2025屆江蘇南京市東山外國語學校九年級數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆江蘇南京市東山外國語學校九年級數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若x=5是方程的一個根，則m的值是（）A．-5 B．5 C．10 D．-102．已知xy=1A．32 B．13 C．23．將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，下列關(guān)于平移后所得拋物線的說法，正確的是（）A．開口向下 B．經(jīng)過點 C．與軸只有一個交點 D．對稱軸是直線4．點是反比例函數(shù)的圖象上的一點，則（）A． B．12 C． D．15．如圖，將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上.若，則的長為（）A．0.5 B．1.5 C． D．16．如圖，O是矩形ABCD對角線AC的中點，M是AD的中點，若BC＝8，OB＝5，則OM的長為（）A．1 B．2 C．3 D．47．拋物線y＝x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到新的拋物線解析式是()A．y＝(x+1)2+3 B．y＝(x+1)2﹣3C．y＝(x﹣1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2+38．拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．9．下面四組圖形中，必是相似三角形的為（）A．兩個直角三角形B．兩條邊對應(yīng)成比例，一個對應(yīng)角相等的兩個三角形C．有一個角為40°的兩個等腰三角形D．有一個角為100°的兩個等腰三角形10．如圖，點P（x，y）（x＞0）是反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上的一個動點，以點P為圓心，OP為半徑的圓與x軸的正半軸交于點A，若△OPA的面積為S，則當x增大時，S的變化情況是（）A．S的值增大 B．S的值減小C．S的值先增大，后減小 D．S的值不變二、填空題(每小題3分,共24分)11．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3cm，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的底面半徑為__________cm．12．從﹣2，﹣1，1，2四個數(shù)中任取兩數(shù)，分別記為a、b，則關(guān)于x的不等式組有解的概率是_____．13．一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是______________.14．某電視臺招聘一名記者，甲應(yīng)聘參加了采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設(shè)計的三項素質(zhì)測試得分分別為70、60、90，三項成績依次按照5:2:3計算出最后成績，那么甲的成績?yōu)開_．15．若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是_________．16．直角三角形的直角邊和斜邊分別是和，則此三角形的外接圓半徑長為__________．17．三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程x2﹣13x+40=0的根，則該三角形的周長為．18．設(shè)α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的兩根，則（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿著CD在C點到D點間運動（當達D點后則停止運動），同時點Q從點D出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿著DA在D點到A點間運動（當達到A點后則停止運動）．設(shè)運動時間為t秒，則按下列要求解決有關(guān)的時間t．（1）△PQD的面積為5時，求出相應(yīng)的時間t；（2）△PQD與△ABC可否相似，如能相似求出相應(yīng)的時間t，如不能說明理由；（3）△PQD的面積可否為10，說明理由．20．（6分）如圖，已知A是⊙O上一點，半徑OC的延長線與過點A的直線交于點B，OC=BC，AC=OB．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的長．21．（6分）某校為了開闊學生的視野，積極組織學生參加課外讀書活動．“放飛夢想”讀書小組協(xié)助老師隨機抽取本校的部分學生，調(diào)查他們最喜愛的圖書類別（圖書分為文學類、藝體類、科普類、其他等四類），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題：（1）求被調(diào)查的學生人數(shù)；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）已知該校有1200名學生，估計全校最喜愛文學類圖書的學生有多少人？22．（8分）隨機抽取某小吃店一周的營業(yè)額(單位:元)如下表:星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計（1）分析數(shù)據(jù)，填空:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是元，中位數(shù)是元，眾數(shù)是元.（2）估計一個月(按天計算)的營業(yè)額,星期一到星期五營業(yè)額相差不大，用這天的平均數(shù)估算合適么?簡要說明理由.23．（8分）為落實國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設(shè)力度．2015年市政府共投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米，2017年計劃投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．(1)求每年市政府投資的增長率；(2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，問從2015到2017年這三年共建設(shè)了多少萬平方米廉租房？24．（8分）如圖，點A，C，D，B在以O(shè)點為圓心，OA長為半徑的圓弧上，AC=CD=DB，AB交OC于點E．求證：AE=CD．25．（10分）已知等邊△ABC的邊長為2，（1）如圖1，在邊BC上有一個動點P，在邊AC上有一個動點D，滿足∠APD＝60°，求證：△ABP～△PCD（2）如圖2，若點P在射線BC上運動，點D在直線AC上，滿足∠APD＝120°，當PC＝1時，求AD的長（3）在（2）的條件下，將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°到點D'，如圖3，求△D′AP的面積．26．（10分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】先把x=5代入方程得到關(guān)于m的方程，然后解此方程即可．【詳解】解：把x=5代入方程得到25-3×5+m=0，

解得m=-1．

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2、A【解析】由題干可得y＝2x，代入x+yy【詳解】∵xy∴y＝2x，∴x+yy故選A．【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積．即若ab=cd，則3、C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)以及二次函數(shù)的平移規(guī)律，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，∴平移后的二次函數(shù)解析式為：，∵2＞0，∴拋物線開口向上，故A錯誤，∵，∴拋物線不經(jīng)過點，故B錯誤，∵拋物線頂點坐標為：(2，0)，且開口向上，∴拋物線與軸只有一個交點，故C正確，∵拋物線的對稱軸為：直線x=2，∴D錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及平移規(guī)律，掌握“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】將點代入即可得出k的值．【詳解】解：將點代入得，，解得k=-12，故選：A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點，若一個點在某個函數(shù)圖象上，則這個點一定滿足該函數(shù)的解析式．5、D【解析】利用∠B的正弦值和正切值可求出BC、AB的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB，可證明△ADB為等邊三角形，即可求出BD的長，根據(jù)CD=BC-BD即可得答案.【詳解】∵AC=，∠B=60°，∴sinB=，即，tan60°=，即，∴BC=2，AB=1，∵繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，∴AB=AD，∵∠B=60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1.故選D.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記性質(zhì)并判斷出△ABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．6、C【分析】由O是矩形ABCD對角線AC的中點，可求得AC的長，然后運用勾股定理求得AB、CD的長，又由M是AD的中點，可得OM是△ACD的中位線，即可解答．【詳解】解：∵O是矩形ABCD對角線AC的中點，OB＝5，∴AC＝2OB＝10，∴CD＝AB＝＝＝6，∵M是AD的中點，∴OM＝CD＝1．故答案為C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．7、D【分析】按“左加右減，上加下減”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】拋物線y＝x2先向右平移1個單位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3個單位得y＝（x﹣1）2+3.故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是是：將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k

（a，b，c為常數(shù)，a≠0），確定其頂點坐標(h，k)，在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．8、B【解析】拋擲一枚骰子有1、2、3、4、5、6種可能，其中所得的點數(shù)能被3整除的有3、6這兩種，∴所得的點數(shù)能被3整除的概率為，故選B．【點睛】本題考查了簡單的概率計算，熟記概率的計算公式是解題的關(guān)鍵.9、D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法即可判定.【詳解】解：兩個直角三角形不一定相似，因為只有一個直角相等，∴A不一定相似；兩條邊對應(yīng)成比例，一個對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似，因為這個對應(yīng)角不一定是夾角；∴B不一定相似；有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似，因為40°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一個角為100°的兩個等腰三角形一定相似，因為100°的角只能是頂角，所以兩個等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴D一定相似；故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵.10、D【分析】作PB⊥OA于B，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OB=AB，則S△POB=S△PAB，再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△POB=|k|，所以S=2k，為定值．【詳解】作PB⊥OA于B，如圖，則OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值為定值．故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】（1）根據(jù)，求出扇形弧長，即圓錐底面周長；（2）根據(jù)，即，求圓錐底面半徑．【詳解】該圓錐的底面半徑=故答案為：1．【點睛】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，解題關(guān)鍵是理解扇形弧長就是圓錐底面周長．12、．【分析】根據(jù)關(guān)于x的不等式組有解，得出b≤x≤a+1，根據(jù)題意列出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和關(guān)于x的不等式組有解的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組有解，∴b≤x≤a+1，根據(jù)題意畫圖如下：共有12種等情況數(shù)，其中關(guān)于x的不等式組有解的情況分別是，，，，，，，，共8種，則有解的概率是；故答案為：．【點睛】本題考查了不等式組的解和用列舉法求概率，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．13、48π【分析】首先利用圓的面積公式即可求得側(cè)面積，利用弧長公式求得圓錐的底面半徑，得到底面面積，據(jù)此即可求得圓錐的全面積．【詳解】解：側(cè)面積是：，底面圓半徑為：，底面積，故圓錐的全面積是：，故答案為：48π【點睛】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．14、74【分析】利用加權(quán)平均數(shù)公式計算.【詳解】甲的成績=，故答案為：74.【點睛】此題考查加權(quán)平均數(shù)，正確理解各數(shù)所占的權(quán)重是解題的關(guān)鍵.15、，但【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求出答案．【詳解】解：∵一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：；∵是一元二次方程，∴，∴的取值范圍是，但．故答案為：，但．【點睛】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．16、1【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：根據(jù)直角三角形的外接圓的半徑是斜邊的一半，∵其斜邊為16∴其外接圓的半徑是1；故答案為：1．【點睛】此題要熟記直角三角形外接圓的半徑公式：外接圓的半徑等于斜邊的一半．17、1．【解析】試題分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周長為3+4+5=1.故答案為1.考點：1一元二次方程；2三角形.18、4【分析】把、分別代入，可求得和的值，然后把求得的值代入計算即可.【詳解】把、分別代入，得和-2=0，∴和，∴=（2-1）×（2+2）=4.故答案為4.【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．三、解答題(共66分)19、（1）t=1;（2）t=2.4或;（3）△PQD的面積不能為1，理由見解析．【分析】（1）△PQD的兩直角邊分別用含t的代數(shù)式表示，由△PQD的面積為5得到關(guān)于t的方程，由此可解得t的值；（2）設(shè)△PQD與相似△ABC，由圖形形狀考慮可知有兩種可能性，對兩種可能性分別給予討論可以求得答案；（3）與（1）類似，可以用含t的表達式表示△PQD的面積，令其等于1，由所得方程解的情況可以作出判斷．【詳解】因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，（1）S△PQD=解得：t1=1t2=5(舍去）（2）①當時△PDQ~△ABC即得t=2.4②當時△PQD?~△CBA即得;（3）△PQD的面積為1時，,此方程無實數(shù)根，即△PQD的面積不能為1．【點睛】本題綜合考查三角形相似、面積計算與動點幾何問題，利用方程的思想方法解題是關(guān)鍵所在．20、（1）見解析；（2）+【分析】（1）利用題中的邊的關(guān)系可求出△OAC是正三角形，然后利用角邊關(guān)系又可求出∠CAB=30°，從而求出∠OAB=90°，所以判斷出直線AB與⊙O相切；（2）作AE⊥CD于點E，由已知條件得出AC=2，再求出AE=CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得到AD．【詳解】（1）直線AB是⊙O的切線，理由如下：連接OA．∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA，∴△ACO是等邊三角形，∴∠O=∠OCA=60°，又∵∠B=∠CAB，∴∠B=30°，∴∠OAB=90°．∴AB是⊙O的切線．（2）作AE⊥CD于點E．∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2．【點睛】本題考查了切線的判定、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．21、（4）60；（4）作圖見試題解析；（4）4．【解析】試題分析：（4）利用科普類的人數(shù)以及所占百分比，即可求出被調(diào)查的學生人數(shù)；（4）利用（4）中所求得出喜歡藝體類的學生數(shù)進而畫出圖形即可；（4）首先求出樣本中喜愛文學類圖書所占百分比，進而估計全校最喜愛文學類圖書的學生數(shù)．試題解析：（4）被調(diào)查的學生人數(shù)為：44÷40%=60（人）；（4）喜歡藝體類的學生數(shù)為：60-44-44-46=8（人），如圖所示：全校最喜愛文學類圖書的學生約有：4400×=4（人）．考點：4．條形統(tǒng)計圖；4．用樣本估計總體；4．扇形統(tǒng)計圖．22、（1）780,680,640；（2）不合適，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義，即可得解；（2）根據(jù)數(shù)值和平均數(shù)之間的差距即可判定.【詳解】(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是元，從小到大排列為:540、640、640、680、780、1070、1110，則其中位數(shù)是680元，眾數(shù)是640元．（2）不合適理由：星期一到星期五的日平均營業(yè)額相差不大，但是與周六和周日差距較大，平均數(shù)受極端值影響較大，所以不合適.【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的相關(guān)概念，數(shù)據(jù)波動以及離散程度的相關(guān)知識，熟練掌握，即可解題.23、(1)50%；(2)57萬平方米【分析】(1)設(shè)每年市政府投資的增長率為x，由3()2=2017年的投資，列出方程，解方程即可；

(2)2016年的廉租房=12(1+50%)，2017年的廉租房=12(1+50%)2，即可得出結(jié)果．【詳解】(1)設(shè)每年市政府投資的增長率為x，根據(jù)題意得：

3()2=6.75，

解得：，或(不合題意，舍去)，

∴，

即每年市政府投資的增長率為；

(2)∵12+12(1+50%)+12(1+50%)2=12+18+27＝57，

∴從2015到2017年這三年共建設(shè)了57萬平方米廉租房．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；熟練掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的方法，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．24、證明見解析【解析】試題分析：連接OC，OD，根據(jù)弦相等，得出它們所對的弧相等，得到=,再得到它們所對的圓心角相等，證明得到又因為即可證明.試題解析：證明：方法一：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，，，，，，，．方法二：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，∴∠CAO=∠AEC，在中，∴∠ACO=∠CAO，∴∠ACO=∠AEC，，，.方法三：連接AD，OC，OD，∵AC=DB，=,∴∠ADC=∠DAB，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．25、（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出∠BAP+∠APB＝120°，再用平角得出∠APB+∠CPD＝120°，進而得出∠BAP＝∠CPD，即可得出結(jié)論；（2）先構(gòu)造出含30°角的直角三角形，求出PE，再用勾股定理求出PE，進而求出AP，再判斷出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出CD，進而得出CD'，再構(gòu)造出直角三角形求出D'H，進而得出D'G，再求出AM，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP＝180°，∴∠BAP+∠APB＝120°，∵∠APB+∠CPD＝180°﹣∠APD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）如圖2，過點P作PE⊥AC于E，∴∠AEP＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝2，∠ACB＝60°，∴∠PCE＝60°，在Rt△CPE中，CP＝1，∠CPE＝90°﹣∠PCE＝30°，∴CE＝CP＝，根據(jù)勾股定理得，PE＝，在Rt△APE中，AE＝AC+CE＝2+＝，根據(jù)勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，∵∠ACB＝60°，∴∠ACP＝120°＝∠APD，∵∠CAP＝∠PAD，∴△ACP∽△APD，∴，∴AD＝＝；（3）如圖3，由（2）知，AD＝，∵AC＝2，∴CD＝AD﹣AC＝，由旋轉(zhuǎn)知，∠DCD'＝120°，CD'＝CD＝，∵∠DCP＝60°，∴∠ACD'＝∠DCP＝60°，過點D'作D'H⊥CP于H，在Rt△CHD'中，CH＝CD'＝，根據(jù)勾股定理得，D'H＝CH＝，過點D'作D'G⊥AC于G，∵∠ACD'＝∠PCD'，∴D'G＝D'H＝（角平分線定理），∴S四邊形ACPD'＝S△ACD'+S△PCD'＝AC?D'G+CP?DH'＝×2×+×1×＝，過點A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝1，在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得，AM＝BM＝，∴S△ACP＝CP?AM＝×1×＝，∴S△D'AP＝S四邊形ACPD'﹣S△ACP＝﹣＝．【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)、