2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 13 立體幾何中的向量方法教學(xué)案 理

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專題13立體幾何中的向量方法

空間向量及其應(yīng)用一般每年考一道大題，試題一般以多面體為載體，分步設(shè)問(wèn)，既考查綜合幾何也考

查向量幾何，諸小問(wèn)之間有一定梯度，大多模式是：諸小問(wèn)依次討論線線垂直與平行一線面垂直與平行一

面面垂直與平行一異面直線所成角、線面角、二面角一體積的計(jì)算.強(qiáng)調(diào)作圖、證明、計(jì)算相結(jié)合.考查

的多面體以三棱錐、四棱錐(有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐、正棱錐)、棱柱(有一側(cè)棱或側(cè)面與底面垂直的

棱柱，或底面為特殊圖形--如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等類型的棱柱)為主.

卜重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.共線向量與共面向量

(D共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bWO),a〃人的充要條件是存在實(shí)數(shù)4,使a=46.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、6不共線，則向量0與向量a、6共面的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)

對(duì)(x,y)，使°=松+地

2.兩個(gè)向量的數(shù)量積

向量a、6的數(shù)量積：a,b—\a||Z||cos(a,b).

向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：

①(久a)?b=4(a?方)；

②a-b—b-a(交換律)；

③a,(b+c)—a?b+a?c(分配律).

3.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量0,存在唯一有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使p=xa+

yb+zc.

—?

推論：設(shè)。、力、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)尸，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組｛x,%力，使。

—?―?-?

=xOA+yOB+zOC.

4.空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(a,329a。，b=(th,bz,bs),

則a〃2a=久修句=改=入也,53=A&(AGR)；

a上ga?6=0=a】6i+&^+&&=0.

5.模、夾角和距離公式

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(1)設(shè)a=(5i>a”加，b—(b\,bi>bs),貝!j

Ia\=y/a?+上+W,

//、a?b_______+

cosy,0〉=^^=^==^J===

(2)距離公式

設(shè)力(xi,yi,zi),6(x2,j2,Z2),則

-A

IAB\=?~X1—X2~旺——%~阡Zi~Z2~5.

(3)平面的法向量

如果表示向量a的有向線段所在的直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作a_L。.

如果a_L。，那么向量a叫做平面。的法向量.

6.空間角的類型與范圍

(1)異面直線所成的角，：0<

(2)直線與平面所成的角0,owew5；

(3)二面角0-OW

7.用向量求空間角與距離的方法

(D求空間角：設(shè)直線Z、4的方向向量分別為a、b,平面。、￡的法向量分別為仄m.

①異面直線，與人所成的角為0,則cos。=上々.

②直線Z與平面。所成的角為9,則Sinn=上二4.

③平面a與平面月所成的二面角為0,則|cos"=亍+.

(2)求空間距離

①直線到平面的距離，兩平行平面間的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

—?

n\

點(diǎn)尸到平面a的距離：d=?(其中〃為。的法向量，材為。內(nèi)任一點(diǎn)).

②設(shè)〃與異面直線2b都垂直，力是直線a上任一點(diǎn)，6是直線少上任一點(diǎn)，則異面直線a、力的距離

卜高頻考點(diǎn)突破

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考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直

例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐尸一4靦中，必，底面/a9E,F分別是尸C,如的中點(diǎn)，PA

=AB=\,BC=2.

(1)求證：EF〃平面臼IB；

(2)求證：平面為〃1平面如C

【證明】以力為原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別為“軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系力一犯它如

圖所示，則4(0,0,0),6(1,0,0),<7(1,2,0),〃(0,2,0),尸(0,0,1),

所以￡，1，；),(0,1,3),

0,0),尻(0,0,1),~AD=(0,2,0),加=(1,0,0),萍(1,0,0).

(1)因?yàn)樗舛欢?，所以嬴〃?

^EFIIAB.

又枯口平面取8,呼口平面加B,

所以韶4平面及S.

。因?yàn)樵翽-DC=(0,(M>a0,0)=0,

J1D-SC=(0,2,0)-(1,070)=0,

所以SP1DC,AD1DC,

即/P1DC,AD1DC.

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又因?yàn)?/T1助=4/Mt平面力〃，4底平面均。，

【方法規(guī)律】利用空間向量證明平行與垂直的步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；

(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素；

(3)通過(guò)空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；

(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題.

【變式探究】在直三棱柱中，ZABC=90Q,BC=2,冤=4,點(diǎn)￡在線段能上，且宓=1,

D,F,G分別為制，CB,G4的中點(diǎn).

求證：(1)平面

(2)平面比廣〃平面ABD.

證明：⑴以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,陽(yáng)所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系8—

則5(0,0,0),2(0,2,2),5(0,0,4),設(shè)加=a,則4(a,0,0),

-?—?—>

所以的=(a,0,0),劭=(0,2,2),月A(0,2,-2),

―?—?—?-?

RD*BA=Q,劣。?做=0+4—4=0,

即臺(tái)〃_L物，&D1BD.

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又BACBIXB,BA,8上平面ABD,

因此J_平面ABD.

(2)由(1)知，￡(0,0,3),屐，1,4j,/(0,1,4),

則屬=仔,1,1)原=(0,1,1),

―?—?―?―?

RD，EG=0+2—2=0,臺(tái)〃?以=0+2—2=0,

即BxDLEG,BxDLEF.

又EGCEF=E,EG,夕七平面a'E因此臺(tái)〃_L平面灰K

結(jié)合(1)可知平面附〃平面ABD.

考點(diǎn)二、向量法求空間角

例2、(2017?全國(guó)卷H)如圖，四棱錐"一四切中，側(cè)面21〃為等邊三角形且垂直于底面AB=

BC=《AD,NBAg/ABC=9G。,￡■是陽(yáng)的中點(diǎn).

(1)證明：直線龍〃平面門外

(2)點(diǎn)M在棱％上，且直線6V與底面4靦所成角為45°,求二面角那/層〃的余弦值.

【解析】⑴證明：取序的中點(diǎn)凡連接防BF.

因?yàn)楹笫顷?yáng)的中點(diǎn)，所以EF〃加,EF=^AD.

由N&4QN4比=90。得比〃4。，

XBC^AD,所以哥'觸6G

四邊形比)3是平行四邊形，CE//BF.

又厥:平面為8,陽(yáng)平面以8,故四〃平面必8.

(2)由已知得的以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，石的方向?yàn)閤軸正方向，I藕I為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間

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直角坐標(biāo)系4一燈z,則4(0,0,0),8(1,0,0),(7(1,1,0),2(0,1,”=(1,0,一m),48=(1,0,0).

設(shè)y>z）（g<i）,貝ij

BM=（x-lfy,z）,Pggy-l,z一3）.

因?yàn)榈禡與底面右CD所成的角為45。，

而Ji=（0Ol）是底面ABCD的法向量，

所以|8S〈BA/,|=sin45o,

即。―1>+爐-z=o①

又“在棱PC上，設(shè)P*APC,則

x=l+冬g邛，

由①②解得〈￥=1,

（舍去），或<v=b

1=4142，

所以11邛,1,坐）,從而嘉（1-冬1,坐）.

設(shè)卬=（荀，Jb,Zo）是平面力氏獷的法向量，則

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Iin,/LI/==Of即］—y［2xo+2yo+y［&ZQ=O9

'［照=0,

〔必?A9=0,

所以可取9=（0,一乖,2）.

工且I\m'n巫

十是cos\m,n）=--------

inn5

因此二面角正4??〃的余弦值為手.

□

［方法技巧］（1）利用空間向量求空間角的一般步驟

①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相交向量的坐標(biāo).

③結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.

④轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

【變式探究】（2017?北京卷）如圖，在四棱錐P—四切中，底面465為正方形，平面為平面四切,

點(diǎn)"在線段以上，陽(yáng)〃平面物C,PA=PD=#,43=4.

（1）求證：必為陽(yáng)的中點(diǎn)；

（2）求二面角行楊4的大小；

（3）求直線，吃'與平面應(yīng)W所成角的正弦值.

解析：（1）證明：如圖，設(shè)/G被交于點(diǎn)反連接朗

因?yàn)殛?yáng)〃平面MAC,平面例CA平面PDB=ME,

所以PD//ME.

因?yàn)樗倪呅窝惺钦叫危?/p>

所以￡為物的中點(diǎn)，

所以M為處的中點(diǎn).

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4萬(wàn)?

E、

(2)取的中點(diǎn)。，連接相0E.

因?yàn)橛?陽(yáng)，所以。_L49.

又因?yàn)槠矫鏋椤╛L平面ABCD,且。/七平面PAD,

所以勿U平面ABCD.

因?yàn)镺Eu平面ABCD,所以O(shè)PVOE.

因?yàn)樗倪呅?版是正方形，所以施工

—?—?

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,則P(0,0,?,〃(2,0,0),5(-2,4,0),劭=(4,-4,0),PD=

(2,0,

設(shè)平面網(wǎng)的法向量為A=(x,y,z),

n?BD=0,’4x—4y=0,

?PD=0,

令x=1,則y=L

于是n=(1,1,4)

平面必〃的法向量為0=(0,1,0),

所以COS〈A,p)=

(3)由題意知］，一1,2,,C(2,4,0),MC=

設(shè)直線,"與平面應(yīng)d所成角為%則

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—?

/二?n?MC\2加

sina-cos",MC)=-------=一

~*19

\n|MC\

所以直線,必與平面狼所成角的正弦值為平.

考點(diǎn)三探索性問(wèn)題

要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.“是否存在”

的問(wèn)題的命題形式有兩種情況：如果存在，找出一個(gè)來(lái)；如果不存在，需要說(shuō)明理由，這類問(wèn)題常用“肯

定順推”的方法.

例3、(2016?北京)如圖，在四棱錐一一被力中，平面必平面4龍PALPD,PA=PD,ABLAD,

(1)求證：平面為公

(2)求直線處與平面也?所成角的正弦值；

(3)在棱陽(yáng)上是否存在點(diǎn)肌使得5M〃平面尸切？若存在，求制J值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】⑴證明：因?yàn)槠矫婵倕^(qū)L平面46(力，ABYAD,

所以/員L平面用。，陽(yáng)c平面為。，所以4反L&Z

又因?yàn)镻ALPD,

所以HZL平面PAB.

(2)取力〃的中點(diǎn)。，連接戶0,CO.

因?yàn)橛?如，所以即_!_◎

又因?yàn)樾?平面處〃，平面為〃_L平面儂74

所以尸。_L平面ABCD.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

由題意得,由0,1,0),由1,1,0),由2,0,0),4(0,-1,0),由0,0,1).

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設(shè)平面RN的法向量為A=(X,y,z),則

,陽(yáng)二0,-y-z=0,

即，

1元=0,2x—z--0.

令z=2,貝ijx=l,y=-2.

所以N=(1,-2,2).

—>

又晶-1),所以COS<N,晶)二唔二J.

同冏

⑶設(shè)”是棱身上一點(diǎn)，

則存在X€[0,1]使得京匕晶

因此點(diǎn)m0,1一九4,尾匕(一1,-z,z).

因?yàn)槠矫鍼CD,所以要使5M7/平面汽3當(dāng)且僅當(dāng)嬴H=0,即(一1,一3④-Q,-22)=0.

解得所以在棱PA上存在點(diǎn)“使得BA*平面PCD,此日瞪=：一

?Jxr-+

【方法技巧】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、

推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；解題時(shí):把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否

存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效,

應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.

【變式探究】如圖所示，已知正三棱柱4?。一4歸G中，AB=2,44=十，點(diǎn)〃為4C的中點(diǎn)，點(diǎn)￡的線

段段上.

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⑴當(dāng)絲￡4尸時(shí)，求證：DE1BQ；

(2)是否存在點(diǎn)反使二面角〃的4等于60°?若存在，求力i1的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)證明：連接〃G,

因?yàn)榱Ρ?4出G為正三棱柱，所以△?比為正三角形.

又因?yàn)椤?。的中點(diǎn)，所以劭，〃：

又平面平面/CG4,所以切J_平面力CG4.

所以BDVDE.

因?yàn)榱Α攴之a(chǎn)12,AB=2,44=事,所以［《=算，49=1.

所以在RtZ\/〃￡中，N49￡=30°.在Rt△〃制中，NC、DC=60°.

所以/劭G=90°,即血LOG.

所以〃_L平面BDG.

又因?yàn)?Gu平面劭G,

所以EDVBQ.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)。滿足條件，設(shè)AE=h.

取4G的中點(diǎn)〃，連接加”則如，平面/比所以加」力〃，DIXLBD.

如圖，分別以"I,DB,如所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

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則力(1,0,0),8(0,y[3,0),￡(1,0,A).

―?—?―?—?

所以m=(0,小,0),DE=(l,0,揖,43=(—1,小,0),1￡=(0,0,/?).

設(shè)平面腌的一個(gè)法向量為9=(為，％,Zi)則

I/71?DB=0,即""一"

1/71?DE=3〔吊+力?=0.

令?=1,得n=(一力,0,1).

同理，設(shè)平面力應(yīng)'的一個(gè)法向量為麼=（火2,度，勿），

n>,AB=Q,

f—矛2+{5%=0,

[力Z2=0.

{m,AE=0,

得([5,1,0).

所以|cos5,nhI—?2~/^——cos60°_1

qzr+i?2=5

解得h=,故存在點(diǎn)后滿足條件.

當(dāng)力￡=平時(shí)，二面角3比二力等于60°.

,真題感悟，

1.【2017課標(biāo)1,理18］如圖，在四棱錐產(chǎn)力及力中，AB//CD,且N84P=NCOP=90.

（1）證明：平面必反L平面EL9；

（2）若用=。仍〃C,ZAPD=90,求二面角上陟。的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

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【解析】(1)由已知N6A尸=NC0P=9O°,得皿”,CDLPD.

由于四〃微散ABLPD,從而｛員L平面處〃

又ABU平面PAB,所以平面必81.平面PAD.

(2)在平面PA。內(nèi)做PE_LA。，垂足為F,

由(1)可知，A3,平面PAD,故ABJ.PF,可得平面ABC。.

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，,司為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

F-xyz.

由(D及已知可得K

所以PC=^=(0,1,0).

設(shè)是平面PCB的法向量，則

nCB=Q

可取”=僅「一④).

設(shè)團(tuán)=(x,y,z)是平面PA8的法向量，則

V2

2

可取〃=(1,0,1卜

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則c°sg力端=一5

所以二面角A-PB-C的余弦值為—-

3

2.【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其內(nèi)部）以A3邊所在

直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。產(chǎn)的中點(diǎn).

（I）設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且求NCBP的大小;

（H）當(dāng)AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

【答案】(I)ZCBP=30°.(II)60°.

【解析】

(I)因?yàn)锳PLBE,AB1BE,

AB,APu平面ABP,ABr>AP=A,

所以平面A8P,

又BPu平面ABP,

所以BE，BP,又NE8C=120。，

因此/CBP=30°

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（II）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,A4所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.由題意得A（0,0,3）石（2,0,0）,G（l,6,3）,C（-l,V3,0）,故A￡=（2,0,—3）,

AG=（l,6,0），CG=（2,0,3）,設(shè)加=（%，x，zj是平面AEG的一個(gè)法向量.

m-AE=02%-3Z1=0,

由｛可得｛

mAG=0%+上義=0,

取4=2,可得平面AEG的一個(gè)法向量加=9,一百,2卜

設(shè)〃=（9,必*2）是平面ACG的一個(gè)法向量.

由｛〃"G=°可得產(chǎn)+32=。，

“?CG=02X2+3Z2=0,

取Z2=—2,可得平面ACG的一個(gè)法向量”=（3,—百,—2卜

所以3。加彘4

因此所求的角為60。.

3.12017北京，理16】如圖，在四棱錐片46（笫中，底面46（力為正方形，平面序。，平面48切，點(diǎn)"

在線段加上，必平面物C,PA=PD=m,AB=4.

（I）求證：M為陽(yáng)的中點(diǎn)；

（II）求二面角介物力的大??；

（III）求直線眈■與平面叱所成角的正弦值.

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【答案】(I)詳見解析：(II)三；(III)會(huì)坦

39

【解析】

(I)設(shè)AC,8。交點(diǎn)為E,連接ME.

因?yàn)镻O平面MAC,平面MACc平面=所以POME.

因?yàn)锳BC。是正方形，所以E為8。的中點(diǎn)，所以“為尸8的中點(diǎn).

(II)取&的中點(diǎn)。，連接OP,0E.

因?yàn)槭琩=PD,所以。PJ.4O.

又因?yàn)槠矫鍼AD1?平面ABCD，且。Pu平面PAD,所以0P，平面ABCD.

因?yàn)镺Eu平面/BCD,所以。尸_LOE.

因?yàn)榧覥D是正方形，所以O(shè)N_LK。.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系0-沖2,則尸(0,0,亞)，D(ZO,O),￡(-2,4,0),

麗=(4T0),PD=(2,0-^)-

/、〃?BD=O4x-4y=0

設(shè)平面BOP的法向量為〃=(%,y,z),貝心，即｛/

-7n-PD=02x-&=0

令X=l,則y=l,Z=V^.于是〃=0」,五｝

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〃?p1

平面PAD的法向量為p=(0,1,0),所以cos(〃,p)=

Hid2,

TT

由題知二面角3-PO-A為銳角，所以它的大小為一.

3

2A/6

~9~

?[7

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為幺

9

4.【2017天津，理17】如圖，在三棱錐F/f陽(yáng)中，為，底面18GN8AC=9O°.點(diǎn)〃，E,川分別為棱

PA,PC,比1的中點(diǎn)，〃是線段力〃的中點(diǎn)，PA=A<=4,AB=2.

(I)求證：的V〃平面BDE；

(II)求二面角小￡八"的正弦值；

(III)已知點(diǎn)〃在棱川上，且直線仍與直線跖所成角的余弦值為近，求線段的長(zhǎng).

21

【答案】(1)證明見解析(2)乂型(3)-或工

2152

【解析】如圖，以4為原點(diǎn)，分別以AB,AC,AP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角

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坐標(biāo)系.依題意可得4(0，0,0),6(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),

M(0,0,1),/V(1,2,0).

(I)證明：DE-(0,2,0),DB~(2,0,-2),設(shè)“=(x,y,z),為平面應(yīng)后的法向量,

n-DE^O2y=0,、

則｛，即｛?.不妨設(shè)z=l,可得〃=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得

n-DB^O2x-2z=0')

MN-n=O.

因?yàn)槠矫媲兴宰鯳/平面覦：

(H)解：易知a=(1,0,0)為平面四V的一個(gè)法向量.設(shè)%=(x,y,z)為平面9V的法向量，則

%-EM=0-2y-z=0

因?yàn)?所以｛..不妨設(shè)丁=1,可得

n,MN=0/x+2y-z=0

%=(-4,1,—2).

4?%4..、VW5

因此有cosg心=麗=一而’于7ssm8'%)=丁

所以，二面角M的正弦值為乂變.

21

(1H)解：依題意，設(shè)月於從0W//K4),則〃(0,0"),進(jìn)而可得NH=(T,—2,/?),=(-2,2,2).

I/\\NHBE\2h-2\幣,8

1

由已知，得cos(NH,BE)=——n—='—=2LL,整理得10后一21〃+8=0,解得〃=?,

1'71NH\\BE際限2也215

T,1

或力=一.

2

O1

所以，線段/〃的長(zhǎng)為2或一.

52

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5.【2017江蘇，22］如圖，在平行六面體中，44J_平面［及/,且4?=4>=2,44=百,

NBAD=120°.

（1）求異面直線46與所成角的余弦值;

（2）求二面角6T/T的正弦值.

74

［解析】在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作力￡1AD,交6c于點(diǎn)￡

因?yàn)?4-L平面ABCD,

所以力4_L45；AAx1AD.

如圖，以｛AE,AD,A4i｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系止xyz.

因?yàn)锳B=AD=2,44=百，NBAD=120°.

則A（0,0,0）,B（V3,-l,0）,￡）（0,2,0）,E（若,0,0）,A（0,0,出）,￡（后,1,吟.

（1）”=（6,-I,_G）,AG=M，L?，

則cosABAC-ABAG_（點(diǎn)TlG）.（?L6）__1

A'「河西7-7-

因此異面直線48與AG所成角的余弦值為

7

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（2）平面/期的一個(gè)法向量為存=（超,0,0）.

設(shè)m=（九y,z）為平面BAiD的一個(gè)法向蚩，

又不=（出「1「叫而=（一招,3,0）,

則產(chǎn)變二°，即（岳一Lb"。

mBD=0,~^x+3y=0.

不妨取A3,貝i]y=W，z=2,

所以陽(yáng)=（3,用,2）為平面BAiD的一個(gè)法向量，

5,AEm（赤，。0（3,萬(wàn)2）3

從而cosAE,m=?一=----戶--------=-,

\AE\h\m\岳44

3

設(shè)二面角比4。月的大小為。，則|cos6|=q

因?yàn)?e[0,4],所以sinO=,1-cos?。不

~T

因此二面角B-AxD-A的正弦值為~T

1.[2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以4,6,C0￡尸為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF

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為正方形,AP-2FD,Z.AFD=90,且二面角。相^與二面角0版尸都是60.

(I)證明：平面/龐￡L平面￡77心；

(II)求二面角股冊(cè)月的余弦值.

【答案】(I)見解析(II)---------

19

【解析】

(I)由已知可得NF1OF,AF1FE,所以平面ERDC.

又/Fu平面故平面Z8EF_L平面E/DC.

(II)過(guò)。作。GLEP,垂足為G，由(I)知OGL平面48EF.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正方向，,尸|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-乎.

由(I)知NOFE為二面角?！狝b—E的平面角，故ZDFE=60,則q=2,|Z)G|=3,可得

4(1,4,0),5(-3,4,0),E(-3,0,0),。(0,0,石).

由已知，AB//EF,所以AB〃平面EFOC.

又平面A3C。平面EEDC=OC,AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得BE_L平面EFDC,所以NCEF為二面角C—BE—/的平面角，

NCEF=60.從而可得C(—2,0,6).

所以EC=(l,0,G),E5=(0,4,0),ZC=(—3,-4,6)，^5=(-4,0,0).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BCE的法向量，則

n-EC-0\x+yj3z-0

<，即彳，

n-EB=0[4y=0

所以可取〃=(3,0,—6).

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mAC=O

設(shè)5是平面的法向量,則《

m?AB=0

n-m2V19

同理可取機(jī)=(0,6,4).則COS(M,JW)二

Hl/nl19

故二面角E-BC-A的余弦值為一2?.

19

2.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,

點(diǎn)分別在A。,CO上，AE=CF=~,EF交8。于點(diǎn)”.將AOEF沿EF折到位置,

4

OD'=>/}0.

（I）證明：。'”，平面48。。；

（II）求二面角5-O'A—C的正弦值.

O，

【答案】（I）詳見解析；（II）拽

25

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【解析】

（I）由已知得KC_LAD,AD=CD,又由空=CF得絲=上，故XC#即.

ADCD

因此EF±HD,從而EF由.四=5,4C=6得。。=50=y/AB2-AO2=4.

由即，，/C得絲=4?=L所以O(shè)ff=l,D'H=DH=3.

DOAD4

于是。以2+。笈2=32+[2=]0=。,02,

故D，H工OH一

又DH_L即，而OHCEF=H,

所以DH_L平面4SCD.

（H）如圖，以"為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)闊o(wú)軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系”一砂z,則”（蝴）,

A（-3,-l,0）,B（0,-5,0）,C（3,-l,0）.￡>'（0,0,3）,AB=（3,-4,0）,AC=（6,0,0）,AD'=（3,1,3）.

/、，m-AB-013x.-4%=0

設(shè)機(jī)=（埠y,zj是平面的法向量，則4，即'、八，所以可取〃2=（4,3,-5）.

m-AD'=0|3X|+y+3Z1=0

n-AC=06x,=0,

設(shè)”=（W，M,Z2）是平面ACD'的法向量，則，，即《c-c八，所以可取〃=（0,-3,1）.

n-AD'^03X2+y+3z=0'"

n-147J52J95

于是cos<m,n>=-.m~n—r=—7=——j==---,sin<m,n>=------.因此二面角B-D'A-C的正弦值

|w||n|V50xV102525

2A/95

25

3.12016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）如圖，正方形4版的中心為“四邊形如跖為矩形,

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平面值見1平面力及口，點(diǎn)G為46的中點(diǎn)，AB=BE=2.

(I)求證：屬〃平面4%、；

(II)求二面角)所，的正弦值；

2

(III)設(shè)〃為線段4廠上的點(diǎn)，宜A*—HF,求直線掰和平面處所成角的正弦值.

3

【答案】(I)詳見解析(II)—(III)—

321

【解析】依題意，。/_L平面-ABC。，如圖，以。為點(diǎn)，分別以AO,8A的方向?yàn)閤軸，y軸、z

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得。(0,0,0),

A(-1,1,O),B(-1,-1,O),C(1,-1,O),￡>(1,1,0),E(-l,-l,2),F(0,0,2),G(-l,0,0).

(I)證明：依題意，AZ)=(2,(),()),AF=(1,—1,2).設(shè)〃?=(x,y,z)為平面AOF的法向量，則

「，即{.不妨設(shè)Z=l,可得〃1=(o,2,l),又EG=(Q1I),可得EG?勺=0,

[x—y+2z=0

n}-AF=Q

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又因?yàn)橹本€EG<Z平面A。/7,所以EG//平面ADb.

(H)解：易證，Q4=(—1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量.依題意，EF=(l,l,0),CF=(-l,l,2).

/、

設(shè)”=(“z)為平面叼的法向量’則In2-E-F=0即|{-y二=0+/。.不妨設(shè)E,可得

n2=(11,).

H山士CA0A?%V6

因止匕看cos<0A,幾,〉二?；—；~~?~?-----于是sinvQA,%>=、，所以，二面角O—EF—C的正

網(wǎng)時(shí)3

弦值為由.

3

222,224、

(III)解：由A”=—“尸，得47=14F.因?yàn)棰?，所以A”=-Ab=一,一一,

35V75{555)

進(jìn)而有小一2;$,從而6”=仁,§,3],因此cos<6",〃，>=?B”;也所以,直線即/

1555；1555；2網(wǎng)網(wǎng)21

和平面CEF所成角的正弦值為—.

21

4.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題14分)

如圖，在四棱錐尸一ABC。中，平面PAO1.平面A8CO,PA1PD,PA=PD,AB1AD,

48=1,AD=2,AC=CD=s/5.

(1)求證：PO_L平面P43；

(2)求直線PB與平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得8M//平面PC。？若存在，求2竺的值；若不存在，說(shuō)明理

AP

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【答案】（1）見解析；（2）■；（3）存在，----=一

3AP4

【解析】⑴因?yàn)槠矫鍴ID1?平面WCD,ABLAD,

所以平面H4D,所以H?_LPD,

又因?yàn)槭琗JLPD,所以尸DJL平面尸.四；

（2）取/D的中點(diǎn)。，連結(jié)尸O,CO,

因?yàn)槭琗=?D,所以尸。_1./￡）.

又因?yàn)镻Ou平面PAD,平面尸40_L平面ABCD,

所以尸。平面ABCD.

因?yàn)镃Ou平面ABCD,所以PO1CO.

因?yàn)?C=CD,所以COA.AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,由題意得，

4(0,1,0),5(1,1,0),C(2,0,0),￡>(0-1,0),mo,1).

設(shè)平面PCD的法向量為7=(x,y,z),則

二而=0,卜y-z=O,

n-PC=O,[2x-z=0,

令Z=2,則x=l,y=-2.

所以九=（1,一2,2）.

—*-*--YI,PB

又PB=(1,L—1),所以cos<”,P8〉==^

nPB

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為—.

3

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（3）設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在/le[0,1]使得AM=/LAP.

因此點(diǎn)M（0,l—4/l）,麗=（―1,—4㈤.

因?yàn)槠矫鍼CO,所以8M〃平面PC。當(dāng)且僅當(dāng)麗G=0,

即（―1,—尢丸＞（1,—2,2）=0,解得2.

所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM//平面PCD,此時(shí)——=

5.12016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)ABC-OEF中，平面8CTE_L平面

ABC,ZACB=90,BE=Ef^FC=\,BC=2,AC=3.

（i）求證：阮1平面

（ID求二面角6-4。廠的平面角的余弦值.

【答案】（I）證明見解析；（口）

【解析】（I）延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.

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因?yàn)槠矫?CFEJ■平面ABC,且ACL3C,所以AC_L平面BCK,因此

又因?yàn)镋f7/BC,BE=EF=FC=T,BC=2,

所以△BCK為等邊三角形，且尸為CK的中點(diǎn)，則BF_LCK.

所以BP_L平面ACF。.

(II)方法一：過(guò)點(diǎn)尸作/Q_LAK于Q,連結(jié)8Q.

因?yàn)锽FJ.平面ACK,所以8F_LAK,則AKd.平面5QF,所以8QLAK.

所以NBQF是二面角B-AD-F的平面角.

在Rtz^ACK中，AC=3,CK=2,得/。=岑，.

在Rt^BQ/中，BF=6得cosNBQE=哼.

所以二面角3—AO—尸的平面角的余弦值為正.

4

方法二：如圖，延長(zhǎng)A。，BE,CT相交于一點(diǎn)K,則△BCK為等邊三角形.

取BC的中點(diǎn)。，則KOLBC,又平面BC尸E_L平面ABC,所以，KOJ.平面ABC.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線。8,0K的方向?yàn)閤,z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1/o1

由題意得8(1,(),0),C(-l,0,0),K(0,0,J§),A(—1,-3,0),￡(-,0,y-),F(——,0,

因此，AC=(0,3,0),AK=(1,3,6),AB=(2,3,0).

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設(shè)平面ACK的法向量為6=（玉,y,zj,平面ABK的法向量為〃=（w，y2，Z2）?

ACm=Q

由?,得〈

AKm=O.二;+八尸?！№?°T；

AB-〃=024+3%=0/i—\

由，,得彳-L，取〃=3,-2,6).

=。'

AK〃=Ox2+3%+V3Z2

mn_>/3

于是，cos(/n,〃)=