2025年高考數(shù)學一輪復習-第4課時-冪函數(shù)與指、對數(shù)式的運算-專項訓練【含解析】

第4課時-冪函數(shù)與指、對數(shù)式的運算-專項訓練（原卷版）【題型一】臨界值比較：0、1臨界【典例分析】設，則的大小關系是（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知，則a，b，c的大小關系為（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b2.若，則a，b，c，d的大小關系為（）A．a<b<c<d B．d<b<c<a C．b<d<c<a D．d<c<b<a3.的大小關系是（）A.B.C.D.【題型二】臨界值比較：選取適當?shù)某?shù)臨界值（難點）【典例分析】已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知，，，則大小關系為（）A． B． C． D．2.已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．3.若，則的大小關系是（）A． B．C． D．【題型三】差比法與商比法【典例分析】已知實數(shù)滿足，則的關系是（）A． B．C． D．【變式演練】1.已知，，，則（）A． B． C． D．2.已知，則（）A． B． C． D．3.已知，則2，，的大小關系是（）A． B．C． D．【題型四】利用對數(shù)運算分離常數(shù)比大小【典例分析】已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，則m，n，p的大小關系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【變式演練】1.??的大小關系為（）A．B．C．D．2.已知，若，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．3.已知，，，則（）A． B． C． D．【題型五】構造函數(shù)：lnx/x型函數(shù)【典例分析】設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，則下列選項正確的是（）A．a>b>c B．c>a2.以下四個數(shù)中，最大的是（）A． B． C． D．3.下列命題為真命題的個數(shù)是()①ln3<3ln2；

②lnπA．1 B．2 C．3 D．4【題型六】構造函數(shù)綜合【典例分析】已知實數(shù)a、b，滿足，，則關于a、b下列判斷正確的是（）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a【變式演練】1.若（），則（）A． B．C． D．2.已知，則與的大小關系是（）A． B．C． D．不確定3.已知，，，則大小關系為（）A． B． C． D．【題型七】放縮（難點）【典例分析】若，，，則、、的大小關系是（）A． B．C． D．【變式演練】1.設，則的大小關系是（）A． B．C． D．2.設a=log43，b=A．a<b<cB．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b3.已知，，，，則下列大小關系正確的為（）A． B． C． D．【題型八】函數(shù)奇偶性和單調性等綜合【典例分析】已知為R上的奇函數(shù)，，若在區(qū)間上單調遞減.若，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知函數(shù)，若，則的大小關系是（）A． B．C． D．2.已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．3.已知，，當時，為增函數(shù)．設，，，則、、的大小關系是（）A． B．C． D．【題型九】三角函數(shù)值比較大小【典例分析】三個數(shù)，，的大小關系是（）A． B．C． D．【變式演練】1.已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．2.設，若，則與的大小關系為（）A． B． C． D．以上均不對3.，，的大小關系是（）A． B．C． D．【題型十】數(shù)值逼近【典例分析】已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【變式演練】1.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．2.設，，．則（）A. B. C. D.【課后練習】1.若，，，則A． B．C． D．2.設，，，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．3.已知，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．4.已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．5.已知，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．6.若，則（）A． B． C． D．7.已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．8.若正實數(shù)a，b，c滿足，，，則正實數(shù)之間的大小關系為（）A． B． C． D．9.已知，，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．10.已知，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．11.已知,,,，則,,,的大小關系為（）A． B．C． D．12.已知當，，時，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關系不確定已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)是連續(xù)不斷的，若方程無解，且，，設，則的大小關系是________第4課時-冪函數(shù)與指、對數(shù)式的運算-專項訓練（解析版）【題型一】臨界值比較：0、1臨界【典例分析】設，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性和對數(shù)的運算可得到，；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性得到，從而可得出答案.【詳解】因為，所以；因為，所以；又，所以.故選：B.【變式演練】1.已知，則a，b，c的大小關系為（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質即得.【詳解】∵，，，∴.故選：A.2.若，則a，b，c，d的大小關系為（）A．a<b<c<d B．d<b<c<a C．b<d<c<a D．d<c<b<a【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質計算可得；解：，，即，；因為，所以，即，即，又，所以，即，即，故選：C3.的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】A試題分析：，而，對于所以，故選A【題型二】臨界值比較：選取適當?shù)某?shù)臨界值（難點）【典例分析】已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出、，即可判斷，再利用作差法判斷，即可得到，再判斷，即可得解；【詳解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故選：B【變式演練】1.已知，，，則大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上是增函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)可得答案.【詳解】，，，因為，所以，即，因為，，，所以，所以，即，所以.故選：A.2.已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻俊撸?，∵，，∴，，故，所以．故選：A．3.若，則的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性分別比較和的大小，即可比較，再根據(jù)，即可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)是減函數(shù)，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，即，，所以.故選：B.【題型三】差比法與商比法【典例分析】已知實數(shù)滿足，則的關系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)的性質知，利用對數(shù)的運算性質及作差法可得，再構造，根據(jù)指數(shù)的性質判斷其符號，即可知的大小.【詳解】；，；，；，∴，綜上，.故選：C【變式演練】1.已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】應用作商法，由對數(shù)的運算性質、基本不等式可得可知b、c的大小，再結合指對數(shù)的性質可知a、c的大小.【詳解】，即，∵，∴綜上，.故選：B2.已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，又，，所以，即3.已知，則2，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性以及運算法則比較大小，確定選項.【詳解】，，∴；又∴，∴.故選：D.【題型四】利用對數(shù)運算分離常數(shù)比大小【典例分析】已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，則m，n，p的大小關系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，應用對數(shù)函數(shù)的單調性、對數(shù)的換底公式，可比較m，n，的大小關系，再由指數(shù)的性質有p＝e，即知m，n，p的大小關系.【詳解】由題意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝e，∴n＜m＜p．故選：C．【變式演練】1.??的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】應用對數(shù)的運算性質可得、、，進而比較大小關系.【詳解】，，，∵，∴，故選：C.2.已知，若，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先化簡，再根據(jù)的大小關系，利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得到其大小關系．【詳解】因為，函數(shù)在和上均單調遞減，又，所以而,所以，即，可知最?。捎?，所以比較真數(shù)與的大小關系.當時，，所以,即.綜上,．故選：D．3.已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把c用對數(shù)表示，根據(jù)式子結構，轉化為比較的大小，分別與1和比較即可.【詳解】，，由得，.因為，所以，，即.下面比較a、b的大小關系：（其中），，所以所以所以.故選：C.【題型五】構造函數(shù)：lnx/x型函數(shù)【典例分析】設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，利用導數(shù)判斷單調性，利用對數(shù)化簡，，，再根據(jù)單調性即可比較，，的大小關系.【詳解】設，則，當，，單調遞增，當，，單調遞減，因為，，，所以最大，又因為，，所以，所以，故選：B.【變式演練】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，則下列選項正確的是（）A．a>b>c B．c>a【答案】D對a,b,c同除6π，轉化為ln22,ln【詳解】a6π=ln22,b設fx=lnxx，則f'x=1?lnxx∴fx在e,+∞上單調遞減，∵e<3<π<4∴l(xiāng)n33>2.以下四個數(shù)中，最大的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，令，則，所以時，，∴在上遞減，又由，∴，則，即，故選：B．3.下列命題為真命題的個數(shù)是()①ln3<3ln2；

②lnπA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C本題首先可以構造函數(shù)f(x)=lnxx，然后通過導數(shù)計算出函數(shù)f(x)=lnx【詳解】構造函數(shù)f(x)=lnxx，導數(shù)為當0<x<e時，f'(x)>0，f(x)遞增，x>e時，f'(x)<0，f(x)遞減，可得當x=e時f(x)取得最大值1eln3<3ln2?2ln3<3ln2?lnlnπ<πe?lnππ<由f16<f15可推導出ln1616<ln1515，即43eln2<42?ln88<22e<1【題型六】構造函數(shù)綜合【典例分析】已知實數(shù)a、b，滿足，，則關于a、b下列判斷正確的是（）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a【答案】D【分析】先根據(jù)判斷a接近2，進一步對a進行放縮，，進而通過對數(shù)運算性質和基本不等式可以判斷a>2；根據(jù)b的結構，構造函數(shù)，得出函數(shù)的單調性和零點，進而得到a,b的大小關系，最后再判斷b和2的大小關系，最終得到答案.【詳解】.構造函數(shù)：，易知函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，由，可知：，又，∴，則a>b.又∵，∴a>b>2.故選：D.【變式演練】1.若（），則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式變?yōu)椋鶕?jù)的單調性知，以此去判斷各個選項中真數(shù)與的大小關系，進而得到結果.【詳解】由，可得，令，則在上單調遞增，且，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.2.已知，則與的大小關系是（）A． B．C． D．不確定【答案】C【分析】令，結合題意可知，進而有，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性和運算性質即可求解【詳解】令，則當時，，當時，；由，得考慮到得，由，得，即故選：C3.已知，，，則大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上是增函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)可得答案.【詳解】，，，因為，所以，即，因為，，，所以，所以，即，所以.故選：A.【題型七】放縮（難點）【典例分析】若，，，則、、的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質可得，，然后利用對數(shù)的運算化為同底并結合對數(shù)函數(shù)的單調性，可比較出的大小關系，分別與中間值比較，得出，分別與中間值比較，得出，綜合即可選出答案.【詳解】解：由題意，，，，即，，，而，所以，，而，即，又，，而，則，即，同理，，，而，則，即，綜上得：，【變式演練】1.設，則的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出a、b、c的范圍，即可得到答案.【詳解】，即，，即，.所以.故選：C2.設a=log43，b=A．a<b<cB．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【答案】B【詳解】即a>c>b3.已知，，，，則下列大小關系正確的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質進行比較即可．【詳解】。?！郺＞d＞b＞c，故選：D【題型八】函數(shù)奇偶性和單調性等綜合【典例分析】已知為R上的奇函數(shù)，，若在區(qū)間上單調遞減.若，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，又，根據(jù)單調性即可判斷.【詳解】定義域為R，為奇函數(shù)，，所以為偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞減，故在上為增函數(shù)，又，，所以，故選：B.【變式演練】1.已知函數(shù)，若，則的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性及對數(shù)函數(shù)的單調性確定，再由函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】因為，，，所以由知，函數(shù)在上單調遞增，所以故選：A2.已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)是偶函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合，再利用單調性比較大小得結論.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，即，且在上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不妨令，則，所以是偶函數(shù)，則，因為當時，成立，所以在上單調遞減，又因為在上是連續(xù)函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以在上單調遞增，則，，，因為，，，所以，所以，故選：D.3.已知，，當時，為增函數(shù)．設，，，則、、的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析得出，利用函數(shù)在上的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】，．當時，為增函數(shù)，所以，，因此，．故選：D.【題型九】三角函數(shù)值比較大小【典例分析】三個數(shù)，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】誘導公式化余弦為正弦，然后由正弦函數(shù)的單調性比較大小．【詳解】，．∵，，，∴．又∵在上是增函數(shù)，∴．故選：C．【變式演練】1.已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比較b，c的大小關系，構造函數(shù)比較a，b的大小關系，即可得解.【詳解】，所以，構造函數(shù)，，，所以，，必有，，所以所以，即所以單調遞減，所以即，所以故選：A2.設，若，則與的大小關系為（）A． B． C． D．以上均不對【答案】D【分析】設，，由題意，利用誘導公式可得，而，，可得，或，分類討論即可求解．【詳解】解：設，，因為，，所以，，，又因為，所以，而，，因此，或，所以（1）當時，，，因此，（2）當時，，，因此：①當時，，則，②當時，，則，③當時，，則．故選：D．3.，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)函數(shù)值的正負和正弦函數(shù)在上的單調性判斷即可.【詳解】因為,所以,可得,因為,所以,可得,因為,又因為,由正弦函數(shù)在上的單調性知,，即.故選:A【題型十】數(shù)值逼近【典例分析】已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設，利用導數(shù)得到，從而得到，設，利用導數(shù)得到，從而得到和，即可得到答案.【詳解】設，，令，解得.，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.故，即.設，，令，解得.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.所以，又因為，所以.又因為，所以，即，綜上.故選：B【變式演練】1.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】對于a，b的比較，構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調性來進行比較，對于a，c或b，c的比較通過作差法來進行比較【詳解】，故；，故；，令，（），則因為，所以，，，故恒成立，在上單調遞增，所以，故綜上：故選：C2.設，，．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【課后練習】1.若，，，則A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)對數(shù)的性質將、變形，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷可得；【詳解】解：，因為在定義域上單調遞減，所以，所以，即故選：A2.設，，，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質及放縮法有、，可比較，的大小，再由并構造，根據(jù)其單調性即可確定，的大小.【詳解】由題意，，，∴，由，則，而在上遞增，∴，故，即，∴.故選：C3.已知，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質比較與的大小，利用作商法比較的大小.【詳解】由,因為，故，所以，因為，故，所以因為，故，因為，故，所以，所以，故，故選：A4.已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】對給定的冪或對數(shù)變形，借助冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調性并結合“媒介”數(shù)即可判斷作答.【詳解】依題意，，函數(shù)在上單調遞增，而，于是得，即，函數(shù)在單調遞增，并且有，則，于是得，即，則，又函數(shù)在單調遞增，且，則有，所以.故選：C5.已知，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質比較與的大小，利用作商法比較的大小.【詳解】由,因為，故，所以，因為，故，所以因為，故，因為，故，所以，所以，故，故選：A6.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，利用作差法結合的單調性即可得到答案.【詳解】設，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B.7.已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)及運算性質有、，即可比較，，的大小.【詳解】，又，，.故選：A.8.若正實數(shù)a，b，c滿足，，，則正實數(shù)之間的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，正實數(shù)分別是方程，和在內的根，再根據(jù)零點的存在定理，分別可求出正實數(shù)的取值范圍，由