第04講 專題拓展：三角形中的五種常見模型解題技巧-2024年新八年級數(shù)學暑假提升講義（人教版 學習新知）

第04講專題拓展：三角形中的五種常見模型解題技巧題型一、“8”字模型題型二、飛鏢模型題型三、“A”字模型題型四、“老鷹捉小雞”模型題型五、（雙）角平分線模型一、“8”字模型三角形三個內角的和等于180°對頂角相等二、飛鏢模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內角的和.三、“A”字模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.五、（雙）角平分線模型1.雙內角平分線2.雙外角平分線3.內角平分線+外角平分線三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.題型歸納題型一、“8”字模型一．填空題（共5小題）1．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，則的度數(shù)是．2．（2023春?武岡市期末）如圖，的度數(shù)為3．（2023秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，則．4．（2023秋?豐臺區(qū)校級月考）如圖，是由線段，，，，組成的平面圖形，，則的度數(shù)為．5．（2023春?蓬萊區(qū)期中）如圖，的度數(shù)是．二．解答題（共4小題）6．（2023秋?惠州校級月考）如圖，求的度數(shù)．7．（2023秋?墊江縣校級月考）如圖所示，求的度數(shù)．8．（2023春?營山縣校級期末）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖1，若，點在、外部，則有，又因是的外角，故．得．將點移到、內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則、、之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）在如圖2中，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點，如圖3，則、、、之間有何數(shù)量關系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結論求如圖4中的度數(shù)．9．（2023秋?同心縣校級月考）已知：如圖1，線段、相交于點，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）在圖2中，若，，和的平分線和相交于點，并且與、分別相交于、．利用（1）的結論，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角時，其他條件不變，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結論即可）題型二、飛鏢模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?雙峰縣月考）如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．2．（2023秋?天長市期中）如圖，中，，為延長線上的一點，于點，，則為A． B． C． D．二．填空題（共1小題）3．（2022秋?富陽區(qū)期中）如圖，作于點，與相交于點，若，，則，．三．解答題（共2小題）4．（2023秋?新建區(qū)期中）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定應等于，、應分別是和，現(xiàn)測量得，你認為這個零件合格嗎？為什么？5．（2022秋?鹽湖區(qū)校級期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，，則；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點、、，若，，求的度數(shù)．題型三、“A”字模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?德宏州期末）如圖，將一個三角形剪去一個角后，，則等于A． B． C． D．二．填空題（共1小題）2．（2022秋?濟寧期末）如圖，中，，，將沿折疊，點落在形內的，則的度數(shù)為．三．解答題（共3小題）3．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想與的關系是．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關系，并說明理由．4．（2022秋?運城期末）一個三角形紙片沿折疊，使點落在點處．（點在的內部）（1）如圖1，若，則．（2）利用圖1，探索，與之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖2，把折疊后，平分，平分，若，利用（2）中得出的結論求的度數(shù)．5．（2023秋?章貢區(qū)校級月考）嘗試探究如圖1，在一張三角形紙片上，剪去，得到四邊形，與分別為的兩個外角（1）請你試著說明：（2）如圖2，如果沿著再剪一刀，與分別為的兩個外角，那么和的數(shù)量關系為（3）如圖3，，分別平分外角、，求與的數(shù)量關系：拓展提升如圖4，在四邊形中，、分別平分外分、，請寫出，、這三個角的數(shù)量關系，并說明理由．

題型四、“老鷹捉小雞”模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?增城區(qū)期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當點落在四邊形外部時，則與、之間的數(shù)量關系是A． B． C． D．二．填空題（共1小題）2．（2023秋?玉林期末）紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在內（如圖），若，則的度數(shù)為．三．解答題（共3小題）3．（2023秋?莊浪縣期中）問題1如圖①，一張三角形紙片，點、分別是邊上兩點．研究（1）：如果沿直線折疊，使點落在上，則與的數(shù)量關系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想、和的數(shù)量關系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想、和的數(shù)量關系，并說明理由．猜想：理由問題2研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形紙片沿折疊，使點、落在四邊形的內部時，與、之間的數(shù)量關系是．4．（2023秋?嘉祥縣期中）（1）如圖①，把紙片沿折疊，當點落在四邊形內部點的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（2）如圖②，把紙片沿折疊，當點落在四邊形外部點的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（3）如圖③，把四邊形沿折疊，當點、分別落在四邊形內部點、的位置時，你能求出、、與之間的數(shù)量關系嗎？并說明理由．5．（2023?鳩江區(qū)校級開學）（1）如圖1，設，則；（2）把三角形紙片頂角沿折疊，點落到點處，記為，為．①如圖2，，與的數(shù)量關系是；②如圖3，請你寫出，與的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖4，把一個三角形紙片的三個頂角分別向內折疊之后，3個頂點不重合，那么圖中．題型五、（雙）角平分線模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?新市區(qū)校級期中）如圖，的三邊，，的長分別為15，20，25，點是三條角平分線的交點，則等于A． B． C． D．2．（2015?鄭州一模）如圖，中，，分別是，的平分線，，則等于A． B． C． D．二．填空題（共3小題）3．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，中，，的角平分線與的角平分線交于點．則．4．（2023秋?南寧月考）如圖，在中，，的平分線交于點，過點作交，于點，．當，時，的長為．5．（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，則度．三．解答題（共3小題）6．（2023秋?鄭州期末）綜合與實踐：如圖1，在中，，三個內角平分線交于點，的外角的角平分線交的延長線于點．【問題初探】：（1）的度數(shù)為，的度數(shù)為；【問題再探】：（2）如圖2，過點作．（可直接使用問題（1）中的結論）①求的度數(shù)；②試判斷線段和之間的位置關系，并說明理由；【拓展探究】：（3）若，將繞點順時針旋轉一定角度后得到△，當所在直線與平行時，請直接寫出此時旋轉角度與之間的關系．7．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖1，在中，和的平分線交于點，過點作，交于，交于．（1）當，，則；（2）當時，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點，過點作，交于，交于，試判斷，，之間的關系，并說明理由．8．（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖1，中，，、的平分線交于點，過點作交、于、．（1）猜想：與、之間有怎樣的關系．（2）如圖2，若，其他條件不變，在第（1）問中與、間的關系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若中的平分線與三角形外角平分線交于，過點作交于，交于．這時圖中還有等腰三角形嗎？與、關系又如何？說明你的理由．

第04講專題拓展：三角形中的五種常見模型解題技巧題型一、“8”字模型題型二、飛鏢模型題型三、“A”字模型題型四、“老鷹捉小雞”模型題型五、（雙）角平分線模型一、“8”字模型三角形三個內角的和等于180°對頂角相等二、飛鏢模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內角的和.三、“A”字模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.五、（雙）角平分線模型1.雙內角平分線2.雙外角平分線3.內角平分線+外角平分線三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.題型歸納題型一、“8”字模型一．填空題（共5小題）1．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，則的度數(shù)是．【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得，，進而利用三角形的內角和定理求解．【解答】解：如圖可知是三角形的外角，，同理也是三角形的外角，，在中，，．故答案為：．【點評】本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．2．（2023春?武岡市期末）如圖，的度數(shù)為【分析】根據(jù)三角形外角的性質和四邊形內角和等于可得的度數(shù)．【解答】解：如圖，，，，故答案為：．【點評】此題考查三角形的內角和，角的和與差，掌握三角形的內角和定理是解決問題的關鍵．3．（2023秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，則．【分析】根據(jù)五邊形的內角和即可得到結論．【解答】解：連接，則，，故答案為：．【點評】本題考查三角形外角的性質及多邊形的內角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．4．（2023秋?豐臺區(qū)校級月考）如圖，是由線段，，，，組成的平面圖形，，則的度數(shù)為．【分析】首先求出，然后證明出，最后結合題干求出的度數(shù)．【解答】解：如圖可知，，又，，又，，又，．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角形內角和定理的知識，解答本題的關鍵是求出，此題難度不大．5．（2023春?蓬萊區(qū)期中）如圖，的度數(shù)是．【分析】本題運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和，將已知角轉化在同一個三角形中，再根據(jù)三角形內角和定理求解．【解答】解：如圖，，，，．故答案為：．【點評】本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．二．解答題（共4小題）6．（2023秋?惠州校級月考）如圖，求的度數(shù)．【分析】由三角形外角性質得，，，從而求的度數(shù)和，變?yōu)榈亩葦?shù)和，因，，，是四邊形的四個內角，利用多邊形的內角和定理：多邊形的內角和即可求出它們的和．【解答】解：由三角形外角性質得，，，．故的度數(shù)是．【點評】本題考查多邊形的內角和定理，三角形的外角性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．7．（2023秋?墊江縣校級月考）如圖所示，求的度數(shù)．【分析】連接，將問題轉化為多邊形的內角和問題．【解答】解：如圖，連接，則，．【點評】解決本題的關鍵的基本思路是把所求的幾個角轉化為一個多邊形的角的問題．8．（2023春?營山縣校級期末）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖1，若，點在、外部，則有，又因是的外角，故．得．將點移到、內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則、、之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）在如圖2中，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點，如圖3，則、、、之間有何數(shù)量關系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結論求如圖4中的度數(shù)．【分析】（1）延長交于點，根據(jù)得出，再由三角形外角的性質即可得出結論；（2）連接并延長，由三角形外角的性質得出，，由此可得出結論；（3）由（2）的結論得：．．再根據(jù)即可得出結論．【解答】解：（1）不成立，結論是．延長交于點，，，又，；（2）結論：．連接并延長，是的外角，是的外角，，，，即；（3）由（2）的結論得：．．又．（或由（2）的結論得：且，．【點評】本題考查的是平行線的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形，利用三角形外角的性質求解是解答此題的關鍵．9．（2023秋?同心縣校級月考）已知：如圖1，線段、相交于點，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）在圖2中，若，，和的平分線和相交于點，并且與、分別相交于、．利用（1）的結論，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角時，其他條件不變，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結論即可）【分析】（1）利用三角形的內角和定理表示出與，再根據(jù)對頂角相等可得，然后整理即可得解；（2）根據(jù)“8字形”的結構特點，根據(jù)交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；（3）根據(jù)（1）的關系式求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；（4）根據(jù)“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根據(jù)角平分線的定義可得，然后整理即可得證．【解答】解：（1）在中，，在中，，（對頂角相等），，；（2）交點有點、、，以為交點有1個，為與，以為交點有4個，為與，與，與，與，以為交點有1個，為與，所以，“8字形”圖形共有6個；（3），，，，、分別是和的角平分線，，，又，；（4）根據(jù)“8字形”數(shù)量關系，，，所以，，，、分別是和的角平分線，，，，整理得，．【點評】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，多邊形的內角和定理，對頂角相等的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．題型二、飛鏢模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?雙峰縣月考）如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】作直線，根據(jù)三角形的外角性質可得：，，從而推出．【解答】解：作直線，（1）（2）由（1）、（2）得：，即，，，．故選：．【點評】解答此題的關鍵是構造三角形，應用三角形內角與外角的關系解答．2．（2023秋?天長市期中）如圖，中，，為延長線上的一點，于點，，則為A． B． C． D．【分析】由于點，，由三角形內角和定理可求出，再由三角形外角定理可得．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點評】這道題考查的是三角形內角和定理及三角形的外角定理，一定要熟記定理．二．填空題（共1小題）3．（2022秋?富陽區(qū)期中）如圖，作于點，與相交于點，若，，則60，．【分析】首先利用垂直的定義和三角形的內角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和內角的關系可以求出．【解答】解：，，，，又，故答案為：60；105．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．三．解答題（共2小題）4．（2023秋?新建區(qū)期中）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定應等于，、應分別是和，現(xiàn)測量得，你認為這個零件合格嗎？為什么？【分析】直接利用圖形中的外角和等于與它不相鄰的兩個內角和求解．【解答】解：延長與相交于點．，又，實際量得的，，這個零件不合格．【點評】本題考查了三角形的內角和外角之間的關系．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和．5．（2022秋?鹽湖區(qū)校級期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，，則50；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點、、，若，，求的度數(shù)．【分析】（1）首先連接并延長至點，然后根據(jù)外角的性質，即可判斷出．（2）①由（1）可得，然后根據(jù)，，求出的值是多少即可．②由（1）可得，再根據(jù)，，求出的值是多少；然后根據(jù)，求出的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)，，設為，可得，解方程，求出的值，即可判斷出的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接并延長至點，，根據(jù)外角的性質，可得，，又，，；（2）①由（1），可得，，，，故答案為：50．②由（1），可得，，，；③，，設為，，，解得，即的度數(shù)為．【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理，利用三角形的內角和定理和外角的性質是解答此題的關鍵．題型三、“A”字模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?德宏州期末）如圖，將一個三角形剪去一個角后，，則等于A． B． C． D．【分析】先根據(jù)平角定理，求出，再根據(jù)三角形內角和求出即可．【解答】解：如圖所示：，，，，，，，故選：．【點評】本題主要考查了三角形的內角和，解題關鍵是正確識別圖形，理解相關角與角之間的數(shù)量關系．二．填空題（共1小題）2．（2022秋?濟寧期末）如圖，中，，，將沿折疊，點落在形內的，則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，進而可得出的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質得出的度數(shù)，再由四邊形的內角和為即可得出結論．【解答】解：中，，，，，，由△翻折而成，，．故答案為：．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵．三．解答題（共3小題）3．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想與的關系是．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關系，并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內角和為和直角三角形的性質求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結果；（4）根據(jù)折疊的性質，對應角相等，以及鄰補角的性質即可求解．【解答】解：（1）：四邊形的內角和為，直角三角形中兩個銳角和為．等于．故答案為：；（2），故答案為：；（3）與的關系是：；故答案為：；（4）是由折疊得到的，，，又，．【點評】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和．（2）三角形的內角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是”這一隱含的條件．4．（2022秋?運城期末）一個三角形紙片沿折疊，使點落在點處．（點在的內部）（1）如圖1，若，則90．（2）利用圖1，探索，與之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖2，把折疊后，平分，平分，若，利用（2）中得出的結論求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質用、表示出和，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質用、表示出和，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；（2）由、是的兩個外角知、，據(jù)此得，繼而可得答案；（3）由（1）知，根據(jù)平分，平分知．利用可得答案．【解答】解：（1）點沿折疊落在點的位置，，，，，在中，，，整理得；故答案為：90；（2），理由：、是的兩個外角，，，，，即；（3）由（1），得，，平分，平分，．，．【點評】本題考查了翻折變換的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的內角和等于，綜合題，但難度不大，熟記性質準確識圖是解題的關鍵．5．（2023秋?章貢區(qū)校級月考）嘗試探究如圖1，在一張三角形紙片上，剪去，得到四邊形，與分別為的兩個外角（1）請你試著說明：（2）如圖2，如果沿著再剪一刀，與分別為的兩個外角，那么和的數(shù)量關系為（3）如圖3，，分別平分外角、，求與的數(shù)量關系：拓展提升如圖4，在四邊形中，、分別平分外分、，請寫出，、這三個角的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)外角的性質得到，，求得，根據(jù)三角形的內角和即可得到結論；（2）由（1）得，，同理得到，于是得到結論；（3）由（1）得，，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論；（4）由（3）得到，由（1）得到，于是得到結論．【解答】解：（1）與分別為的兩個外角，，，，三角形的內角和為，，；（2）由（1）得，，同理，，，故答案為：；（3）由（1）得，，，分別平分外角、，，，，；（4）解：數(shù)量關系：，理由：如圖，由（3）可知，，由（1）可知，，．【點評】本題考查的是角平分線的定義、三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．題型四、“老鷹捉小雞”模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?增城區(qū)期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當點落在四邊形外部時，則與、之間的數(shù)量關系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質可得，根據(jù)平角等于用表示出，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用與表示出，然后利用三角形的內角和等于列式整理即可得解．【解答】解：△是沿折疊得到，，又，，，即，整理得，．，即．故選：．【點評】本題考查了三角形的內角和定理以及折疊的性質，根據(jù)折疊的性質，平角的定義以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，把、、轉化到同一個三角形中是解題的關鍵．二．填空題（共1小題）2．（2023秋?玉林期末）紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在內（如圖），若，則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)，，求出的度數(shù)．再由可求出的度數(shù)，由三角形內角和定理及平角的性質即可求解．【解答】解：中，，，，，，在中，，，故答案為．【點評】本題考查的是三角形內角和定理及平角的性質，解答此題的關鍵是熟知三角形的內角和是．三．解答題（共3小題）3．（2023秋?莊浪縣期中）問題1如圖①，一張三角形紙片，點、分別是邊上兩點．研究（1）：如果沿直線折疊，使點落在上，則與的數(shù)量關系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想、和的數(shù)量關系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想、和的數(shù)量關系，并說明理由．猜想：理由問題2研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形紙片沿折疊，使點、落在四邊形的內部時，與、之間的數(shù)量關系是．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質以及折疊的特點即可得到結論；（2）連接，根據(jù)三角形的外角的性質即可得到結論；（3）連接構造等腰三角形，然后結合三角形的外角性質進行探討證明；（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內角和定理進行探討．【解答】解：（1）根據(jù)折疊的性質可知，，故；（2）由圖形折疊的性質可知，①，②，①②得，即，故；（3）．證明如下：連接構造等腰三角形，，，得，（4）如圖④，由圖形折疊的性質可知，，兩式相加得，即，所以，．【點評】注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運用三角形的內角和定理及其推論進行證明．4．（2023秋?嘉祥縣期中）（1）如圖①，把紙片沿折疊，當點落在四邊形內部點的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（2）如圖②，把紙片沿折疊，當點落在四邊形外部點的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．（3）如圖③，把四邊形沿折疊，當點、分別落在四邊形內部點、的位置時，你能求出、、與之間的數(shù)量關系嗎？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質表示出、，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；（2）先根據(jù)翻折的性質以及平角的定義表示出、，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質表示出、，再根據(jù)四邊形的內角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)翻折的性質，，，，，整理得，；（2）根據(jù)翻折的性質，，，，，整理得，；（3）根據(jù)翻折的性質，，，，，整理得，．【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，多邊形的內角與外角，翻折的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．5．（2023?鳩江區(qū)校級開學）（1）如圖1，設，則；（2）把三角形紙片頂角沿折疊，點落到點處，記為，為．①如圖2，，與的數(shù)量關系是；②如圖3，請你寫出，與的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖4，把一個三角形紙片的三個頂角分別向內折疊之后，3個頂點不重合，那么圖中．【分析】（1）利用三角形外角的性質和三角形的內角和定理即可求解；（2）①先根據(jù)折疊得：，，由兩個平角和得：等于與四個折疊角的差，化簡得結果；②利用兩次外角定理得出結論；（3）由折疊可知等于六邊形的內角和減去以及和，再利用三角形的內角和定理即可求解．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）①如圖2，猜想：，理由是：由折疊得：，，，，；故答案為：；②如圖3，，理由是：，，，，，；（3）如圖4，由題意知，又，，，，．故答案為：．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知圖形翻折變換的性質是解答此題的關鍵．題型五、（雙）角平分線模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?新市區(qū)校級期中）如圖，的三邊，，的長分別為15，20，25，點是三條角平分線的交點，則等于A． B． C． D．【分析】過點作于，于，于，如圖，利用角平分線的性質得到，然后根據(jù)三角形面積公式得到．【解答】解：過點作于，于，于，如圖，點是三條角平分線的交點，，．故選：．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積公式．2．（2015?鄭州一模）如圖，中，，分別是，的平分線，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內角和定理和角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和等于即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，分別是，的平分線，，，，．故選：．【點評】本題主要利用三角形的內角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關鍵．二．填空題（共3小題）3．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，中，，的角平分線與的角平分線交于點．則．【分析】利用三角形內角和定理先求出的度數(shù)，再利用角平分線的定義即可求解．【解答】解：，，的角平分線與的角平分線交于點，，，，，故答案為：．【點評】本題考查三角形內角和定理，角平分線的性質，解題的關鍵是利用角平分線的定義求出的度數(shù)．4．（2023秋?南寧月考）如圖，在中，，的平分線交于點，過點作交，于點，．當，時，的長為2．【分析】利用平行和角平分線得到，，可得出結論，由此即可求得的長．【解答】解：如圖，平分，；，，，；同理可證，，，，，，故答案為2．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，結合平行得到，是解題的關鍵．5．（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，則度．【分析】根據(jù)角平分線的性質可得，，再根據(jù)外角的性質可得，找出規(guī)律即可求出．【解答】解：平分，平分，，，，同理可得，，，，故答案為：．【點評】本題考查了角平分線的性質