2023-2024學(xué)年湖北省武漢市黃陂區(qū)部分學(xué)校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市黃陂區(qū)部分學(xué)校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列環(huán)保標(biāo)志，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是d，那么（）A．當(dāng)d＝8cm時(shí)，直線與圓相交 B．當(dāng)d＝4.5cm時(shí)，直線與圓相離 C．當(dāng)d＝5cm時(shí)，直線與圓相切 D．當(dāng)d＝10cm時(shí)，直線與圓相切3．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣25．（3分）為了宣傳垃圾分類，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．126．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝mx2與一次函數(shù)y＝﹣mx﹣m的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，，∠APB＝60°，則的長為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點(diǎn)，若，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（3分）如圖，在半徑為的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個(gè)扇形的面積為（）A．π B． C．2π D．10．（3分）若直角三角形中兩直角邊之比是，則稱直角三角形為完美三角形．如圖，C是⊙O上半圓上一點(diǎn)，將⊙O沿著BC折疊，與直徑AB交于圓心O右側(cè)一點(diǎn)D，若△ABC是完美三角形，則BD：AD為（）A．3：1 B． C． D．7：2二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)A′關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．12．（3分）第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會將于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，小熙同學(xué)幸運(yùn)獲得了一張軍運(yùn)會吉祥物“兵兵”的照片，如圖，該照片（中間的矩形）長29cm，寬為20cm，他想為此照片配一個(gè)四條邊寬度相等的鏡框（陰影部分），且鏡框所占面積為照片面積的，為求鏡框的寬度，他設(shè)鏡框的寬度為xcm，依題意列方程，化成一般式為．13．（3分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑是．14．（3分）如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根長度為3.2m水管AB，在水管的頂端A點(diǎn)處安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離BC＝3m處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心距離BD＝8m，則拋物線形水柱的最高點(diǎn)到地面的距離EC是m．15．（3分）已知O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，∠BOC＝144°，則∠BIC的大小是．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c＜3b；③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＜am2+bm；④當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，a的值有3個(gè)．其中正確的有（填序號即可）．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．19．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的一個(gè)根為x＝3，求k的值及方程的另一根．20．（8分）如圖，等腰△ABC中AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC、CA的延長線分別交于點(diǎn)E、D，EF垂直DC于F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的長．21．（10分）請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）（1）如圖1，在?ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，在邊BC上畫點(diǎn)F，使CF＝AE；（2）如圖2，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是的中點(diǎn)，畫△ABC的中線AE；（3）如圖3，在?ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，且DE＝DC，畫∠BAD的平分線AF；（4）如圖4，BC是⊙O的直徑，A是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，畫△ABC的高AD．22．（10分）小雨、小華、小星暑假到某超市參加社會實(shí)踐活動(dòng)，在活動(dòng)中他們參加了某種水果的銷售工作，已知該水果的進(jìn)價(jià)為8元/千克．他們通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為10元時(shí)，那么每天可售出300千克；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少50千克．（1）求該超市銷售這種水果，每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)這種水果每天的銷售量均不低于250千克，則此時(shí)該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w（元）最大是多少？（3）為響應(yīng)政府號召，該超市決定在暑假期間每銷售1千克這種水果就捐贈a元利潤（a≤2.5）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)不超過13元時(shí)，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價(jià)x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范圍．23．（10分）【問題背景】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上的一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：△ABD≌△ACE；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在圖1的條件下，延長DE，AC交于點(diǎn)G，BF⊥AB交DE于點(diǎn)F，求證：FG＝AE；【拓展創(chuàng)新】如圖3，A是△BDC內(nèi)一點(diǎn)，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝，直接寫出△BDC的面積為．24．（10分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，6），并與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)A是對稱軸與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①所示，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接BP，AP，求△ABP的面積的最大值；（3）如圖②所示，在對稱軸AC的右側(cè)作∠ACD＝30°交拋物線于點(diǎn)D，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市黃陂區(qū)部分學(xué)校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列環(huán)保標(biāo)志，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，逐一判斷即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】此題考查的是中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．2．（3分）圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是d，那么（）A．當(dāng)d＝8cm時(shí)，直線與圓相交 B．當(dāng)d＝4.5cm時(shí)，直線與圓相離 C．當(dāng)d＝5cm時(shí)，直線與圓相切 D．當(dāng)d＝10cm時(shí)，直線與圓相切【分析】求圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即確定直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是把d與半徑5cm進(jìn)行比較．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．（d為圓心距，r為圓的半徑）．【解答】解：已知圓的直徑為10cm，則半徑為5cm，當(dāng)d＝5cm時(shí)，直線與圓相切，d＜5cm直線與圓相交，d＞5cm直線與圓相離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．3．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD【分析】連接OD，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CE＝DE，＝，＝，再＝得到∠BOC＝∠BOD，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠BAD，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：連接OD，如圖，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，＝，＝，∵＝，∴∠BOC＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOC＝2∠BAD．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：Δ＝4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥﹣3，∵k+2≠0，∴k≥﹣3且k≠﹣2，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（3分）為了宣傳垃圾分類，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)傳播規(guī)則結(jié)合經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝mx2與一次函數(shù)y＝﹣mx﹣m的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】由二次函數(shù)圖象的開口及與y軸交點(diǎn)的位置可確定m的正負(fù)，再利用一次函數(shù)y＝﹣mx﹣m的經(jīng)過的象限確定m的正負(fù)，對比后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），故B、D不合題意；A、由二次函數(shù)y＝mx2的圖象開口向上，可知m＞0，由一次函數(shù)y＝﹣mx﹣m的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知m＜0，結(jié)論矛盾，A選項(xiàng)不符合題意；C、由二次函數(shù)y＝mx2的圖象開口向下，可知m＜0，由一次函數(shù)y＝﹣mx﹣m的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知m＜0，結(jié)論一致，C選項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)圖象找出每個(gè)選項(xiàng)中m的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，，∠APB＝60°，則的長為（）A． B． C． D．【分析】連接OA，OP，OB，先求出⊙O的半徑長為為1，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：如圖，連接OA，OP，OB，∵PA、PB分別與相切⊙O于點(diǎn)A、B，∴PA＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP?tan30°＝×＝1．故⊙O的半徑長為為1，則的長＝＝π．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點(diǎn)，若，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】連接DB，由同弧所對的圓周角相等，得到．∠A＝70°，由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°﹣∠A＝20°，再由，得到∠DBC＝∠DBA＝20°，進(jìn)而求出∠ABC的度數(shù)．【解答】解：連接DB，∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，∵，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，熟練掌握圓周角的度數(shù)與所對的弧的度數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在半徑為的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個(gè)扇形的面積為（）A．π B． C．2π D．【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值．【解答】解：連接BC，由∠BAC＝90°得BC為⊙O的直徑，∴BC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝π，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、扇形的面積計(jì)算方法．關(guān)鍵是利用所學(xué)的勾股定理以及扇形面積公式求值．10．（3分）若直角三角形中兩直角邊之比是，則稱直角三角形為完美三角形．如圖，C是⊙O上半圓上一點(diǎn)，將⊙O沿著BC折疊，與直徑AB交于圓心O右側(cè)一點(diǎn)D，若△ABC是完美三角形，則BD：AD為（）A．3：1 B． C． D．7：2【分析】作CH⊥AB交AB于H，連接CD，由折疊和圓周角定理得出AC＝CD，再由完美三角形的定義得出相關(guān)邊長的等量關(guān)系，最后設(shè)AH＝DH＝x，代入關(guān)系式求解即可．【解答】解：如圖，作CH⊥AB交AB于H，連接CD，∵弧CDB是由⊙O部分沿BC折疊得到的，且∠ABC＝∠CBD，∴AC＝CD，又∵CH⊥AB，∴AH＝DH，∵△ABC是完美三角形，∴，，設(shè)AH＝DH＝x，則AD＝2x，∴，∴BH＝8x，∴BD＝BH﹣DH＝7x，∴BD：AD＝7x：2x＝7：2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了圓的折疊問題，三角函數(shù)，圓周角定理，直角三角形等知識點(diǎn)，正確畫出輔助線，理清思路是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)A′關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2）．【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，2），∴點(diǎn)A′關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，﹣2）．故答案為：（1，﹣2）．【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號是解題關(guān)鍵．12．（3分）第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會將于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，小熙同學(xué)幸運(yùn)獲得了一張軍運(yùn)會吉祥物“兵兵”的照片，如圖，該照片（中間的矩形）長29cm，寬為20cm，他想為此照片配一個(gè)四條邊寬度相等的鏡框（陰影部分），且鏡框所占面積為照片面積的，為求鏡框的寬度，他設(shè)鏡框的寬度為xcm，依題意列方程，化成一般式為4x2+98x﹣145＝0．【分析】本題運(yùn)用鏡框所占面積為照片面積的找等量關(guān)系．【解答】解：根據(jù)題意可得：2（29+2x）?x+20x?2＝20×29×，整理得：4x2+98x﹣145＝0．故答案為：4x2+98x﹣145＝0．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找到等量關(guān)系列出方程是解決此題的關(guān)鍵．13．（3分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑是1．【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，即可求得底面周長，進(jìn)而即可求得底面的半徑長．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，∴圓錐的底面周長是：2π；設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝2π．解得：r＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．14．（3分）如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根長度為3.2m水管AB，在水管的頂端A點(diǎn)處安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離BC＝3m處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心距離BD＝8m，則拋物線形水柱的最高點(diǎn)到地面的距離EC是5m．【分析】建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出A，D，E坐標(biāo)，設(shè)EC＝h，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，再把A，D坐標(biāo)帶進(jìn)去求值即可．【解答】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BD所在直線為x軸，以BA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)EC＝h，則A（0，3.2），D（8，0），E（3，h），設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣3）2+h，把點(diǎn)A（0，3.2），D（8，0），代入得：，解得：，∴拋物線形水柱的最高點(diǎn)到地面的距離EC是5m，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．15．（3分）已知O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，∠BOC＝144°，則∠BIC的大小是126°或144°．【分析】利用圓周角定理得到∠BAC＝72°或∠BAC＝108°，由于I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC＝90°+∠BAC，然后把∠BAC的度數(shù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC＝∠BOC＝×144°＝72°（如圖1）或∠BAC＝180°﹣72°＝108°，（如圖2）∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BIC＝90°+∠BAC，當(dāng)∠BAC＝72°時(shí)，∠BIC＝90°+×72°＝126°；當(dāng)∠BAC＝110°時(shí)，∠BIC＝90°+×108°＝144°；即∠BIC的度數(shù)為126°或144°．故答案為：126°或144°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心定義．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c＜3b；③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＜am2+bm；④當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，a的值有3個(gè)．其中正確的有①③（填序號即可）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，即﹣＝1，可得2a與b的關(guān)系；將A、B兩點(diǎn)代入可得c、b的關(guān)系；函數(shù)開口向上，x＝1時(shí)取得最小值，則m≠1，可判斷③；由圖象知BC≠AC，從而可以判斷④．【解答】解：①∵二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）．∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0．故①正確；②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）．∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．又∵b＝﹣2a．∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．∴2c＝3b．故②錯(cuò)誤；③∵拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，∴拋物線開口向上．∴x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最小值．∴m≠1時(shí)，a+b+c＜am2+bm+c．即a+b＜am2+bm．故③正確；④由圖象可得，AC≠BC．故△ABC是等腰三角形時(shí)，a的值有2個(gè)，故⑤錯(cuò)誤；故①③正確．故答案為①③．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是找出圖象中和題目中的有關(guān)信息，來判斷問題中結(jié)論是否正確．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【分析】移項(xiàng)后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，開方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．【解答】解：移項(xiàng)得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，開方得：x﹣2＝±，∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是配方后得出（x﹣2）2＝11，題目比較典型，難度適中．18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可知AE＝BE，再由垂徑定理可知CE＝DE，故可得出結(jié)論．【解答】證明：過點(diǎn)O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．19．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的一個(gè)根為x＝3，求k的值及方程的另一根．【分析】（1）根據(jù)Δ＝b2﹣4ac進(jìn)行判斷；（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解這個(gè)方程即可；【解答】（1）證明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，無論k取何實(shí)數(shù)，總有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此時(shí)方程可化為x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根為x＝1．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根；還有方程根的意義等；20．（8分）如圖，等腰△ABC中AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC、CA的延長線分別交于點(diǎn)E、D，EF垂直DC于F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的長．【分析】（1）連接OE，首先得到△ABC是等腰三角形，然后結(jié)合OA＝OB，證明OD∥AC，進(jìn)而得到∠OEF＝∠EFC＝90°，即可證明出EF是⊙O的切線；（2）連接BD，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出△AEF∽△ABE，得到，代入求出AB＝10，然后證明出△CEF∽△CBD，得到，求出BD＝2EF＝8，然后利用勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：如圖所示，連接OE，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，而EF⊥DC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵AB為⊙O的直徑，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∴BE＝CE，如圖所示，連接BD，∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，∴AE＝，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEB+∠AEO＝90°，∴∠AEF＝∠OEB，∴∠OBE＝∠AEF，∵∠AEB＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△ABE，∴，即，解得AB＝10，∵AB為⊙O的直徑，∴∠D＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∵，∴，∴BD＝2EF＝8，∴AF＝＝6．【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)和判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．21．（10分）請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）（1）如圖1，在?ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，在邊BC上畫點(diǎn)F，使CF＝AE；（2）如圖2，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是的中點(diǎn)，畫△ABC的中線AE；（3）如圖3，在?ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，且DE＝DC，畫∠BAD的平分線AF；（4）如圖4，BC是⊙O的直徑，A是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，畫△ABC的高AD．【分析】（1）如圖1，連接AC，BD交于點(diǎn)O，作直線OE交BC于F，線段CF即為所求作．（2）如圖2，連接OD交BC于點(diǎn)E，連接AE，線段AE即為所求作．（3）如圖3，連接AC，BD交于點(diǎn)O，作直線OE交BC于F，作射線AF即可．（4）如圖4，延長BA交⊙O于E，延長CA交⊙O于F，連接CE，BF，延長CE交BF的延長線于點(diǎn)T，作直線AT交BC于點(diǎn)D，線段AD即為所求作．【解答】解：（1）如圖1中，線段CF即為所求作．（2）如圖2中，線段AE即為所求作．（3）如圖3中，射線AF即為所求作．（4）如圖4中，線段AD即為所求作．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識解決問題．22．（10分）小雨、小華、小星暑假到某超市參加社會實(shí)踐活動(dòng)，在活動(dòng)中他們參加了某種水果的銷售工作，已知該水果的進(jìn)價(jià)為8元/千克．他們通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為10元時(shí)，那么每天可售出300千克；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少50千克．（1）求該超市銷售這種水果，每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)這種水果每天的銷售量均不低于250千克，則此時(shí)該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w（元）最大是多少？（3）為響應(yīng)政府號召，該超市決定在暑假期間每銷售1千克這種水果就捐贈a元利潤（a≤2.5）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)不超過13元時(shí)，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價(jià)x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范圍．【分析】本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題．（1）依據(jù)題意易得出每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣50x+800（2）根據(jù)銷售利潤＝銷售量×（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤．（3）設(shè)扣除捐贈后的日銷售利潤為S元，則得S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800），利用對稱軸的位置即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，可得y＝﹣50x+800（2）∵﹣50x+800≥250∴x≤11w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800∵﹣50＜0，∴當(dāng)x≤12時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝11時(shí)，w最大值＝750答：當(dāng)售價(jià)為11元/千克時(shí)，該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w最大為750元．（3）設(shè)扣除捐贈后的日銷售利潤為S元，∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a∵當(dāng)x≤13時(shí)，S隨x的增大而增大，∴≥13∴a≥2∴2≤a≤2.5即a的取值范圍為2≤a≤2.5【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．23．（10分）【問題背景】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上的一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：△ABD≌△ACE；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在圖1的條件下，延長DE，AC交于點(diǎn)G，BF⊥AB交DE于點(diǎn)F，求證：FG＝AE；【拓展創(chuàng)新】如圖3，A是△BDC內(nèi)一點(diǎn)，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝，直接寫出△BDC的面積為6．【分析】【問題背景】如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．【嘗試應(yīng)用】如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DE＝AE即可．【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CE＝BD，CE⊥BD即可．【解答】【問題背景】證明：如圖1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【嘗試應(yīng)用】證明：如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長線于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展創(chuàng)新】解：如圖3中，過點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE與△ABC都是等腰直角三角形，同法可證△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝?BD?CE＝×