滬科版初中九年級數(shù)學(xué)上冊專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(七)求銳角三角函數(shù)的五種常用方法練課件

專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(七)求銳角三角函數(shù)的五種常用方法(練方法)類型一定義法1.(★☆☆)如圖,△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,

=

,AD=2,則sinA的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

解析

B∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°,∵∠A=∠A,∴△ABE∽

△ACD,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴

=

=

.∵AD=2,∴AC=5,根據(jù)勾股定理可得CD=

=

,∴sinA=

=

.故選B.B2.

[易錯題](2024山東東營墾利月考,20,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的

高,BD=AC=10,tanB=

,求AD的長和cosC的值.

解析∵AD是BC邊上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,tanB=

=

,BD=10,∴AD=8,在Rt△ACD中,AD=8,AC=10,∴CD=6,∴cosC=

=

=

.對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001易錯題

忽略三角函數(shù)的定義三角函數(shù)是在直角三角形中定義的,解題時容易忽略這個限制條件,直接在

非直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義求值.類型二參數(shù)法3.(2024安徽滁州鳳陽官塘中學(xué)月考,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB

的長是直角邊BC長的3倍,則tanB的值是

(

)A.

B.3

C.

D.2

對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001D解析

D設(shè)BC=x,則AB=3x,由勾股定理,得AC=2

x,所以tanB=

=

=2

,故選D.4.(2024安徽阜陽臨泉期末,12,★☆☆)如果β是銳角,且tanβ=

,那么sinβ的值是

.答案

解析不妨設(shè)在Rt△ABC中,∠B=β,∠C=90°,∵tanβ=

=

,∴設(shè)BC=4x,則AC=3x,由勾股定理,得AB=

=5x,∴sinβ=

=

=

.5.[一題多解](★☆☆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點E,

EF⊥AB于點F,點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).

(1)求證:△ACE≌△AFE;(2)求tan∠CAE的值.

解析

(1)證明:∵AE是∠BAC的平分線,EC⊥AC,EF⊥AF,∴CE=EF,在Rt△ACE

與Rt△AFE中,

對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL).(2)由(1)可知Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF,CE=EF,設(shè)BF=m,則AC=AF=2m,AB=

3m,∴BC=

=

=

m.解法一:∵∠C=∠EFB=90°,∠B=∠B,∴△EFB∽△ACB,∴

=

,∵CE=EF,∴tan∠CAE=

=

=

.解法二:在Rt△ABC中,tanB=

=

=

,在Rt△EFB中,EF=BF·tanB=

,∴CE=EF=

,在Rt△ACE中,tan∠CAE=

=

=

.類型三等角轉(zhuǎn)換法6.(2024安徽合肥新站期末,7,★☆☆)△ABC中,∠A,∠B,∠ACB的對邊分別為a,b,

c.已知a=3,b=4,c=5,CD⊥AB,則cos∠BCD的值為

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

C如圖,∵a=3,b=4,c=5,32+42=52,即a2+b2=c2,∴△ABC為直角三角形,且

∠ACB=90°.∵∠BCD+∠B=90°,∠A+∠B=90°,∴∠BCD=∠A,∴cos∠BCD=cosA=

=

.故選C.

方法歸納

“等角轉(zhuǎn)換法”求銳角三角函數(shù)值當(dāng)要求的銳角三角函數(shù)值不易直接求出時,可通過等角或同角的余角(補(bǔ)角)

相等、等腰三角形、全等三角形或相似三角形的相關(guān)知識,將要求的角轉(zhuǎn)化為

與它相等的角,再根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等求解.7.[K字型](2024安徽六安霍邱月考,9,★★☆)如圖,矩形ABCD中,點E在邊AB上,

將△ADE沿DE翻折,點A恰好落在BC邊上的點F處,若CD=3BF,BE=4,則tan∠AED

的值為

(

)A.3.5

B.3.2

C.3

D.2.8C解析

C∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠A=∠B=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°,∵將△ADE沿DE翻折,點A恰好落在BC邊上的點F處,∴∠EFD=∠A=90°,∠AED

=∠DEF,∴∠BFE+∠CFD=90°,∴∠BEF=∠CFD,∴△BEF∽△CFD,∴

=

.∵CD=3BF,∴

=

=3,∴tan∠AED=tan∠DEF=

=3.故選C.8.(★★☆)如圖,矩形ABCD的四個頂點分別在直線l3,l4,l2,l1上.若直線l1∥l2∥l3∥l4

且間距相等,AB=4,BC=3,則tanα的值為

.

對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001答案

解析如圖,過點C作CF⊥l4于點F,交l3于點E,設(shè)CB交l3于點G,由已知可得GE∥

BF,CE=EF,∴△CEG∽△CFB,∴

=

=

.∵BC=3,∴CG=

,∴GB=

.∵l3∥l4,∴∠α=∠GAB.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABG=90°,∵AB=4,∴tan∠BAG=

=

=

,∴tanα的值為

.

9.(2024陜西榆林子洲期末,20,★☆☆)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中

點,CO=6.5,BC=5.

(1)求AC的長;(2)求cos∠OCA與tanB的值.解析

(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中點,CO=6.5,∴AB=2CO=13,∵BC=5,∴AC=

=12.(2)∵∠ACB=90°,O是AB的中點,∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,在Rt△ABC中,AB=對應(yīng)目標(biāo)編號M912300113,BC=5,AC=12,∴cos∠OCA=cosA=

=

,tanB=

=

.類型四構(gòu)造直角三角形法10.(2024安徽合肥廬陽期末,7,★☆☆)如圖,△ABC的頂點均在正方形網(wǎng)格的格

點上,則sin∠ACB的值為

(

)

A.

B.

C.

D.

對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001A解析

A如圖,取格點D,連接BD,則BD⊥AC.令BD=a,則CD=2a,在Rt△BCD中,

BC=

=

a,所以sin∠ACB=

=

=

.故選A.

11.(2024安徽合肥肥東期末,13,★★☆)如圖,△ABC中,∠A=30°,E為AC上一點,

且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB,垂足為F,連接FC,則tan∠CFB的值為

.

對應(yīng)目標(biāo)編號M9123001答案

解析如圖,過點C作CM⊥AB,垂足為M,∵EF⊥AB,∴∠AFE=90°.在Rt△AEF中,

sinA=

,即

=

.令EF=3a,則AE=6a,∴AF=

=3

a.∵AE∶EC=3∶1,∴EC=2a,∴AC=6a+2a=8a.在Rt△ACM中,sinA=

,cosA=

,則MC=

AC=4a,AM=4

a,∴MF=AM-AF=

a.在Rt△CFM中,tan∠CFB=

=

=

.

12.(2024湖南岳陽岳陽樓期末,21,★☆☆)如圖,在坐標(biāo)平面內(nèi),點A的坐標(biāo)為(20,

0),OA=2OB,sin∠AOB=

.(1)求點B的坐標(biāo);(2)求tan∠OAB的值.

解析

(1)如圖,過點B作BC⊥OA于點C,∵點A的坐標(biāo)為(20,0),∴OA=20,∵OA=2

OB,∴OB=10,∵sin∠AOB=

=

,∴BC=6,∴OC=

=8,∴點B的坐標(biāo)為(8,6).(2)∵OA=20,OC=8,∴AC=12,∴tan∠OAB=

=

=

.類型五性質(zhì)公式法13.(2024甘肅酒泉玉門期末,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=

,則cosB的值等于

(

)A.

B.

C.

D.1C解析

C

cosB=cos(90°-∠A)=sinA=

,故選C.14.[一題多解](2024浙江杭州拱墅期末,5,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,cosB=

,則tanA=

(

)A.

B.

C.