)單位，B點(diǎn)向左移2個(gè)單位；②若兩次向上面的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，則A點(diǎn)向左移動(dòng)2個(gè)單位，B點(diǎn)向左移動(dòng)5個(gè)單位；③若兩次向上面的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，則A點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位，B點(diǎn)向右移2個(gè)單位．(1)經(jīng)過(guò)第一次移動(dòng)，求B點(diǎn)移動(dòng)到4的概率；(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)正方體骰子向上面的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)或奇數(shù)，設(shè)正方體骰子向上面的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)的次數(shù)為a，若A點(diǎn)最終的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示b，并求當(dāng)A點(diǎn)落在原點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)B點(diǎn)表示的數(shù)；(3)從如圖所示的位置開始，經(jīng)過(guò)x次移動(dòng)后，若AB=3，求x的值．【答案】(1)14(2)B點(diǎn)表示的數(shù)為-21；(3)x的值為4或6．【提示】（1）利用概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知當(dāng)向上的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)時(shí)，A點(diǎn)向右移動(dòng)a個(gè)單位，當(dāng)向上的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，A點(diǎn)向左移動(dòng)2(12-a)個(gè)單位，再根據(jù)平移的規(guī)則推算出結(jié)果即可；（3）剛開始的距離是15，根據(jù)三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以3即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，B點(diǎn)移動(dòng)到4，則向左移5個(gè)單位，且第一次就移動(dòng)到4，故兩次向上的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)(正方體骰子奇數(shù)為1，3，5，)，則P(奇數(shù))=36∴P(B點(diǎn)移動(dòng)到4)=；（2）解：當(dāng)向上的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)時(shí)，A點(diǎn)向右移動(dòng)a個(gè)單位，當(dāng)向上的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，A點(diǎn)向左移動(dòng)2(12-a)個(gè)單位，∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，當(dāng)b=0時(shí)，3a-30=0，∴a=10，即均為偶數(shù)有10次，均為奇數(shù)有2次，∴B點(diǎn)表示的數(shù)為9-10×2-2×5=-21；（3）解：剛開始AB的距離等于15，均為偶數(shù)時(shí)，AB距離縮短3，均為奇數(shù)時(shí)，AB距離縮短3，均為一奇一偶時(shí)，AB距離也縮短3，當(dāng)縮短至3時(shí)，(15-3)÷3=4，∴x=4；當(dāng)縮短至0再增長(zhǎng)3時(shí)，(15+3)÷3=6，∴x=6；∴x的值為4或6．【點(diǎn)撥】本題考查概率公式，數(shù)軸，代數(shù)式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式4-4】（2022·河北邯鄲·校考三模）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)P、A.B表示的數(shù)分別是﹣6.﹣3.2．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P、B分別位于數(shù)軸上P'、B'處．(1)當(dāng)t＝時(shí)，AB＝8．(2)當(dāng)P'A＝3P'B時(shí)，求t的值．【答案】(1)3(2)214或【提示】（1）首先表示出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)t秒對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)AB＝8列出方程，求解即可；（2）首先表示出數(shù)軸上P'對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)P'A＝3P'B列出方程，求解即可．【詳解】（1）點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)t秒對(duì)應(yīng)的數(shù)為2＋t，∵AB＝8，∴2＋t﹣（﹣3）＝8，解得t＝3．故答案為：3；（2）由題意可得，數(shù)軸上P'對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣6＋2t．∵P'A＝3P'B，∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），解得t，或t．故所求t的值為214或27【點(diǎn)撥】本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離公式，表示出點(diǎn)P、B在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)t秒后對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題首先要做到仔細(xì)理解題意，弄清運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程和圖形的變化，然后再根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程展開分類討論畫出圖形，最后針對(duì)不同情況尋找等量關(guān)系列方程求解.而對(duì)于建立在數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，由于數(shù)軸本身的特點(diǎn)，這類問(wèn)題常有兩種不同的解題思路.一種是根據(jù)“形”的關(guān)系來(lái)分析尋找等量關(guān)系，也就是利用各線段之間的數(shù)量關(guān)系列方程求解；另一種是從“數(shù)”的方面尋找等量關(guān)系，就是利用各點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)之間存在的內(nèi)在關(guān)系列方程.因此解決數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題要明確以下幾個(gè)問(wèn)題：1.找出動(dòng)點(diǎn)的基準(zhǔn)坐標(biāo)，即運(yùn)動(dòng)的起始坐標(biāo)；2.算出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的坐標(biāo)：向右運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)后的坐標(biāo)=基準(zhǔn)坐標(biāo)+運(yùn)動(dòng)路程；向左運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)后的坐標(biāo)=基準(zhǔn)坐標(biāo)-運(yùn)動(dòng)路程；3.表示線段長(zhǎng)度：線段右端點(diǎn)表示的數(shù)-線段左端點(diǎn)表示的數(shù)；4.列方程：根據(jù)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系或題目中的條件，列出方程，未知數(shù)通常是運(yùn)動(dòng)時(shí)間t、速度v或所求坐標(biāo)；5.求解題型05求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)【例5】（2023·遼寧錦州·中考真題）2023的相反數(shù)是（

）A．12023 B．-2023 C．2023 D．【答案】B【提示】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的相反數(shù)是-2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．9 B．-19 C．19【答案】D【提示】先根據(jù)數(shù)軸得到A表示的數(shù)，再求其相反數(shù)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是9，相反數(shù)為-9，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸和相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）中國(guó)人最早使用負(fù)數(shù)，可追溯到兩千多年前的秦漢時(shí)期，﹣0.5的相反數(shù)是（）A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5【答案】A【詳解】﹣0.5的相反數(shù)是0.5，故選A．題型06多重符號(hào)化簡(jiǎn)【例6】（2023·廣東廣州·中考真題）--2023=（A．-2023 B．2023 C．-12023 D【答案】B【提示】-2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的相反數(shù)是2023\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【詳解】--2023故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查相反數(shù)等知識(shí)，掌握相反數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測(cè)）下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．-+5和-5 B．+-5C．+-8和-+8 D．+【答案】D【提示】先將各數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)相反數(shù)的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.-+5=-5與-5不是互為相反數(shù)，故B.-+5=-5與-5不是互為相反數(shù)，故C.+-8=-8與-+8D.+-8=-8與--8故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù)．題型07相反數(shù)的應(yīng)用【例7】（2021·河北·中考真題）能與-34-65A．-34-C．-65+【答案】C【提示】利用加法與減法互為逆運(yùn)算，將0減去-34-65即可得到對(duì)應(yīng)答案，也可以利用相反數(shù)的性質(zhì)，直接得到能與【詳解】解：方法一：0--方法二：-34-故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算和相反數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解相關(guān)概念，并能靈活運(yùn)用它們解決問(wèn)題，本題側(cè)重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解，計(jì)算過(guò)程中學(xué)生應(yīng)注意符號(hào)的改變．【變式7-1】（2023·山東濰坊·一模）若實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是﹣1，則a+1等于（

）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵1的相反數(shù)是﹣1，∴a＝1，∴a+1=2故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相反數(shù)，熟記相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b-4c的值為（

）A．-8 B．-5 C．-1 D．16【答案】C【提示】根據(jù)a，b互為相反數(shù)，可得a+b=0，c的倒數(shù)是4，可得c=14【詳解】∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∵c的倒數(shù)是4，∴c=1∴3a+3b-4c=3a+b-4c故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式的求值問(wèn)題，利用已知求得a+b=0，c=14【變式7-3】（2021·甘肅隴南·一模）若m+1與-2互為相反數(shù)，則m的值為.【答案】1.【提示】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.【點(diǎn)撥】此題主要考查相反數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的性質(zhì).題型08求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值【例8】（2023·浙江·中考真題）計(jì)算：．【答案】2023【提示】負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，由此可解．【詳解】解：的相反數(shù)是2023，故，故答案為：2023．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．【變式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①－2022的相反數(shù)是2022；②－2022的絕對(duì)值是2022；③的倒數(shù)是2022．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】①－2022的相反數(shù)是2022，故此說(shuō)法正確；②－2022的絕對(duì)值是2022，故此說(shuō)法正確；③的倒數(shù)是2022，故此說(shuō)法正確；正確的個(gè)數(shù)共3個(gè)；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的含義，只有符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值，乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，熟知定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·四川南充·中考真題）下列計(jì)算結(jié)果為5的是（

）A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)去括號(hào)法則及絕對(duì)值化簡(jiǎn)依次計(jì)算判斷即可．【詳解】解：A.-（+5）=-5，不符合題意；B.+（-5）=-5，不符合題意；C.-(-5)=5，符合題意；D.，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】題目主要考查去括號(hào)法則及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握去括號(hào)法則是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·山東淄博·中考真題）的運(yùn)算結(jié)果等于（

）A．3 B． C． D．【答案】B【提示】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選：B；【點(diǎn)撥】本題考查去絕對(duì)值符號(hào)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)．題型09化簡(jiǎn)絕對(duì)值【例9】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【提示】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·寧夏·中考真題）已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得，，據(jù)此化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子符號(hào)，有理數(shù)的除法，正確得到，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】由圖可知，，，，，然后確定各項(xiàng)的符號(hào)，去掉絕對(duì)值號(hào)，計(jì)算答案．【詳解】解：由圖可知，，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是判斷出，，．【變式9-3】（2023·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測(cè)）已知有理數(shù)，，滿足，且，則．【答案】【提示】當(dāng)時(shí)，則結(jié)合已知條件得到，不合題意舍去，從而＜可得＜再化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，，，所以不合題意舍去，所以＜，＜故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是絕對(duì)值的含義，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，同時(shí)考查去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】．（2023·山東青島·?？家荒＃┰O(shè)a，b，c為有理數(shù)，則由構(gòu)成的各種數(shù)值是．【答案】，0【提示】此題要分類討論a，b，c與0的關(guān)系，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解；【詳解】解：∵a，b，c為有理數(shù)，①若，∴；②若a，b，c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，則，∴，③若a，b，c中有一個(gè)負(fù)數(shù)，則，∴，④若a，b，c中有三個(gè)負(fù)數(shù)，則，∴，故答案為：，0．【點(diǎn)撥】此題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件，去掉絕對(duì)值，還考查了分類討論的思想，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．題型10絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用【例10】（2023·西藏·中考真題）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若，則的值是（

）A． B． C．1 D．2023【答案】B【提示】根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性可求解a，b的值，再代入計(jì)算可求解．【詳解】解：∵，，∴，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了絕對(duì)值與偶次方非負(fù)性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用非負(fù)性求出A.b的值．【變式10-1】（2023·山東·中考真題）的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【提示】由等式可分別得到關(guān)于A.B.c的等式，從而分別計(jì)算得到A.B.c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．【詳解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．【變式10-2】（2022·廣西賀州·中考真題）若實(shí)數(shù)m，n滿足，則．【答案】7【提示】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進(jìn)而代入數(shù)值可求解．【詳解】解：由題意知，m，n滿足，∴m-n-5=0，2m+n?4=0，∴m=3，n=-2，∴，故答案為：7．【點(diǎn)撥】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．【變式10-3】（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，且．

(1)______，______；(2)點(diǎn)、點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．求秒后點(diǎn)、點(diǎn)之間的距離（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)，5(2)【提示】（1）由絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，即可求得的值；（2）先表示出秒后點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，且，，，，，故答案為：，5；（2）解：點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，秒后點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，秒后點(diǎn)、點(diǎn)之間的距離為：．【點(diǎn)撥】主要考查了絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式10-4】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，12【提示】原式中括號(hào)中利用完全平方公式，平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴原式．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式、非負(fù)數(shù)的和為0、及整式的化簡(jiǎn)求值．解決本題的關(guān)鍵是利用非負(fù)數(shù)的和為0確定A.b的值．題型11利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值【例11】（2023·四川內(nèi)江·?？既＃╅喿x下列材料：我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即；這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．絕對(duì)值的幾何意義在解題中有著廣泛的應(yīng)用：例1：解方程．容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±4，即該方程的±4；例2：解方程．由絕對(duì)值的幾何意義可知，該方程表示求在數(shù)軸上與-1和2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值．在數(shù)軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在2的右邊或在-1的左邊．若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對(duì)應(yīng)點(diǎn)在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．例3：解不等式．在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）方程的解為；（2）方程的解為；（3）若，求的取值范圍．【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6【詳解】試題提示：1）分類討論：x<-3，x≥-3，可化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)解方程，可得答案；（2）分類討論：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根據(jù)絕對(duì)值的意義，可化簡(jiǎn)方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）表示的幾何意義分情況討論即可求解.試題解析：（1）當(dāng)x<?3時(shí)，原方程等價(jià)于?x?3=5.解得x=?-8；當(dāng)x??3時(shí)，原方程等價(jià)于x+3=5，解得x=2，故答案為x=2或x=-8；（2）當(dāng)x<?1時(shí)，原方程等價(jià)于?x+2017?x-1=2020，解得x=?2，當(dāng)?1?x<2017時(shí)，原方程等價(jià)于?x+2017?+x+1=2020，不存在x的值；當(dāng)x?2017時(shí)，原方程等價(jià)于x?2017+x+1=2020，解得x=2018，綜上所述：x=-2或x=2018是方程的解；（3）∵表示的幾何意義是在數(shù)軸上分別與-4和3的點(diǎn)的距離之和，而-4與3之間的距離為7，當(dāng)在-4和3時(shí)之間，不存在，使成立，當(dāng)在3的右邊時(shí)，如圖所示，易知當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)在-4的左邊時(shí)，如圖所示，易知當(dāng)時(shí)，滿足，所以的取值范圍是或．點(diǎn)撥：本題主要考查了絕對(duì)值，通過(guò)閱讀材料，理解絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，通過(guò)數(shù)形結(jié)合對(duì)材料進(jìn)行提示來(lái)解答題目..【變式11-1】（2023·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，類似的，的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；比如：2和5兩點(diǎn)之間的距離可以用表示，通過(guò)計(jì)算可以得到他們的距離是3（1）數(shù)軸上1和兩點(diǎn)之間的距離可以用表示，通過(guò)計(jì)算可以得到他們的距離是_______（2）數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A.B之間的距離可以表示為AB=；如果AB=2，結(jié)合幾何意義，那么x的值為；（3）代數(shù)式表示的幾何意義是，該代數(shù)式的最小值是【答案】（1）；4；（2）；或-1；（3）數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到1和兩點(diǎn)的距離的和；3【提示】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離表示即可得到結(jié)構(gòu)；（2）根據(jù)的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離判斷即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離表示幾何意義即可，然后根據(jù)，，計(jì)算最小值即可；【詳解】（1）數(shù)軸上1和兩點(diǎn)之間的距離可以用表示，通過(guò)計(jì)算可以得到他們的距離是4；故答案是：；4；（2）數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A.B之間的距離可以表示為，由AB=2，得，∴或，∴或；故答案是：；或-1；（3）由題意可知：代數(shù)式表示的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到1和兩點(diǎn)的距離的和；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；∴最小值是3．故答案是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到1和兩點(diǎn)的距離的和；3．【點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值的性質(zhì)，準(zhǔn)確提示計(jì)算是解題的關(guān)鍵．利用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)絕對(duì)值零點(diǎn):使得絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為0的未知數(shù)的值，稱為絕對(duì)值的零點(diǎn)利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值符號(hào)的方法：1.化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的式子，關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，先根據(jù)所給的條件,確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的正負(fù)(即a>0，a<0，還是a=0)如果已知條件沒有給出其正負(fù)，應(yīng)該進(jìn)行分類討論.2.分類討論時(shí)先假設(shè)每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)(或式子)等于0，得到相應(yīng)的未知數(shù)的值；再把這些值表示在數(shù)軸上，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(零點(diǎn))將數(shù)軸分成了若干段，在每一小段上，絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的符號(hào)都是能夠判定的；最后依次在每一段上化簡(jiǎn)原式，這種方法被稱為零點(diǎn)分段法零點(diǎn)分段法的具體步驟：1.找零點(diǎn);2.分區(qū)間;3.定正負(fù);4.去符號(hào).題型12乘方運(yùn)算【例12】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮韵率阶雍偷闹迪嗤氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【提示】應(yīng)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：，，，，∴與的值相同，故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2023·江西贛州·贛州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列各對(duì)數(shù)中，相等的一對(duì)數(shù)是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】C【提示】先化簡(jiǎn)，再比較即可．【詳解】A.∵=1，=-1，∴≠，故不符合題意；B.∵=-1，=1，∴≠，故不符合題意；C.∵=-1，=-1，∴=，故符合題意；D.∵=，=，∴≠，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值，有理數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。_化簡(jiǎn)各數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若x、y、z是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，若x2＝44944，z2＝45796，則y2＝（

）A．45369 B．45371 C．45465 D．46489【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算求出x、y即可解答．【詳解】解：∵x、y、z是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，∴y=x+1，∵x2＝44944=2122，∴x=212，∴y=213，∴y2=2132=45369，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．【變式12-3】（2023·山東東營(yíng)·一模）的相反數(shù)是（

）A．－1 B．1 C．－2023 D．2023【答案】B【提示】先計(jì)算，然后根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴的相反數(shù)是1．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的乘方法則，相反數(shù)的定義，掌握乘方法則是解題的關(guān)鍵．題型13乘方的應(yīng)用【例13】（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)計(jì)數(shù)．即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．當(dāng)時(shí)有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（

）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【答案】B【提示】根據(jù)題意以及圖形提示，根據(jù)滿七進(jìn)一，即可求解．【詳解】解：繩結(jié)表示的數(shù)為故選B【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解“滿七進(jìn)一”是解題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）有一張厚度是0.1mm的紙，將它對(duì)折20次后，其厚度可表示為（

）mmA． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，找出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：對(duì)折1次厚度為：mm；對(duì)折2次厚度為mm；對(duì)折3次厚度為mm；……依次規(guī)律即可得到對(duì)折20次后，厚度為mm，故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了乘方的意義，根據(jù)折紙的過(guò)程找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這句話的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完，若按此方式截一根長(zhǎng)為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是．【答案】【提示】根據(jù)題意依次每一天剩余木棍的長(zhǎng)度，即可求得第4天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度．【詳解】解：第一天截取后剩：（米）；第二天截取后剩：（米）；第三天截取后剩：（米）；第四天截取后剩：（米）；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)乘方，掌握有理數(shù)乘方的意義及性質(zhì)，理解題意寫出算式是解題關(guān)鍵．【變式13-3】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）若，則．【答案】1，0，－2【提示】根據(jù)，的偶次方根為1，非零實(shí)數(shù)的0次冪等于1，即可求出答案.【詳解】解：∵，又∵，的偶次方根為1，非零實(shí)數(shù)的0次冪等于1，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)為偶數(shù)，∴；∴m的值為：1，0，－2；故答案為：1，0，－2.【點(diǎn)撥】本題考查了乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方等于1的式子.考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)）相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.小技巧：1萬(wàn)=104，1億=1萬(wàn)*1萬(wàn)=108近似數(shù)近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來(lái)表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的末位數(shù)是0的，不能去掉0一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)字11.含有萬(wàn)、億等單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，要先還原成原數(shù)，再用科學(xué)記數(shù)法表示，最后按要求取近似值.2.科學(xué)記數(shù)法的表示的數(shù)a×10n還成成原數(shù)時(shí)，n＞0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)n位得到原數(shù)；n<0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)則向左移動(dòng)|n|位得到原數(shù).3.對(duì)于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示.例如：356000（精確到萬(wàn)位）的結(jié)果是3.6×105.4.用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號(hào)前面的數(shù)字.例如：4.0×104的有效數(shù)字是4，0.題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)【例1】（2023·四川成都·中考真題）2023年5月17日10時(shí)49分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第五十六顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星．北斗系統(tǒng)作為國(guó)家重要基礎(chǔ)設(shè)施，深刻改變著人們的生產(chǎn)生活方式．目前，某地圖軟件調(diào)用的北斗衛(wèi)星日定位量超億次．將數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：億．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·貴州·中考真題）據(jù)中國(guó)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)資料顯示，今年一季度全國(guó)居民人均可支配收入平穩(wěn)增長(zhǎng)，全國(guó)居民人均可支配收入為10870元．10870這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】將10870寫成的形式，其中，n為正整數(shù)．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握中，n與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)相同．【變式1-2】（2023·湖北武漢·中考真題）新時(shí)代十年來(lái)，我國(guó)建成世界上規(guī)模最大的社會(huì)保障體系．其中基本醫(yī)療保險(xiǎn)的參保人數(shù)由5.4億增加到13.6億，參保率穩(wěn)定在95%．將數(shù)據(jù)13.6億用科學(xué)記數(shù)法表示為的形式，則的值是（備注：1億＝100000000）．【答案】9【提示】將13.6億=寫成（，n為整數(shù)）的形式即可．【詳解】解：13.6億==．故答案為9．【點(diǎn)撥】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將原數(shù)寫成（，n為整數(shù)）的形式，確定a和n的值是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·山東東營(yíng)·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于0.0000003，將0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為．【答案】【提示】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：0.0000003用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．題型02求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)【例2】（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）用四舍五入法取近似值，將數(shù)0.0158精確到0.001的結(jié)果是（

）A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02【答案】B【提示】利用四舍五入的方法，從萬(wàn)分位開始四舍五入取近似值即可．【詳解】解：0.0158≈0.016．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，正確利用四舍五入法取近似值是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2021·山東濰坊·中考真題）第七次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)顯示，山東省常住人口約為10152.7萬(wàn)人，將101527000用科學(xué)記數(shù)法（精確到十萬(wàn)位）（

）A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109【答案】C【提示】先用四舍五入法精確到十萬(wàn)位，再按科學(xué)記數(shù)法的形式和要求改寫即可．【詳解】解：故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)點(diǎn)，取近似數(shù)是本題的基礎(chǔ)，熟知科學(xué)記數(shù)法的形式和要求是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）用四舍五入法把某數(shù)取近似值為，精確度正確的是（

）A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬(wàn)分位 D．精確到千分位【答案】D【提示】將數(shù)還原后，原數(shù)最后一個(gè)數(shù)字2所在的位置即是該數(shù)精確的位置．【詳解】解：=0.052，故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查數(shù)的精確度，正確將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小實(shí)數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：1.數(shù)軸比較法:將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.2.類別比較法:正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。?.作差比較法:若a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b4.平方比較法：①對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，若a2>b2a>b②對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a，b，若a2>b2a<b5.倒數(shù)比較法：若1/a>1/b，ab>0，則a<b 6.作商比較法：1)任意實(shí)數(shù)a，b，a/b=1a=b2)任意正實(shí)數(shù)a，b，a/b>1a>b,a/b<1a>b3)任意負(fù)實(shí)數(shù)a，b，a/b>1a<b,a/b<1a>b題型01利用數(shù)軸法比較實(shí)數(shù)大小【例1】（2023·湖北黃石·中考真題）實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則它們的大小關(guān)系是（

）

A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)求解即可．【詳解】解：由圖可知，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)是解答的關(guān)鍵．【變式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征得到有理數(shù)的大小關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：由有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知，且，則A.由可知錯(cuò)誤，不符合題意；B.由、得到且，可知錯(cuò)誤，不符合題意；C.由題意可知，可知錯(cuò)誤，不符合題意；D.由得到，從而，即正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸的特征及數(shù)大小的比較，熟練掌握數(shù)軸的特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型02利用類比法比較實(shí)數(shù)大小【例2】（2022·遼寧阜新·中考真題）在有理數(shù)，，0，2中，最小的是（）A． B． C．0 D．2【答案】B【提示】根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法：正數(shù)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，進(jìn)行比較即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴最小的是，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較的方法：正數(shù)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。咀兪?-1】（2023·浙江金華·中考真題）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個(gè)城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的大小比較，即可作出判斷．【詳解】解：，故溫度最低的城市是哈爾濱，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的大小比較的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較法則．【變式2-2】（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）四個(gè)實(shí)數(shù)，0，2，中，最大的數(shù)是（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【提示】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則，即可求解．【詳解】解：∵，∴最大的數(shù)是2．故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵．題型03利用作差法比較實(shí)數(shù)大小【例3】（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知，，，試比較與的大小．小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大?。∪A：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大小：__________．（填“”“”或“”）【答案】(1)(2)【提示】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過(guò)作差法求解，掌握分式運(yùn)算的方法．【變式3-1】（2023·山西臨汾·一模）閱讀理解下面內(nèi)容，并解決問(wèn)題.用求差法比較大小學(xué)習(xí)了不等式的知識(shí)后，我們根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小可以通過(guò)求它們的差來(lái)判斷．如果兩個(gè)數(shù)或式子為和，那么當(dāng)時(shí)，一定有；當(dāng)時(shí)，一定有；當(dāng)時(shí)，一定有．反過(guò)來(lái)也正確，即當(dāng)時(shí)，一定有；當(dāng)時(shí)，一定有；當(dāng)時(shí)，一定有．因此，我們經(jīng)常把要比較的對(duì)象先數(shù)量化，再求它們的差，根據(jù)差的正負(fù)判斷對(duì)象的大?。@種比較大小的方法被稱為“求差法”．例如：已知，比較與的大?。猓骸?，∴，，，∴，∴．“求差法”的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)（或式子）的大小判斷的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)（或式子）與0的大小比較的問(wèn)題．一般步驟為①作差；②變形；③判斷符號(hào)；④得出結(jié)論．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)用“”或“”填空：______．(2)制作某產(chǎn)品有兩種用料方案，方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；已知型鋼板的面積比型鋼板的面積大，若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，則從省料的角度考慮，應(yīng)選哪種方案？并說(shuō)明理由．(3)已知，比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)應(yīng)選方案，理由見解析(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【提示】（1）利用求差法進(jìn)行大小比較即可；（2）先表示方案的面積，再表示方案的面積，最后求差比較方案和方案的大小即可；（3）利用求差法分情況討論即可得到正確的結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）解：∵若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，∴方案的面積為：；方案的面積為：，∴，∵型鋼板的面積比型鋼板的面積大，∴，∴，∴方案省料．（3）解：∵，∵，∴①當(dāng)，即時(shí)，，∴，∴②當(dāng)，即時(shí)，，∴，∴③當(dāng)，即時(shí)，，∴，綜上可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查了求差法比較實(shí)數(shù)的大小，整式的加減，讀懂閱讀材料是解題的關(guān)鍵．題型04利用作商法比較實(shí)數(shù)大小【例4】作商比較法的理論依據(jù)是，，若，則；若，則；若，則．請(qǐng)用作商法比較與的大小．【答案】【提示】用除以，結(jié)果與1比較大小即可．【詳解】解：，，，．【點(diǎn)撥】本題考查作商法比較二次根式的大小，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)及乘除運(yùn)算法則．【變式4-1】若a＞0，b＞0，且，則a＞b；若a＜0，b＜0，且，則a＜b．以上這種比較大小的方法，叫做作商比較法．試?yán)米魃瘫容^法，比較與的大小．【答案】【詳解】因?yàn)?，，，所以題型05利用平方法比較實(shí)數(shù)大小【例5】（2023·四川甘孜·中考真題）比較大小：（填“>”“=”或“<”）【答案】【提示】一個(gè)無(wú)理數(shù)和一個(gè)整數(shù)比較大小，可以采取把兩個(gè)數(shù)先分別平方，再來(lái)比較平方后的兩個(gè)數(shù)的大小，進(jìn)而得到答案.【詳解】解：∵，22=4,∴5＞4∴＞4.故填＞.【點(diǎn)撥】本題主要考查了無(wú)理數(shù)比較大小的方法,對(duì)比較大小的數(shù)同時(shí)進(jìn)行平方運(yùn)算后,化為我們熟悉的整數(shù)再比較大小.【變式5-1】（2022·山東臨沂·中考真題）比較大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”）．【答案】【提示】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較解答即可．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查實(shí)數(shù)大小的比較，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較解答．【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）比較大?。海ㄌ睢?gt;”，“=”或“<”）【答案】>【提示】先利用平方法比較它們的絕對(duì)值的大小，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即可比較．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故答案為：>．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，掌握平方法是解題關(guān)鍵．題型06利用其它方法比較實(shí)數(shù)大小【例6】（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知，則A.B.c的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】C【提示】由，，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式6-1】（2022·西藏·中考真題）比較大?。?．（選填“＞”“＜”“＝”中的一個(gè)）【答案】＜【提示】利用平方法比較兩數(shù)大小關(guān)系．【詳解】解：∵7＜9，∴＜，即＜3，故答案為：＜．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)比較大?。懈?hào)的實(shí)數(shù)在比較大小時(shí)，通常采用平方法進(jìn)行比較．【變式6-2】（2023·陜西西安·一模）比較大小：（填“＞”，“＜”或“=”）【答案】【提示】根據(jù)無(wú)理數(shù)的大小估算得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，估算出的大小是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·陜西西安·一模）比較大?。?．（填“”“”或“”）【答案】【提示】運(yùn)用作差法進(jìn)行比較大小即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，運(yùn)用作差法是解題的關(guān)鍵．其它比較實(shí)數(shù)大小的方法1.取近似值法：通過(guò)估算，將無(wú)理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.這里需要我們記住三個(gè)常用的近似值:√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.2362.添加根號(hào)法：如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，且一個(gè)帶根號(hào).一個(gè)不帶根號(hào)時(shí)，可以將不帶根號(hào)寫成帶根號(hào)的形式根據(jù)“兩個(gè)正無(wú)理數(shù)，被開方數(shù)大的那個(gè)數(shù)大”，即可與另一個(gè)含根號(hào)的數(shù)比較大小.3.放縮法：將一個(gè)實(shí)數(shù)取比它大的整數(shù)，而另一個(gè)實(shí)數(shù)取比它小的整數(shù)，通過(guò)這兩個(gè)整數(shù)的大小即可比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.（例如：比較√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5∴√3<2.5）考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展算術(shù)平方根如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為√a，a叫做被開方數(shù).正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù).0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.立方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)常見實(shí)數(shù)的平方根與立方根：實(shí)數(shù)的非負(fù)性及性質(zhì)：1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).2.非負(fù)數(shù)有三種形式：①任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0；②任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即a2≥0③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即a≥03.非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；③幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于01.1.一個(gè)正數(shù)a的算數(shù)平方根用符號(hào)表示為√a，一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根用符號(hào)表示為±√a；一個(gè)數(shù)a的立方根用符號(hào)表示為3√a2.0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.有時(shí)候題目會(huì)故意沒有把√a去根號(hào)，這時(shí)候就要注意千萬(wàn)不要把√a的平方根當(dāng)作a的平方根，要先把√a去根號(hào)，再求平方根．（如：例3）題型01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【例1】（2023·甘肅武威·中考真題）9的算術(shù)平方根是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】由，可得9的算術(shù)平方根．【詳解】解：9的算術(shù)平方根是3，故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，熟練的求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于（）A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．5的算術(shù)平方根【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵面積等于邊長(zhǎng)的平方，∴面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于9的算術(shù)平方根．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個(gè)