人教A版必修第二冊103頻率與概率學(xué)案

10.3頻率與概率

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.了解隨機(jī)大事發(fā)生頻率的隨機(jī)性與概率的穩(wěn)定性

結(jié)合詳細(xì)實例，

以及頻率與概率含義上的區(qū)分.

會用頻率估量概

2.會通過大量的重復(fù)試驗，用這個大事的頻率近

率.

似地作為它的概率.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)1用頻率估量概率

一般地，隨著試驗次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，

即大事A發(fā)生的頻率加4)會漸漸穩(wěn)定于大事A發(fā)生的概率尸(A).我

們稱頻率的這共性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率啟A)

估量概率尸(A).

學(xué)問點(diǎn)2隨機(jī)模擬

用頻率估量概率，需要做大量的重復(fù)試驗，為提高效率，可依據(jù)

不同的隨機(jī)試驗構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗，這樣就可以快速地進(jìn)行

大量重復(fù)試驗.

(1)隨機(jī)數(shù)的概念

要產(chǎn)生1?〃(〃￡N*)之間的隨機(jī)整數(shù)，把〃個質(zhì)地和大小相同的

小球分別標(biāo)上1,2,3,…，n,放入一個袋中，把它們充分?jǐn)嚢瑁缓?/p>

從中摸出一個球，這個球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).

(2)蒙特卡洛方法

我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題的方法為蒙特卡洛(MonteCarlo)

方法.

［重點(diǎn)理解］

1.概率的統(tǒng)計定義

(1)對頻率隨機(jī)性的理解

在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)大事A發(fā)生的頻率具有

隨機(jī)性.

(2)對頻率穩(wěn)定性的理解

隨著試驗次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即大事A

發(fā)生的頻率以A)會漸漸穩(wěn)定于大事A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率

的這共性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

假如在〃次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，大事A發(fā)生的頻率為g,當(dāng)〃很

大時，可以認(rèn)為大事A發(fā)生的概率/過面估量值為?，且OWP(A)WL

2.頻率與概率的關(guān)系

概率可以通過頻率來“測量”或者說頻率是概率的一個近似,概

率從數(shù)量上反映了一個大事發(fā)生的可能性的大小.

說明：(1)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)

的重復(fù)試驗得到大事的頻率會不同.而概率是一個確定的常數(shù)，是客

觀存在的，與每次試驗無關(guān).

(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越

接近概率.

［自我排查］

1.某人在投籃時投中的概率為50%,那么以下說法正確的選項

是()

A.假設(shè)他投100次，肯定有50次投中

B.假設(shè)他投一次，肯定投中

C.他投一次投中的可能性大小為50%

D.以上說法均錯

答案：C

解析：概率是指一件事情發(fā)生的可能性大小.

2.某人將一枚硬幣連拋20次，正面朝上的狀況消失了12次，

假設(shè)用A表示大事“正面對上〃，那么4的()

A.頻率為aB.概率為1

C.頻率為12D.概率接近|

答案：A

解析：拋硬幣20次，正面朝上消失了12次，記大事4="正面

123

對上“，所以A的頻率為。=而=亍

3.經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上食用油合格率為80%,

經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個品牌，那么不合格的食用

油品牌大約有（）

A.64個B.640個

C.16個D.160個

答案：C

解析：由題意知，經(jīng)抽檢市場上食用油的合格率為80%,那么不

合格率為20%.市場上的食用油大約有80個品牌.用頻率估量概率可

得80X20%=16（個），故市場上不合格的食用油大約有16個品牌.

4.假如袋中裝有數(shù)量差異很大而大小相同的白球和黃球（只是顏

色不同）假設(shè)干個，從中任取1球，取了10次有7個白球，估量袋中

數(shù)量較多的是球.

答案：白

解析：取10次球有7次是白球，那么取出白球的頻率是0.7,故

可估量袋中數(shù)量較多的是白球.

5.某家具廠為足球競賽場館生產(chǎn)觀眾座椅.質(zhì)檢人員對該廠所

生產(chǎn)的2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)覺有2套次品，

那么該廠所生產(chǎn)的2500套座椅中大約有套次品.

答案：50

n2

解析：設(shè)有〃套次品，由概率的統(tǒng)計定義，知赤而=而，解得

H=50,所以該廠所生產(chǎn)的2500套座椅中大約有50套次品.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1概率的定義

［典例1］解釋以下概率的含義：

(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為0.9；

(2)一次抽獎活動中，中獎的概率為0.2.

［解I(1)””.說明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%,也就是說

100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格的.

(2)“"說明參與抽獎的人中有20%的人可能中獎，也就是說，

假設(shè)有100人參與抽獎，約有20人中獎.

［巧歸納］三個方面理解概率

(1)概率是隨機(jī)大事發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)大事A的本

質(zhì)屬性，隨機(jī)大事A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗中大事A發(fā)生的頻

率的近似值.

(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)大事A在一次試驗中發(fā)生與

否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的

反映.

(3)正確理解概率的意義，要清晰與頻率的區(qū)分與聯(lián)系，對詳細(xì)

的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個

詳細(xì)的大事.

［練習(xí)1］1.以下說法正確的選項是()

A.由生物學(xué)知道生男、生女的概率均約為0.5,一對夫婦先后

生兩個小孩，那么肯定為一男一女

B.一次摸獎活動中，中獎概率為0.2,那么摸5張票，肯定有

一張中獎

C.10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸那么誰摸到獎票

的可能性大

答案：D

解析：一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男),

(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2,

當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張、五

張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去

摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都

是0.1,所以C不正確，D正確.

2.某射擊教練評價一名運(yùn)發(fā)動時說：“你射中的概率是90%.〃

你認(rèn)為下面兩個解釋中能代表教練的觀點(diǎn)的為(填序號).

①該射擊運(yùn)發(fā)動射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；

②該射擊運(yùn)發(fā)動射擊一次，中靶的時機(jī)是90%.

答案：②

解析：能代表教練的觀點(diǎn)的為該射擊運(yùn)發(fā)動射擊一次，中靶的時

機(jī)是90%.

研習(xí)2利用頻率估量概率

[典例2](1)下表中列出了10次拋擲硬幣的試驗結(jié)果.n為拋擲

硬幣的次數(shù)，機(jī)為硬幣正面朝上的次數(shù)，計算每次試驗中“正面朝

上"這一大事的頻率，并估算它的概率.

試驗序拋擲的次正面朝上“正面朝上”出

號數(shù)n的次數(shù)相現(xiàn)的頻率

1500251

2500249

3500256

4500253

續(xù)表

試驗序拋擲的次正面朝上“正面朝上”出

號數(shù)n的次數(shù)加現(xiàn)的頻率

5500251

6500245

7500244

8500258

9500262

10500247

(2)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支，該公司對

這些燈管的使用壽命(單位：小時)進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

分組頻數(shù)頻率

[500,900)48

[900,1100)121

[1100,1300)208

[1300,1500)223

[1500,1700)193

[1700,1900)165

[1900,+°0)42

①求各組的頻率；

②依據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估量燈管使用壽命缺乏1500小時的概率.

［解］(1)由%(A)=：可得出這10次試驗中“正面朝上”這一大

事消失的頻率依次為0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,

0.524,0.494,這些數(shù)字

在0.5左右搖擺，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面朝上〃的概率

為0.5.

(2)①頻率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

②樣本中壽命缺乏1500小時的頻數(shù)是48+121+208+223=

600,

所以樣本中壽命缺乏1500小時的頻率是黑=06

即燈管使用壽命缺乏1500小時的概率約為0.6.

［巧歸納］(1)頻率是大事A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)〃的比

值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)“很大

時，頻率總是在一個穩(wěn)定值四周搖擺，這個穩(wěn)定值就是概率.

(2)解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，

然后用頻率估量概率.

［練習(xí)2］國家乒乓球競賽的用球有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，下面是有關(guān)部門

對某乒乓球生產(chǎn)企業(yè)某批次產(chǎn)品的抽樣檢測，結(jié)果如表所示:

抽取球數(shù)目5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902

優(yōu)等品頻率

⑴計算表中優(yōu)等品的各個頻率；

⑵從這批產(chǎn)品中任取一個乒乓球，質(zhì)量檢測為優(yōu)等品的概率約

是多少？

解：（1）如表所示:

抽取球數(shù)目5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902

優(yōu)等品頻率

（2）依據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可以認(rèn)為從這批產(chǎn)品中任取一個乒

乓球，質(zhì)量檢測為優(yōu)等品的概率約是0.95.

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長閱讀

1.某位同學(xué)進(jìn)行投球練習(xí)，連投了10次，恰好投進(jìn)了8次.假

設(shè)用A表示“投進(jìn)球〃這一大事，那么大事A發(fā)生的（）

44

A.概率為力B.頻率為力

C.頻率為8D.

答案：B

解析：投球一次即進(jìn)行一次試驗，投球10次，投進(jìn)8次，即大

84

事A發(fā)生的頻數(shù)為8,所以大事A發(fā)生的頻率為訕=亍

2.對某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下表所示：

抽查件數(shù)50100200300500

合格件數(shù)4792192285478

依據(jù)表中所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，假設(shè)要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到

950件合格品，大約需抽查_______件產(chǎn)品.

答案：1000

解析：〃件產(chǎn)品，那么也p0.95,所以〃-100