專題03 向量的坐標表示-滬教版高一《數(shù)學》核心考點題型方法與技巧（解析版）

第第頁PAGE【解析版】專題03向量的坐標表示在現(xiàn)實世界和科學問題中，常常會見到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；數(shù)學中的“向量”概念就是從中抽象出來的；向量不僅有豐富的幾何內(nèi)涵，向量及其線性運算與數(shù)量積運算還構(gòu)成了精致且有廣泛應(yīng)用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理；本章只討論平面上的向量，選擇性必修課程第3章還將把這一討論推廣到（三維）空間中，至于更一般性的推廣則是大學線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容；高中階段向量的學習重在為解決代數(shù)、幾何、三角及物理等領(lǐng)域中的問題提供一個簡捷有效的工具；一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】在現(xiàn)實世界和科學問題中，常常會見到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；數(shù)學中的“向量”概念就是從中抽象出來的；向量不僅有豐富的幾何內(nèi)涵，向量及其線性運算與數(shù)量積運算還構(gòu)成了精致且有廣泛應(yīng)用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理；本章只討論平面上的向量，選擇性必修課程第3章還將把這一討論推廣到（三維）空間中，至于更一般性的推廣則是大學線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容；高中階段向量的學習重在為解決代數(shù)、幾何、三角及物理等領(lǐng)域中的問題提供一個簡捷有效的工具；【本章教材目錄】第8章平面向量8.1向量的概念和線性運算8.2向量的數(shù)量積8.2.1向量的投影；8.2.2向量的數(shù)量積的定義與運算律8.3向量的坐標表示8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解與坐標表示；8.3.3向量線性運算的坐標表示；8.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標表示8.4向量的應(yīng)用【本章內(nèi)容提要】1、平面向量的基本概念（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等記號表示.（2）向量的模：向量的大小，向量的模記為.（3）零向量：其模為，方向任意.（4）單位向量：模為的向量；非零向量的單位向量是.（5）平行向量：方向相同或相反的向量.（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.（7）負向量：方向相反、模相等的向量.2、向量的線性運算（1）平面向量的加法、減法：運用平行四邊形法則或三角形法則.（2）減去一個向量等于加上它的負向量．（3）實數(shù)與平面向量的乘法：實數(shù)與向量的乘積，記作.（4）設(shè)、、是平面上的任意向量，、向量的加法滿足如下運算律：交換律：；結(jié)合律：.實數(shù)與向量的乘法對向量加減法滿足分配律：；；.3.向量的投影與數(shù)量積（1）向量的夾角：向量與的夾角記為，其值.（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.其中，系數(shù)稱為向量在向量方向上的數(shù)量投影.（3）向量與的數(shù)量積定義為：.（4）向量的數(shù)量積滿足交換律，并且是線性的（即對向量的加減滿足分配律，且可與實數(shù)的乘法交換）.4、平面向量基本定理與向量的坐標表示（1）平面向量基本定理：給定平面上兩個不平行的向量，則該平面內(nèi)的任意向量都可以唯一地表示為這兩個向量的線性組合，也就是說，平面上任意兩個不平行的向量都組成了一個基.（2）向量的坐標表示：在直角坐標系中，把向量的起點放到坐標原點，向量就直接用它的終點坐標表示，稱為向量的坐標表示，這樣，向量就可寫成坐標軸正方向上的單位向量、的線性組合.（3）給定平面上兩點與，則.5、坐標表示下的向量運算設(shè)向量，，則（1）.（2）.（3），.（4）.6、向量的夾角、平行與垂直設(shè)向量，，則（1）.（2）（）或（）.（3）.7、向量的應(yīng)用要體會如何從各種有關(guān)的問題中抽象出相應(yīng)的向量問題，并用所掌握的向量方法解決這個向量問題，從而使原問題得以解決.1、平面向量基本定理條件eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2是同一平面內(nèi)的兩個不平行的向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，都可唯一地表示為eq\o(e,\s\up6(→))1與eq\o(e,\s\up6(→))2的線性組合，即存在唯一的一對實數(shù)λ1，λ2，使得eq\o(a,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2基底若eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2不共線，我們把{eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底【說明】（1）同一平面內(nèi)的基底有無數(shù)個，只要兩向量不共線即可；（2）當基底確定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一確定的；2、平面向量的正交分解把向量eq\o(a,\s\up6(→))寫成所在平面上兩個不平行向量eq\o(e,\s\up6(→))1與eq\o(e,\s\up6(→))2的線性組合的過程稱為eq\o(a,\s\up6(→))關(guān)于eq\o(e,\s\up6(→))1與eq\o(e,\s\up6(→))2的分解；我們特別關(guān)注向量關(guān)于兩個互相垂直的向量的分解這一特殊而實用的情況，即在eq\o(e,\s\up6(→))1eq\o(e,\s\up6(→))2的情況下進行向量的分解；這種分解稱為向量的正交分解；3、平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中任意一個向量關(guān)于軸與軸正方向上的單位向量與的分解就是一個正交分解；這個正交分解稱為向量在這個平面直角坐標系中的坐標分解，而有序?qū)崝?shù)對則稱為向量的坐標，并直接表示成；向量的這種表示法稱為它的坐標表示，并可以直接用向量的坐標代表一個向量；【說明】（1）每個向量都有唯一的坐標，相等的向量坐標相同；（2）點的坐標表示與向量的坐標表示不同，A(x，y)，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x，y)；（3）當向量的起點在原點時，向量的坐標與向量終點的坐標相同；（4）特殊向量的坐標：eq\o(i,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(j,\s\up6(→))＝(0，1)，eq\o(0,\s\up6(→))＝(0，0)；4、位置向量必須注意，在向量的坐標表示中，我們先要作出從坐標原點出發(fā)的向量，才能用點的坐標表示向量的坐標．為此，我們把向量稱為的位置向量；位置向量終點的坐標才是所給向量的坐標；5、平面向量線性運算的坐標表示平面向量的線性運算的坐標運算設(shè)向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標λeq\o(a,\s\up6(→))＝(λx1，λy1)重要結(jié)論一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)6、平面向量線數(shù)量積與夾角的坐標表示（1）已知兩個非零向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，則eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2.（2）平面向量坐標表示的幾個公式①向量模的坐標公式：若eq\o(a,\s\up6(→))＝(x，y)，則|eq\o(a,\s\up6(→))|2＝x2＋y2，或|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2).②兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)③兩向量夾角的余弦公式：設(shè)eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))是兩個非零向量，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，θ是eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))的夾角，則cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).【特別提醒】①θ為銳角或零角?x1x2＋y1y2>0；②θ為鈍角或θ＝π?x1x2＋y1y2<0；7、平面向量坐標表示的應(yīng)用設(shè)非零向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，（1）則eq\o(a,\s\up6(→))⊥eq\o(b,\s\up6(→))?x1x2＋y1y2＝0.（2）則eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))?x1y2－x2y1＝0；題型1、對平面向量基底的理解例1、（1）如果eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，則下列說法正確的是()A．若實數(shù)λ1，λ2，使λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2＝0，則λ1＝λ2＝0B．0能與另外一個向量a構(gòu)成基底C．對實數(shù)λ1，λ2，λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，使eq\o(a,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對【提示】根據(jù)有關(guān)概念及平面向量基本定理，逐一分析；【答案】A；【解析】平面內(nèi)任意一對不共線的向量都可以作為基底，故B不正確；對任意實數(shù)λ1，λ2，向量λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2一定在平面α內(nèi)，故C不正確；而對平面α內(nèi)的任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，實數(shù)λ1，λ2是唯一的，故D不正確；（2）若向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))不共線，且eq\o(c,\s\up6(→))＝2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))＝3eq\o(a,\s\up6(→))－2eq\o(b,\s\up6(→))，試判斷eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))能否作為基底．【解析】設(shè)存在實數(shù)λ使得eq\o(c,\s\up6(→))＝λeq\o(d,\s\up6(→))，則2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝λ(3eq\o(a,\s\up6(→))－2eq\o(b,\s\up6(→)))，即(2－3λ)eq\o(a,\s\up6(→))＋(2λ－1)eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→)).由于eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))共線，從而2－3λ＝2λ－1＝0，這樣的λ是不存在的，從而eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))不共線，故eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))能作為基底；【說明】判斷考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線；此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來；題型2、平面向量基本定理的初步應(yīng)用例2、如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→));（1）用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；（2）若點F在AC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(c,\s\up6(→))，求AF∶CF；【解析】（1）因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))，點D是AC的中點，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))，因為點E是BD的中點，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(c,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(a,\s\up6(→))；（2）設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0<λ<1)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋λ(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(a,\s\up6(→))＋λeq\o(c,\s\up6(→))；又eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(c,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(4,5)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AF∶CF＝4∶1；【說明】1、平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的；2、平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決；題型3、用基底表示向量例3、（1）如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN與CM相交于點E，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，試用基底eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；【提示】本題可過N作AB的平行線，交CM于D，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合向量的線性表示求解，也可利用三點共線的條件結(jié)合平面向量定理的唯一性求解；【解析】方法1：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN與CM交于點E，過N作AB的平行線，交CM于D，如圖所示：在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(2,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(b,\s\up6(→))；方法2：易得eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))，由N，E，B三點共線知存在實數(shù)m，滿足eq\o(AE,\s\up12(→))＝meq\o(AN,\s\up12(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)meq\o(b,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(a,\s\up6(→)).由C，E，M三點共線知存在實數(shù)n，滿足eq\o(AE,\s\up12(→))＝neq\o(AM,\s\up12(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)neq\o(a,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(b,\s\up6(→)).所以eq\f(1,3)meq\o(b,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)neq\o(a,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(b,\s\up6(→)).因為eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(b,\s\up6(→))；【說明】將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直到用基底表示為止；另一種是通過列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解；（2）如圖所示，已知平行四邊形ABCD的邊BC，CD上的中點分別為K，L，且eq\o(AK,\s\up6(→))＝eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(AL,\s\up6(→))＝eq\o(e,\s\up6(→))2，試用eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2表示eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))；【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AL，\s\up6(→))＝\o(AD,\s\up6(→))＋\o(DL,\s\up6(→))，,\o(AK,\s\up6(→))＝\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BK,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(e，\s\up6(→))2＝eq\o(b,\s\up6(→))＋\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))，,eq\o(e,\s\up6(→))1＝eq\o(a,\s\up6(→))＋\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(a，\s\up6(→))＝\f(2,3)2eq\o(e,\s\up6(→))1－eq\o(e,\s\up6(→))2，,eq\o(b,\s\up6(→))＝\f(2,3)2eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\o(e,\s\up6(→))1，))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2eq\o(e,\s\up6(→))1－eq\o(e,\s\up6(→))2)，∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\f(4,3)eq\o(e,\s\up6(→))1；eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(4,3)eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\f(2,3)eq\o(e,\s\up6(→))1；【說明】1、向量的基底是指平面內(nèi)不共線的兩個向量，事實上，若{eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2}是基底，則必有eq\o(e,\s\up6(→))1≠eq\o(0,\s\up6(→))，eq\o(e,\s\up6(→))2≠eq\o(0,\s\up6(→))且eq\o(e,\s\up6(→))1與e2不共線.若共線，則不能作為基底，如eq\o(0,\s\up6(→))與eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))1與2eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))1＋eq\o(e,\s\up6(→))2與2(eq\o(e,\s\up6(→))1＋eq\o(e,\s\up6(→))2)等，均不能構(gòu)成基底；2、一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來.設(shè)向量eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若x1eq\o(a,\s\up6(→))＋y1eq\o(b,\s\up6(→))＝x2eq\o(a,\s\up6(→))＋y2eq\o(b,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y(tǒng)2.))題型4、平面向量的坐標表示例4、（1）如圖，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量{eq\o(i,\s\up6(→))，eq\o(j,\s\up6(→))}作為基底，若|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，θ＝45°，則向量eq\o(a,\s\up6(→))的坐標為()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))【答案】A；【解析】由題意，得eq\o(a,\s\up6(→))＝(eq\r(2)cos45°)eq\o(i,\s\up6(→))＋(eq\r(2)sin45°)eq\o(j,\s\up6(→))＝eq\o(i,\s\up6(→))＋eq\o(j,\s\up6(→))＝(1，1)；（2）已知O是坐標原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標．【解析】設(shè)點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．【說明】求點和向量坐標的常用方法：1、平移法：把向量的起點移至坐標原點，終點坐標即為向量的坐標；2、求差法：先求出這個向量的始點、終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標；【注意】（1）求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標；（2）求一個向量的坐標，先求該向量的模在x軸、y軸上正交分解的長度，其正負需要注意方向；（3）求一個向量的坐標實際上是把該向量的起點平移到坐標原點，其終點的坐標即是該向量的坐標；題型5、平面向量線性運算的坐標表示例5、（1）已知點A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)【答案】A【解析】方法1：設(shè)C(x，y)，O(0，0)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－7，－4)；方法2：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．（2）已知點A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→));（1）求eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(c,\s\up6(→))；（2）求點M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標．【解析】由已知得eq\o(a,\s\up6(→))＝(5，－5)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(－6，－3)，c＝(1，8)．（1）eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(c,\s\up6(→))＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16)．(2)設(shè)O為坐標原點．∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，∴M(－2，4)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，∴N(－9，－7)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11)．【說明】1、利用平面向量坐標運算解決有關(guān)問題的基本思路：（1）向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外解題過程中要注意方程思想的運用．（2）利用向量的坐標運算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解．（3）利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出相應(yīng)系數(shù)；2、利用平面向量坐標運算解決有關(guān)問題常見的應(yīng)用角度有：（1）向量坐標運算的直接運用；（2）利用向量坐標運算求點的坐標；（3）利用向量坐標運算表示向量；題型6、平面向量線數(shù)量積與夾角的坐標表示例6、（1）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(1，－2)，則eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)【答案】B【解析】設(shè)eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))的夾角為θ，∵|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(b,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝5，∴cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵θ∈[0，π]，∴eq\o(a,\s\up6(→))與b的夾角為eq\f(π,4)；（2）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1，2)；（1）求eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))夾角的余弦值；（2）若(eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→)))⊥(2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))，求實數(shù)λ的值．【解析】（1）因為eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝4×(－1)＋3×2＝2，|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋32)＝5，|eq\o(b,\s\up6(→))|＝eq\r((－1)2＋22)＝eq\r(5)，設(shè)eq\o(a,\s\up6(→))與b的夾角為θ，所以cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).（2）因為eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→))＝(4＋λ，3－2λ)，2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(7，8)，又(eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→)))⊥(2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(52,9)；【說明】向量夾角問題的求解方法：由cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.題型7、平面向量數(shù)乘運算的坐標表示例7、（1）已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2)，則eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(1，1) D．(－1，－1)【答案】D【解析】eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1)；（2）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(2，1)，求：①2eq\o(a,\s\up6(→))＋3eq\o(b,\s\up6(→))；②eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))；③eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))；【解析】(1)2eq\o(a,\s\up6(→))＋3eq\o(b,\s\up6(→))＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)；(2)eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－1，2)－eq\f(1,3)(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，\f(2,3)))；【說明】平面向量坐標運算的技巧（1）若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的坐標運算進行運算；（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算；（3）向量的線性運算可完全類比數(shù)的運算進行；題型8、平面向量坐標運算的初步應(yīng)用例8、（1）已知平面上三點的坐標分別為A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求點D的坐標，使這四點為平行四邊形的四個頂點；【解析】設(shè)點D的坐標為(x，y)，當平行四邊形為ABCD時，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得D(2，2)；當平行四邊形為ACDB時，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y－4)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得D(4，6)；當平行四邊形為ACBD時，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y)，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，得D(－6，0)，故點D的坐標為(2，2)或(4，6)或(－6，0)；（2）已知點A(2，3)，B(5，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，試求λ為何值時，①點P在第一、三象限的角平分線上；②點P在第三象限內(nèi)．【解析】設(shè)點P的坐標為(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))①若點P在第一、三象限的角平分線上，則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq\f(1,2).②若點P在第三象限內(nèi)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))∴λ<－1.【說明】坐標形式下向量相等的條件及其應(yīng)用（1）條件：相等向量的對應(yīng)坐標相等；（2）應(yīng)用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點的坐標；題型9、平面向量共線的判定與應(yīng)用例9、（1）已知A，B，C三點的坐標分別為(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求證：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).【證明】設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由題意知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)－(－1，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)－(3，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－(－1)×eq\f(8,3)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).（2）已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(3，4)；若(3a－eq\o(b,\s\up6(→)))∥(a＋keq\o(b,\s\up6(→)))，則k＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】由題意3eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝(0，－10)，eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→))＝(1＋3k，－2＋4k)，因為(3eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→)))∥(eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→)))，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－eq\f(1,3)；【說明】向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷，特別是利用向量共線的坐標表示進行判斷時，要注意坐標之間的搭配；利用向量平行的條件處理求值問題的思路：（1）利用向量共線定理eq\o(a,\s\up6(→))＝λeq\o(b,\s\up6(→))(eq\o(b,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))列方程組求解．（2）利用向量共線的坐標表示直接求解．（3）當兩向量中存在零向量時，無法利用坐標表示求值．題型10、平面向量坐標運算的初步應(yīng)用例10、（1）已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(m，1)．若向量eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))與eq\o(a,\s\up6(→))垂直，則m＝________.【答案】7【解析】因為，eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(m，1)，所以，eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3)．又eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))與eq\o(a,\s\up6(→))垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.（2）設(shè)P(－3，－2)，Q(x，2)，則eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的夾角為鈍角時，x的取值范圍為_____．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)【解析】因為P(－3，－2)，Q(x，2)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，2)，當eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的夾角為鈍角時，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－3x－4<0，解得x>－eq\f(4,3)，當eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))反向共線時，(－3，－2)＝k(x，2)(k<0)，解得k＝－1，x＝3，所以x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)．【說明】1、設(shè)eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))都是非零向量，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，θ是eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))的夾角．（1）cosθ＝eq\f(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；（2）eq\o(a,\s\up6(→))⊥eq\o(b,\s\up6(→))?x1x2＋y1y2＝0；2、注意點：（1）兩向量垂直與兩向量平行的坐標表示易混淆．（2）兩向量夾角的余弦值大于0的夾角不一定是銳角，同樣余弦值小于0的夾角也不一定是鈍角．（3）注意事項：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°；利用cosθ＝eq\f(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)判斷θ的值時，要注意當cosθ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；當cosθ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°；1、已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(3，1)，則eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))=【答案】(2，－1)；【解析】由題意得eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．2、若A(3，1)，B(2，－1)，則eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標是【答案】(1，2)；【解析】eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)．3、已知點A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標原點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則點C的坐標為________________【答案】(0，4)【解析】設(shè)C(x，y)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，1)．由eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，得x＝0，y＝4.故點C的坐標為(0，4)；4、已知2024個向量的和為零向量，且其中一個向量的坐標為(8，15)，則其余2023個向量的和的坐標為________．【答案】(－8，－15)【解析】設(shè)其余2023個向量的和的坐標為(x，y)，則(x，y)＋(8，15)＝(0，0)，解得(x，y)＝(－8，－15)，所以其余2023個向量的和的坐標為(－8，－15)．5、已知點A(2023，12)，B(－1，8)，將向量eq\o(AB,\s\up6(→))按向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(2023，27)的方向平移，所得到的向量坐標是()【答案】(－2024，－4)；【解析】∵A(2023，12)，B(－1，8)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2024，－4)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))按向量a的方向平移后不發(fā)生變化，∴平移后eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2024，－4)．6、已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2)))，B(1，4)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝(sinα，cosβ)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β＝____________【答案】eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)【解析】由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)，cosβ＝eq\f(1,2)，又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3)，∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2).7、如