2021全國高考數(shù)學(xué)理科第三次統(tǒng)一模擬考試含答案

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2021全國高考數(shù)學(xué)理科第三次統(tǒng)一模擬考試含答案

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2021年普通高等學(xué)校招生第三次統(tǒng)一模擬考試

理科數(shù)學(xué)2021.03

本試卷共23題，共150分，共8頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)，1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼

在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字

筆書寫，字跡工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答

案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5?保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用圖改液、修正帶、

刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、已知集合。={x|26-7爛0,xWN},且尸G0則滿足條件的集合戶的個(gè)

數(shù)是

(A)8(B)9(C)15(D)16

2、復(fù)數(shù)z=4-5i(其中i為虛數(shù)單位)，則|z+2i|=

(A)V7(B)5(C)7(D)25

3、己知sina=242sin(a+—),則cos2a=

2

7711

(A)(B)g(C)(D)]

4、十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家缶科德在《礪智石》一書中首先把“二”作為

等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“v”和“〉”符號(hào)，并逐

高三理科數(shù)學(xué)第1頁共8頁

漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若則

下列結(jié)論憤年的是

11II

(A)-<-(B)log,(a-Z>)>0(C)2>b2(D)3a>3h

aba

5、如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為■!-,則從力

10

到8這部分電源能通電的概率為

9802998019

(C)-----(D)-----

100000100000

6、一動(dòng)IM1的圓心在拋物線/=8xh,且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切，則此

動(dòng)留必過定點(diǎn)

(A)(4,0)(B)(2,0)(0(0,2)(D)(0,0)

7、若直角坐標(biāo)平面內(nèi)/、8兩點(diǎn)滿足:①點(diǎn)A,8都在函數(shù)/(*)的圖象上：

②點(diǎn)/、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)(4，8)是函數(shù)/(幻的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.

點(diǎn)對(duì)(/，8)與(8,⑷可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，已知函數(shù)

.V2+2.vx<0

f(x)=\2，則/(幻的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有

—xNO

(A)。個(gè)(B)I個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)

8、運(yùn)用祖涮原理計(jì)算球的體枳時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，

被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截而而枳都相等，則這兩個(gè)

幾何體的體積相等.構(gòu)造?個(gè)底洞半徑和高都與球的半徑相等的圈柱，與

半球(如圖1)放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓

心為頂點(diǎn)，圓柱上底而為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖2),用任何

一個(gè)平行于底面的平面去假它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，

島.理科數(shù)學(xué)第2頁共8頁

由此可證明新幾何體與半球體積相警，現(xiàn)將橢圓三十二二1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

1636

后得?橄欖狀的幾何體(如圖3),類比上述方法，運(yùn)用祖南原理可求得其

體積等于

9、如圖，在一個(gè)凸四邊形ABCD內(nèi)，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)E,F,G,H

而成的四邊形是一個(gè)平彳f四邊形，這樣的平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行

四邊形.如圖，現(xiàn)有一個(gè)面積為12的凸四邊形ABCD,設(shè)其對(duì)應(yīng)的瓦里

尼翁平行四邊形為小,記其面積為3,四邊形為小SG0對(duì)應(yīng)的

瓦里尼翁平行四邊形為A2B2C2D2,記其面積為S,?.?依次類推，則

由此得到的第四個(gè)瓦里尼翁平行四邊形A4Bq的而枳S「為

F(x)=/(x)+*f\x)為奇函數(shù)，則下

10、

述四個(gè)結(jié)論中說法正確的是

高：理科數(shù)學(xué)第3頁共8頁

(A)tan"=G(B)/(力在卜a。]上存在零點(diǎn)，則a的最小值為四

6

(C)/。)在上單調(diào)遞增(D)/(x)在(0卷)有且僅有?個(gè)極大仇點(diǎn)

11、在下列四個(gè)命題中，正確的命題個(gè)數(shù)有.

①各個(gè)而都是三角形的幾何體是三棱徘：

②過球面上任意兩點(diǎn)只能作球的一個(gè)大圓：

③三棱錐的四個(gè)而都可以是宜角一:角形：

④梯形的宜觀圖可以是平行四邊形.

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

12、銳角△力^。的三邊分別為a,b,c,a=2bcos8,則;的取色范圍是

b

(A)[1,3)<B)(g,2)

?隹可(D)[1,2)

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13、函數(shù)片/(x)的圖象在點(diǎn)用(2,/(2))處的切線方程是y=2x-8,

嚅二

14、如圖，雙曲線C:0-4=l(a>O,b>O)的左、

a2h2

行焦點(diǎn)分別為4,巴，過F2作線段F2P與C交于點(diǎn)Q，

旦Q為PF2的中點(diǎn),若等腰△PFR的底邊PF2的長

等FC的半焦距，則C的離心率為t

而一:理科數(shù)學(xué)第4頁共8頁

15、如圖,在邊長為1的正方形40中,1為"的中點(diǎn),

〃為以4為圓心，4?為半徑的圓孤（在正方形內(nèi)，

包括邊界點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)，若向量=+/Z\\\

則4+〃的最小值為.4"A

16、黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈例?黎曼發(fā)現(xiàn)

提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：

當(dāng)x="（p,g都是正償數(shù).里是既約真分?jǐn)?shù)）.

/?"）=/，pp，若函數(shù)/（X）是定義在R

0,當(dāng)x=0,1或［0,1］上的無理數(shù)

上的奇函數(shù)，且對(duì)任意x都有〃2-x）+/（x）=0,當(dāng)x￡［0,1］時(shí),/（x）=R（x）,

則/（I?—//=.

三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17—21題為必考題，每

個(gè)考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（本小題滿分12分）

2

已知數(shù)列｛“”｝是公差不為0的等差數(shù)列，a,=3.a,-a4=a2.

（I）求｛?“｝的通項(xiàng)公式％及前H項(xiàng)和S.：

（II）4=!+1■+-+=-，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并判斷〃與母的大小.

S］S2Sn27

高?:理科數(shù)學(xué)第5頁共8頁

18.（本小題滿分12分）

松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng),語文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高、數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”

這一課題進(jìn)行專項(xiàng)研究。為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)商二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)，語文閱

讀理解,訓(xùn)練對(duì)提高,數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語文閱讀理

解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在

數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本-致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績（均

取整數(shù)）如下表所示：

60分以下61-7071~8081-9091~100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.

（I）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表,并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語

文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題‘得分率”有幫助？

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù):

n(ad-be)2

其中〃=4+8+。+".

(a+/>X0+d)(4+c)(b+d)

0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

而一:理科數(shù)學(xué)第6頁共8頁

19.（本小題滿分12分）

如圖，四極徘""8的底面是」E方形，SD1TifnABCD,SD=2a，AD=^a,

點(diǎn)￡是5￡>上的點(diǎn)，且￡>E=4a（（）v/42）

（I）求證：對(duì)任意的人e（0,2],都有力CJ_S￡

<II）設(shè)二面角C-AE-D的大小為0,直線BE與平面ABCD所成的角為夕，若

sin°=cos?,求4的值

20.（本小題滿分12分）

22

已知橢圓￡+*=1（。>〃>0）的左焦點(diǎn)尸在直線3x-y+3五=0上，且

〃+6=2+&.

（I）求橢園的方程；

（II）直線/與橢圓交于/、C兩點(diǎn),線段力C的中點(diǎn)為M,射線與

橢圓交于點(diǎn)P，坐標(biāo)原點(diǎn)O為△4。的重心，探求△/>/（?而枳S是否為定

仇，若是，求出這個(gè)值；若不是，求出S的取值范附.

高:理科數(shù)學(xué)第7頁共8頁

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（K）=2xlnx-ox2-2x+/（a>0）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不

同的極值點(diǎn).

（I）求。的取值范圍：

（II）設(shè)/（戈）兩個(gè)極值點(diǎn)分別為芭,工2，證明：禽E>e.

（-）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）

6

x=——t

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線/的參數(shù)方程為12。為參數(shù)）.

,1

y=l+,

以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，K軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方

程為C:p2cos26M,直線/與曲線。交于45兩點(diǎn).

（I）求|48|的長;

（II）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1微），求AB中懸M到尸的距離.

23.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）

設(shè)函數(shù)f（x）=Ix-2|+2x-3,記的解集為M

（I）求“：

（II）當(dāng)時(shí)，證明：x［/（x）F-//（x）&0.

高一:理科數(shù)學(xué)第8頁共8頁

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2021年普通高等學(xué)校招生第三次統(tǒng)一模擬考試

理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2021.03

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.

題號(hào)123456789101112

答案DBABABCCCBAD

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17—21題為必考題，每

個(gè)考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛為｝是公差不為0的等差數(shù)列，q=3，%=4,

(I)求｛叫的通項(xiàng)公式4及前〃項(xiàng)和S.；

(II)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式，并判斷“與吃的大小.

解：(I)設(shè)q=〃，公冷為d,1分

則a(a+3d)=(a+d)2，----------------------------------------------------3分

解得d=q=3,-----------------------------------------------------4分

高三理科數(shù)學(xué)參考答案(共10頁)

?5分

2

(n)「」_=卒，),

7分

Sa3n(n+\)3nzi+1

從而6“=-L+-L+“?+'-

9分

s、邑s?

1

—+?,,H--------10分

23n5

2

11分

3w+I

…219

故“<-<—.12分

"327

18.（本小題滿分12分）

松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng)，語文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題,得分率作

用”這一課題進(jìn)行專項(xiàng)研究。為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)，語

文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語文閱

讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)

生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本?致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績

（均取整數(shù)）如下表所示：

60分以下61?7071?808]?9091?100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績?cè)?0分以上.（不含80分）的為優(yōu)秀.

（I）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；

高三理科數(shù)學(xué)賽考答案（共10頁）

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下數(shù)2x2列聯(lián)我,并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語文

閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率"有幫助?

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)會(huì)計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù):

n(ad-be)2

其中八=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNkJ0.400.250.150.1000.0500.0250.010

&0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

解：（1）由題意知：甲、乙兩個(gè)班均有學(xué)生50人，

甲班優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為玲=60%--------------3分

25

乙班優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為17=50%.--------------6分

（II）2x2列聯(lián)表如下:

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班302050

乙班252550

合計(jì)5545100

高三理科數(shù)學(xué)參考卷案（共10頁）

--------8分

因?yàn)?100x(30x25-20x25尸

K=——?1.010<1323.一10分

50x50x55x4599

所以由參考數(shù)據(jù)知，沒有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提芮數(shù)學(xué)應(yīng)

用題'得分率”有幫助.--------------12分

19.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐S-48C0的底面是正方形，S￡>_L平面488,SD=2a,AD=6a,

點(diǎn)E是SO上的點(diǎn)，且。￡=&?0v/lV2）

<I）求證：對(duì)任意的2e（0,2］，都有

（H）設(shè)二面角C-AE-D的大小為仇直線BE與平面ABCD所成的角為8，若

sin。=cos。，求義的值

證明：（I）以。為原點(diǎn)，。/.。己,。?的方向分別作為'，V，z軸的正方向建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0,0,0）,A（,42a,0,0）8（"?,缶，0）,

C（0,五a,0）,E（0,OAa）,

商三理科數(shù)學(xué)參考答案（共10頁）

5

,/AC=（-6a、6a,0）,

BE=（-,-五a,Aa）

ACBE=2a2—2a2+0人。=0,

ACLBE4分

（n）iii（i）

得EA=（后,0,-Aa）,EC=（0,缶,一人。）,8后=（一&凡一缶,Aa）.

設(shè)平面4CE的法向/為〃=（x，y,z）,則由i-L的得

f/r=0,\>/2x-Az=0,

匕；.反=0,、1島Tz=0,

iRz=V2,W/i=（2,A,V2）---------------------------6分

易知平而45CO與平而力的一個(gè)法向用:分別為。6=（0,0,2〃）與Dd=（0,缶,0）.

DSBEA八|反"||2|，八八

.'.Sill（p=;..-vurrr=/:,COS0=|_...■=.---------10分

阿慳|Vp+4\DC[\n\&萬+2

sin0=cos0

AA，-

即?L——:=7O4"=2

―2+4——+2

由于/e（0,2],解得即為所求.----------------12分

20.（本小題滿分12分）

22

已知橢圓二+二=1（">/>>0）的左焦點(diǎn)F在直線3*-^+3應(yīng)=0上，且

crZr

a+〃=2+0.

（I）求橢圓的方程；

高三理科數(shù)學(xué)參考答案（共10頁）

（H）直線/與橢圓交于力、C兩點(diǎn)，線段4c的中點(diǎn)為射線與橢

圓交于點(diǎn)P,坐標(biāo)原點(diǎn)。為的重心，探求面積S是否為定值，

若是，求出這個(gè)值；若不是，求出S的取值范圍.

解：（1）???直線3x-y+3jI=0與x軸的交點(diǎn)為（一五,0）,

-------------2分

-----------3分

-----------4分

.?.橢圓的方程為二+匕=1---------------------------------------5分

42

（ID若直線/的斜率不存在，則S=1?#-3=偵.----------6分

22

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=h+m.

代入橢圓方程可得（1+2/）丫2+4kmx+2,?:-4=0-----------------7分

設(shè)4（x”M）,C（x2,y2）,

n,4km2（”『-2）

則X+X,=---------7?X.-X,=--------;—,

12122

1+2Fi+2k

^,+y,=Ar（xl+.r2）+2m=-^p-,-8分

由題意點(diǎn)。為的重心，設(shè)P（.%，M））,

則為+廣=0,

所以%=-（占+%）=若%，乂＞=-（乂+%）=-￡^，

1十Z人1+

高三理科數(shù)學(xué)奉考答案（共10頁）

x2v2

代入橢圓一+乙=1，

42

.nzn21+2K八

解得m=--------------------------------------------10分

2

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到宜線/的距離為d,

則4c的面積S=；?C|-3”

=iVi7F|x1-x2|-3-Ji=

2，1+內(nèi)

2VI\+2k2)\+2k211

32圾即研了

=5i+2--------同

回+2葉竽應(yīng)

\+2k241

二巫----11分

綜上可得，A/VC面積S為定值觀.---------------------------12分

2

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2xlnx-ar2_2x+L(a>0)在共定義域內(nèi)有兩個(gè)不

同的極值點(diǎn).

(I)求。的取值范圍：

高三理科數(shù)學(xué)參考答案(共10頁)

(II)設(shè)/(x)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為對(duì)占，證明：正々>e.

解：(I)依題，忸數(shù)八外的定義域?yàn)?0,+8),

所以方程/(幻=0在(0,+8)有兩個(gè)不同根.

即方程lnx-ar=0在(0,+8)有兩個(gè)不同根------------------------1分

令g(x)=\nx-ax,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

而g(x)=--a=-—―(x>0)----------------------2分

XX

a>0,當(dāng)Ovxv，時(shí)，g(x)>0,當(dāng)時(shí)，g(x)<0?,

aa

所以g(x)=Inx-ar在(0,』)上的調(diào)增，在(L,+8)上單調(diào)減，

aa

從而g(x)極大=g(J)=M-1---------------------4分

又丁當(dāng)x-*0時(shí)，g(x)--oo,當(dāng)X—+8時(shí)，g(x)-*-?>,

于是只須：

g(x)極人>0,即In—I>0?所以°<a<一,—----------5分

ae

(II)由(I)可知分別是方程lnx-at=0的兩個(gè)根，

即In$=咐，lnx2=ax2,

TI"

設(shè)為>X2，作差得，卜工=(以「"2),即。=—三-------7分

x2X「Xz

原不等式..>e等價(jià)于x「X?>/

In.v,+Inx,>2a(x,+x,)>2<=>In—>~------------8分

x2X|+X,

令工=，，piij/>1,ln->I”[—也)u>Inr>——―.......................9分

x2x2X,+X,/+1

高三理科教學(xué)參考答案《共10頁)

O-i）2

'設(shè)g（，）=ln,_2,]：）,,>[,

g'（,）=>0,

，（，+l）2

.??函數(shù)g（，）在（l,+8）上單調(diào)遞增，-------------------10分

???g（，）＞g⑴=0,即不等式?、，＞亞R成立，----------“分

Z+1

故所證不等式而E＞e成匕一12分

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分1