蘇科版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章素養(yǎng)綜合檢測(cè)課件

第3章素養(yǎng)綜合檢測(cè)(滿分100分限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每題3分,共8小題,共24分)1.△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,由下列條件不

能判定△ABC為直角三角形的是

()A.∠A=∠B-∠C

B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2=c2-b2

D.a∶b∶c=4∶5∶6

D解析

A.∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,故

△ABC是直角三角形,不符合題意;B.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC是直角三角形,不符合題意;C.由a2=c2-b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,故△ABC是

直角三角形,不符合題意;D.∵a∶b∶c=4∶5∶6,∴設(shè)a=4k,b=5k,c=6k,∵(4k)2+(5k)2≠(6

k)2,∴不符合勾股定理的逆定理,故△ABC不是直角三角形,

符合題意.故選D.2.(2024江蘇泰州期中)下列是勾股數(shù)的是

()A.2、3、4

B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10

D.7、12、15C解析

A.22+32=13≠42,故不是勾股數(shù);B.0.3、0.4、0.5不是整數(shù),故不是勾股數(shù);C.62+82=100=102,且6,8,10為整數(shù),故是勾股數(shù);D.72+122=193≠152,故不是勾股數(shù).故選C.3.(易錯(cuò)題)已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為12和13,則

第三邊長(zhǎng)的平方是

()A.25

B.5C.313

D.25或313D解析①當(dāng)12和13為直角邊長(zhǎng)時(shí),斜邊長(zhǎng)的平方=122+132=313;②當(dāng)13為斜邊長(zhǎng)時(shí),第三邊長(zhǎng)的平方=132-122=25.∴第三邊

長(zhǎng)的平方是25或313.故選D.4.(2023天津中考)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,

大于

AC的長(zhǎng)為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等),兩弧相交于M,N兩點(diǎn),直線MN分別與邊BC,AC相交于點(diǎn)D,E,連接

AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,則AB的長(zhǎng)為

()

A.9

B.8

C.7

D.6D解析根據(jù)題意,得MN是AC的垂直平分線,∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C.∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD.∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAC=

90°.在Rt△ABC中,∵BD=CD,AD=5,∴BC=2AD=10,∴AB2=BC2-AC2=102-82=36,∴AB=6.故選D.5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,點(diǎn)D是斜

邊AB上的動(dòng)點(diǎn),則CD的最小值為

()

A.

B.

C.

D.

A解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,∴AC2=AB2-BC2=132-52=144,∴AC=12.當(dāng)CD⊥AB時(shí),CD的值最小,為

=

=

.故選A.6.(螞蟻爬行模型)(教材變式·P91T5)下圖是一種飲料的包裝盒,長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、12cm,現(xiàn)有一長(zhǎng)為17cm的吸管插入到盒的底部,則吸管露在盒外部分的長(zhǎng)l(cm)的取值范圍為

()

A.4<l<5

B.4≤l≤5C.3≤l≤5

D.l=5B解析①當(dāng)吸管垂直于底面時(shí),吸管露在盒外部分最長(zhǎng),為17

-12=5(cm);②當(dāng)插入盒內(nèi)的吸管與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角

形時(shí),吸管露在盒外部分最短,設(shè)底面對(duì)角線的長(zhǎng)為a,則a2=32+42=25,∴a=5cm.設(shè)盒里面吸

管的長(zhǎng)為xcm,由勾股定理可得x2=52+122=169,∴x=13,則露在盒外的吸管最短為17-13=4(cm).故吸管露在盒外部分的長(zhǎng)l(cm)的取值范圍為4≤l≤5.故選B.7.(新獨(dú)家原創(chuàng))(勾股樹模型)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,以它的一條邊為斜邊,向外作一個(gè)直角三角形,再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊,向外各作一個(gè)正方形,稱為第一次“生長(zhǎng)”(如圖1);再分別以這兩個(gè)正方形的邊為斜邊,向外作一個(gè)直角三角形,然后分別以這兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊為邊,向外各作一個(gè)正方形,稱為第二次“生長(zhǎng)”(如圖2).如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去,它將變得“枝繁葉茂”,則“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是

()DA.1

B.2023

C.2024

D.2025解析如圖,

由題意得SA=1.由勾股定理,得SB+SC=1,∴“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2.同理可得,“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的

面積和為4.∴“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積

和是2025.故選D.8.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,

若P,Q分別是BD,AB上的動(dòng)點(diǎn),則PA+PQ的最小值是

()

A.2.4

B.4.8

C.4

D.5B解析如圖,

作點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)Q',∵BD平分∠ABC,∴點(diǎn)Q'在

BC上,連接PQ',則PA+PQ的最小值即為PA+PQ'的最小值,∴

當(dāng)A、P、Q'三點(diǎn)共線且AQ'⊥BC時(shí),PA+PQ的值最小,過點(diǎn)A

作AM⊥BC于點(diǎn)M,則PA+PQ的最小值即為AM的長(zhǎng).∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82,∴

AC=8,∵S△ABC=

AM·BC=

AB·AC,∴AM=

=

=4.8.故選B.9.(2021湖南岳陽中考)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,

書中有下列問題:“今有戶高多于廣六尺八寸,兩隅相去適一

丈.問戶高、廣各幾何?”其意思:今有一門,高比寬多6尺8寸,

門對(duì)角線的長(zhǎng)恰好為1丈.問門高、寬各是多少?如圖,設(shè)門高

AB為x尺,根據(jù)題意,可列方程為

.(1丈=10尺,1

尺=10寸)

x2+(x-6.8)2=102

二、填空題(每題3分,共10小題,共30分)解析門高AB為x尺,則門的寬為(x-6.8)尺,AC=1丈=10尺,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即x2+(x-6.8)2=102.10.(教材變式·P80T2)小明和小麗正在玩紙片,小明將一塊正

方形紙片ABCD放在地面上,小麗將另一塊正方形紙片CEFG

也放在地面上,使其一個(gè)頂點(diǎn)與紙片ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)重合,

且∠CGD=90°,如圖,現(xiàn)量得DG的長(zhǎng)為7cm,設(shè)正方形ABCD

的面積為S1,正方形CEFG的面積為S2,則S1-S2=

.49cm2

解析在Rt△CDG中,由勾股定理得CD2-CG2=DG2,∵DG=7cm,∴CD2-CG2=72=49.∵S1=CD2,S2=CG2,∴S1-S2=CD2-CG2=49cm2.11.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5,則最長(zhǎng)邊上的中線

長(zhǎng)為

.解析∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5,32+42=52,∴△ABC

是直角三角形,∴最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為

.故答案為

.12.(新考向·規(guī)律探究試題)觀察下列各組勾股數(shù):①3,4,5;②5,

12,13;③7,24,25;④9,40,41;……若a,144,145是其中的一組勾

股數(shù),則a=

.

17解析觀察各組勾股數(shù),根據(jù)題目中的提示可得,145=

,解得a=17.13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為

1),則∠PAB+∠PBA=

°(點(diǎn)A,B,P在小正方形的頂點(diǎn)

上).

45解析如圖,延長(zhǎng)AP交網(wǎng)格線于D,連接BD,則PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,PD=BD,∴∠PDB=90°,∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.故答案為45.14.(2023湖北隨州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點(diǎn),若BD是∠ABC的平分線,則AD=

.5解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

∵∠C=90°,∴CD⊥BC.∵BD是∠ABC的平分線,CD⊥BC,DE

⊥AB,∴CD=DE.在Rt△BCD和Rt△BED中,

∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=100,∴AB=10,∴AE=AB-BE=10-6=4.設(shè)CD=DE=x,則AD=AC-CD=8-x.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD

2,∴42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴AD=8-x=5.故答案為5.15.如圖,四邊形ABCD是直角梯形,∠C=∠D=90°,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于

AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)E,F,作直線EF,與CD交于點(diǎn)M,若BC=CD=3,AD=2,則線段CM=

.解析如圖,連接AM,BM,設(shè)CM=x.

由作圖可知EF垂直平分線段AB,∴MA=MB,∴MA2=MB2,∴22

+(3-x)2=32+x2,∴x=

,∴CM=

.16.(2023江蘇南京秦淮月考)小明將4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的五邊形,添加適當(dāng)?shù)妮o助線后,用等面積法建立等式證明勾股定理.小明在證明中用兩種方法表示五邊形的面積,分別是①S=

,②S=

,即可證明勾股定理的內(nèi)容是

.c2+aba2+b2+aba2+b2=c2(前兩空順序可對(duì)調(diào))解析如圖,延長(zhǎng)AB,交CD于點(diǎn)E,①五邊形的面積=邊長(zhǎng)為c

的正方形的面積+2個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)分別為a,b的直角三角

形的面積,即S=c2+

ab·2=c2+ab;②五邊形的面積=邊長(zhǎng)為a的正方形的面積+邊長(zhǎng)為b的正方形的面積+2個(gè)全等的直角邊

長(zhǎng)分別為a,b的直角三角形的面積,即S=a2+b2+

ab·2=a2+b2+ab.由①和②相等知c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.17.如圖,在△ABC中,AB=3,AC=5,AD是邊BC上的中線,AD=2,

則△ACB的面積是

.6解析如圖,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.

由題意知CD=BD.在△ADC與△EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=5,∠CAD=∠E.又∵AE=

2AD=4,AB=3,∴BE2=AE2+AB2,∴△ABE是直角三角形,∠EAB

=90°.∴S△ACB=2S△ABD=2×

×2×3=6.故答案為6.18.(2024江蘇無錫錫山期中)樂樂在學(xué)習(xí)中遇到了這樣的問題:如圖所示的三角形紙片ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=6,將△ABC沿某一條直線剪開,使其變成兩個(gè)三角形,且要求其中的一個(gè)三角形是等腰三角形,你有幾種方法呢?經(jīng)過思考,樂樂發(fā)現(xiàn)要想沿一條直線把三角形分割成兩個(gè)三角形,這條直線需要經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn),請(qǐng)你幫助樂樂寫出當(dāng)這條直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),剪出的等腰三角形的面積是

.8或解析①如圖1,PC=AC=4時(shí),△ACP是等腰直角三角形,則S△

ACP=

×4×4=8.

②如圖2,AP=BP時(shí),△ABP是等腰三角形,在△ACP中,∠C=90°,則AC2+CP2=AP2,即42+CP2=(6-CP)2,解得CP=

,則S△ABP=S△ABC-S△ACP=

×4×6-

×4×

=

.綜上所述,剪出的等腰三角形的面積是8或

.19.(2024江蘇南京秦淮期中)(6分)如圖,四邊形ABCD中,∠ACB=90°,AB=15,BC=9,AD=5,DC=13.求證:△ACD是直角三角形.

三、解答題(共6小題,共46分)證明∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,∴AC2=152-92=144,∴AC=12.∵52+122=132,∴AD2+AC2=CD2,∴△ACD是直角三角形.20.(教材變式·P87習(xí)題T2)(6分)如圖,星光蔬菜園要修建20個(gè)

蔬菜大棚,棚高h(yuǎn)=5m,棚寬a=12m,棚的長(zhǎng)d為25m,現(xiàn)要在棚

頂上覆蓋塑料薄膜,試求需要多少平方米的塑料薄膜.解析∵h(yuǎn)=5m,a=12m,∠C=90°,∴AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13m,∴要建20個(gè)蔬菜大棚需要13×25×20=6500平方米的塑料薄膜.21.(2024江蘇泰州期中)(7分)2023年10月15日,泰州半程馬拉

松在泰州體育公園鳴槍開跑,比賽賽道穿越泰州主城區(qū),串聯(lián)

了天德湖公園、人民廣場(chǎng)、老街、梅園、鳳城河、光孝寺

等城市地標(biāo)及人文景觀.小明家住在補(bǔ)給點(diǎn)C處,他發(fā)現(xiàn)補(bǔ)給

點(diǎn)A、B、C組成一個(gè)三角形,青年路的一段BD恰好與邊AC

垂直,垂足為D.如圖,若AD=2千米,BD=4千米,小明用速度為

每分鐘1千米的無人機(jī)M緊貼地面從C處出發(fā)沿著線段CA勻

速飛行,用了10分鐘到達(dá)終點(diǎn)A處.(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由.(2)若N是CM的中點(diǎn),連接BM、BN,設(shè)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)分

鐘.是否存在t值,使得BM=BN?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)

說明理由.解析(1)△ABC是直角三角形.理由:由題意得AC=10千米,∵AD=2千米,∴CD=8千米.∵BD⊥AC,∴AB2=AD2+BD2=20,BC2=BD2+CD2=80.又∵AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.(2)不存在.理由:由題意得CM=t千米,CN=

t千米,DN=

千米,DM=(t-8)千米.若BM=BN,則DM=DN,即t-8=8-

t,解得t=

>10,故不存在t值,使得BM=BN.22.(7分)如圖,將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等

的直角三角形,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,

AB=c,正方形IECF中,IE=EC=CF=FI=x.①小明發(fā)明了求正方形邊長(zhǎng)的方法:由題意可得BD=BE=a-x,AD=AF=b-x.因?yàn)锳B=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得x=

.②小亮發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長(zhǎng)的方法:利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系.(1)請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程.(2)請(qǐng)結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗(yàn)證勾股定理.

解析(1)因?yàn)镾△ABC=S△ABI+S△BIC+S△AIC,所以

ab=

cx+

ax+

bx,所以x=

.答:x與a、b、c的關(guān)系為x=

.(2)易知x=

=

,即2ab=(a+b+c)(a+b-c),化簡(jiǎn)得a2+b2=c2.23.(新考向·新定義試題)(2024江蘇鹽城鹽都期中)(10分)我們

規(guī)定:三角形任意一條邊的“線高差”等于這條邊與這條邊

上的高的差.如圖1,△ABC中,CD為BA邊上的高,邊BA的“線

高差”等于BA-CD,記為h(BA).(1)如圖2,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AD=6,BD=4,則

h(BC)=

.(2)若△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,則h(AC)=

.(3)如圖3,△ABC中,AB=21,AC=20,BC=13,求h(AB)的值.

解析(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD=8,∴h(BC)=BC-AD=8-6=2.故答案為2.(2)如圖,過B作BH⊥AC于H.

∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∴AC2=62+82=100,∴AC=10,∵

·AC·BH=

·AB·BC,∴BH=

,∴h(AC)=AC-BH=10-

=

.故答案為

.(3)過C作CD⊥AB于D(圖略).設(shè)BD=x,則AD=21-x.∵CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,∴202-(21-x)2=132-x2,解得x=5,∴