2020-2021學年湖北省荊州市沙市中學高一(上)期中數(shù)學試卷-(解析版)

2020-2021學年湖北省荊州市沙市中學高一上學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（共8小題）.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，則（?UA）?（?UB）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]2．（5分）下列從集合A到集合B的對應中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2x B．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x| C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝ D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+13．（5分）若，則f（0）＝（）A．1 B．0 C． D．4．（5分）已知函數(shù)f（2x）的定義域為，則函數(shù)f（1﹣3x）的定義域是（）A． B． C．（0，3） D．5．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，則a+b的取值集合為（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣2，0] C．[﹣4，0] D．[﹣2，1]6．（5分）函數(shù)在（2，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知y＝f（x+1）為偶函數(shù)，且y＝f（x）在[1，+∞）上單調遞增，則不等式的解集為（）A．（） B．[） C．（） D．[）8．（5分）若關于x的方程x|x﹣a|＝a有三個不相同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，4） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣4，0）∪（0，4）二、多選題（共4小題）9．（5分）若＜＜0，則下列不等式中，正確的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．+＞210．（5分）下列說法正確的有（）A．函數(shù)在其定義域內是減函數(shù) B．命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x∈R，x2+x+1≤0” C．兩個三角形全等是兩個三角形相似的必要條件 D．若y＝f（x）為奇函數(shù)，則y＝xf（x）為偶函數(shù)11．（5分）已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經過點（16，4），則下列命題正確的有（）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)是增函數(shù) C．當x＞1時，f（x）＞1 D．當0＜x1＜x2時，12．（5分）若函數(shù)的值域為[0，+∞），則a的可能取值為（）A．0 B．2 C．4 D．6二、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式為．14．（5分）已知，則＝．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），則a的取值范圍是．16．（5分）已知正數(shù)x，y滿足2x+y＝xy+a，當a＝0時，x+y的最小值為；當a＝﹣2時，x+y的最小值為．三、解答題（70分）17．（10分）記函數(shù)f（x）＝的定義域為A，g（x）＝（a＜1）的定義域為B．（1）求A；（2）若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定義證明：f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）解關于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．19．（12分）在某次水下考古活動中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業(yè)．其用氧量包含3個方面：①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為v2；②在水底作業(yè)需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；③返回水面時，平均速度為（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．（1）將y表示為v的函數(shù)；（2）試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．20．（12分）已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）當﹣2≤x≤1時，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)（1）畫出函數(shù)f（x）圖象，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）及[1，+∞）上的單調性；（2）當0＜a＜b，且f（a）＝f（b）時，求的值；（3）若對所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．22．（12分）對于定義域為D的函數(shù)f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內有單調性；②存在區(qū)間[a，b]?D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y＝x3符合條件的“和諧”區(qū)間；（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由．（Ⅲ）若函數(shù)是“和諧”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

參考答案一、單選題（每小題5分，40分）1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，則（?UA）?（?UB）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]【分析】根據(jù)全集U求出A的補集，找出A補集與B補集的并集即可．解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，∴?UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}∴（?UA）?（?UB）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．故選：B．2．（5分）下列從集合A到集合B的對應中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2x B．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x| C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝ D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+1【分析】根據(jù)映射的定義，逐一判斷四個答案中的對應，是否滿足映射的定義，可得答案．解：A中對應，當x＝3時B中無對應元素，故不是映射；B中對應，A中任一元素的絕對值在B中均無對應元素，故不是映射；C中對應，當x＝0時，B中無對應元素，故不是映射；D中對應，任意x∈A＝R，都有唯一y＝2x+1∈B＝R與之對應，故是映射；故選：D．3．（5分）若，則f（0）＝（）A．1 B．0 C． D．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式：在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，計算可得答案．解：根據(jù)題意，若1﹣2x＝0，則x＝，在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，可得f（0）＝＝，故選：C．4．（5分）已知函數(shù)f（2x）的定義域為，則函數(shù)f（1﹣3x）的定義域是（）A． B． C．（0，3） D．【分析】由0＜x＜，得出0＜2x＜3，從而0≤1﹣3x＜3，解出即可．解：∵0＜x＜，∴0＜2x＜3，∴0＜1﹣3x＜3，解得：﹣＜x＜，故選：A．5．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，則a+b的取值集合為（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣2，0] C．[﹣4，0] D．[﹣2，1]【分析】因為函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得最大值1，并且方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是﹣3或1，又b＝1，則﹣3≤a≤﹣1，從而求得a+b的取值集合．解：f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴x＝﹣1時，f（x）取到最大值1，方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是x＝﹣3或1．若b＝1，則﹣3≤a≤﹣1，∴a+b的取值集合圍是：[﹣2，0]．故選：B．6．（5分）函數(shù)在（2，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根據(jù)分離常數(shù)法，得到f（x）＝a+，結合函數(shù)的單調性求出a的取值范圍即可．解：f（x）＝a+，函數(shù)y＝在（2，+∞）遞減，而f（x）在（2，+∞）遞增，故1﹣a2＜0，解得：a＞1或a＜﹣1，但2+a≥0，（x＞2），故a≥﹣2，故a的取值范圍是[﹣2，﹣1）∪（1，+∞），故選：D．7．（5分）已知y＝f（x+1）為偶函數(shù)，且y＝f（x）在[1，+∞）上單調遞增，則不等式的解集為（）A．（） B．[） C．（） D．[）【分析】根據(jù)y＝f（x+1）是偶函數(shù)，得到y(tǒng)＝f（x+1）的對稱軸為y軸，進而確定出f（x）的對稱軸，利用函數(shù)增減性求出所求不等式的解集即可．解：∵函數(shù)y＝f（x+1）是偶函數(shù)，∴y＝f（x+1）關于y軸對稱，∵y＝f（x+1）向右平移1個單位得到y(tǒng)＝f（x），∴y＝f（x）關于直線x＝1對稱，∵f（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故選：A．8．（5分）若關于x的方程x|x﹣a|＝a有三個不相同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，4） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣4，0）∪（0，4）【分析】因為本題是選擇題，答案又都是范圍，所以可采用特殊值代入法．取a＝2時排除答案A，D．a＝﹣2時排除答案B可得結論．【解答】解；因為本題是選擇題，答案又都是范圍，所以可采用特殊值代入法．取a＝2時，關于x的方程x|x﹣a|＝a轉化為x|x﹣2|＝2，即為當x≥2時，就轉化為x（x﹣2）＝2，?x＝1+或x＝1﹣（舍），有一根1+．當x＜2時，就轉化為x（x﹣2）＝﹣2，?x不存在，無根．所以a＝2時有1個根不成立．排除答案A，D．同理可代入a＝﹣2解得方程的根有1個，不成立．排除答案B、故選：C．二、多選題（每小題5分，20分）9．（5分）若＜＜0，則下列不等式中，正確的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．+＞2【分析】由＜＜0，判斷出a，b的符號和大小，再利用不等式的性質及重要不等式判斷命題的正誤．解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故A正確．∴﹣b＞﹣a＞0，則|b|＞|a|，故B錯誤．C顯然錯誤．由于，，∴+＞2＝2，故D正確．故選：AD．10．（5分）下列說法正確的有（）A．函數(shù)在其定義域內是減函數(shù) B．命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x∈R，x2+x+1≤0” C．兩個三角形全等是兩個三角形相似的必要條件 D．若y＝f（x）為奇函數(shù)，則y＝xf（x）為偶函數(shù)【分析】直接利用函數(shù)的定義域和單調性和函數(shù)的奇偶性的應用判定AD的結論，利用命題的否定判斷B的結論，利用充分條件和必要條件判斷C的結論．解：對于A：函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以函數(shù)在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都為單調遞減函數(shù)，故A錯誤；對于B：命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x∈R，x2+x+1≤0”故B正確；對于C：兩個三角形全等，則兩個三角形必相似，但是兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等，則兩個三角形全等是兩個三角形相似的充分不必要條件，故C錯誤；對于D：若y＝f（x）為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝x也為奇函數(shù)，則函數(shù)則y＝xf（x）為偶函數(shù)，故D正確．故選：BD．11．（5分）已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經過點（16，4），則下列命題正確的有（）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)是增函數(shù) C．當x＞1時，f（x）＞1 D．當0＜x1＜x2時，【分析】求出冪函數(shù)f（x）的解析式，再判斷選項中的命題是否正確．解：冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經過點（16，4），所以16α＝4，解得α＝，所以f（x）＝＝；所以f（x）是非奇非偶的函數(shù)，是定義域[0，+∞）上的增函數(shù)；當x＞1時，f（x）＞f（1）＝1；畫出f（x）在[0，+∞）上的圖象，如圖所示：由圖象知，當0＜x1＜x2時，；所以正確的選項是BCD．故選：BCD．12．（5分）若函數(shù)的值域為[0，+∞），則a的可能取值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】分a＝0和a≠0兩類，結合一次函數(shù)、二次函數(shù)和根式的性質，求解即可．解：當a＝0時，y＝≥0成立，符合題意；當a≠0時，設f（x）＝ax2+4x+1，要使原函數(shù)的值域為[0，+∞），則a＞0且△＝16﹣4a≥0，解得0＜a≤4，綜上，a的取值范圍為[0，4]，故選：ABC．二、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式為f（x）＝﹣x2+x﹣1．【分析】根據(jù)題意，若x＜0，則﹣x＞0，求出f（﹣x）的表達式，結合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．解：根據(jù)題意，若x＜0，則﹣x＞0，則f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1＝x2﹣x+1，又由f（x）為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x﹣1，故f（x）＝﹣x2+x﹣1，故答案為：f（x）＝﹣x2+x﹣1．14．（5分）已知，則＝100．【分析】根據(jù)題意，求出f（2﹣x）的表達式，分析可得f（x）+f（2﹣x）＝2，據(jù)此計算可得答案．解：根據(jù)題意，，則f（2﹣x）＝＝，則f（x）+f（2﹣x）＝+＝2，故＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×50＝100，故答案為：100．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），則a的取值范圍是[1，+∞）．【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，結合函數(shù)的單調性得到關于a的不等式，解出即可．解：由題意f（x）＝，畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：，顯然函數(shù)f（x）在R遞增，若f（2a+1）≥f（4﹣a），則2a+1≥4﹣a，解得：a≥1，故答案為：[1，+∞）．16．（5分）已知正數(shù)x，y滿足2x+y＝xy+a，當a＝0時，x+y的最小值為3+2；當a＝﹣2時，x+y的最小值為7．【分析】當a＝0時，則+＝1，則x+y＝（x+y）?（+）＝3++，利用基本不等式即可求出；當a＝﹣2時，y＝，則可得x+y＝x﹣1++3，利用基本不等式即可求出．解：當a＝0時，2x+y＝xy，則+＝1，∴x+y＝（x+y）?（+）＝3++≥3+2＝3+2，當且僅當x＝1+，y＝2+，故x+y的最小值為3+2，當a＝﹣2時，2x+y＝xy﹣2，當x＝1時，等式不成立，當x≠1則y＝＞0，則x＞1，x+y＝x+＝x+2+＝x﹣1++3≥2+3＝4+3＝7，當且僅當x＝3時取等號，∴x+y的最小值為7，故答案為：3+2，7．三、解答題（70分）17．（10分）記函數(shù)f（x）＝的定義域為A，g（x）＝（a＜1）的定義域為B．（1）求A；（2）若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）要使f（x）有意義，則需由2﹣≥0按分式不等式的解法求求A；（2）要使g（x）有意義，則由真數(shù)大于零求解，然后按照B?A，求解．解：（1）由2﹣≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0由a＜1得a+1＞2a，∴B＝[2a，a+1]∵B?A，∴2a≥1或a+1＜﹣1即a≥或a＜﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a＜﹣2故當B?A時，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪[，1）．18．（12分）已知函數(shù)是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定義證明：f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）解關于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．【分析】（1）首先利用函數(shù)在（﹣1，1）上有定義且為奇函數(shù)，所以f（0）＝0，首先確定b的值，進一步利f（）＝求出a的值，最后確定函數(shù)的解析式．（2）直接利用定義法證明函數(shù)的增減性．（3）根據(jù)以上兩個結論進一步求出參數(shù)的取值范圍．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)．所以：f（0）＝0，得到：b＝0，由于且f（）＝所以：＝，解得：a＝1所以：f（x）＝；（2）證明：設﹣1＜x1＜x2＜1，則：f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝，由于：﹣1＜x1＜x2＜1，所以：0＜x1x2＜1，即：1﹣x1x2＞0，所以＞0，則：f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在（﹣1，1）上的增函數(shù)；（3）由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以：f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（t﹣1）+f（t）＞0，轉化成f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t）．則：﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1且t﹣1＞﹣t，解得：＜t＜1，所以不等式的解集為：{t|＜t＜1}．19．（12分）在某次水下考古活動中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業(yè)．其用氧量包含3個方面：①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為v2；②在水底作業(yè)需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；③返回水面時，平均速度為（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．（1）將y表示為v的函數(shù)；（2）試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．【分析】（1）利用已知條件直接求解y表示為v的函數(shù)．（2）利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．解：（1）①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為v2；②在水底作業(yè)需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；③返回水面時，平均速度為（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．…（8分）（2）…（12分）當且僅當即時取等號…（15分）答：當下潛速度為時，總用氧量最少．…（16分）20．（12分）已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）當﹣2≤x≤1時，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）令x＝﹣1，y＝1，由條件，結合f（1）＝0，即可得到f（0）；令y＝0，結合f（0），即可求出f（x）的解析式；（2）將不等式轉化為x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，利用二次函數(shù)的性質求得g（x）的最小值，從而可求得a的取值范圍．解：（1）令x＝﹣1，y＝1，則由已知f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），∴f（0）＝﹣2，令y＝0，則f（x）﹣f（0）＝x（x+1），又∵f（0）＝﹣2，∴f（x）＝x2+x﹣2．（2）根據(jù)題意f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5，則有x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，x∈[﹣2，1]，對稱軸為x＝﹣，當﹣≤﹣2，即a≥4時，g（x）的最小值g（﹣2）＝7﹣3a≥0，解得a≤，與a≥4矛盾；當﹣≥1，即a≤﹣2時，g（x）的最小值g（1）＝4≥0恒成立，故a≤﹣2符合題意；當﹣2＜﹣＜1，即﹣2＜a＜4時，g（x）的最小值g（﹣）＝﹣+3﹣a≥0，解得﹣6≤a≤2，所以﹣2＜a≤2．綜上，a的取值范圍是a≤2．21．（12分）已知函數(shù)（1）畫出函數(shù)f（x）圖象，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）及[1，+∞）上的單調性；（2）當0＜a＜b，且f（a）＝f（b）時，求的值；（3）若對所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）運用分段函數(shù)的圖象畫法可得f（x）的圖象，結合圖象可得所求單調性；（2）由題意可得0＜a＜1，b＞1，可得f（a），f（b），整理可得所求和；（3）由題意可得m2﹣2am+≥f（x）max，由f（x）在[1，2]的單調性可得最大值，再設g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，只需g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解不等式可得所求范圍．解：（1）由分段函數(shù)的圖象畫法可得f（x）的圖象，由圖象可得f（x）在（0，1）為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)；（2）當0＜a＜b，且