2025年高考數(shù)學一輪復習-第六章-第五節(jié)-第1課時-余弦定理、正弦定理-專項訓練【含答案】

第六章-第五節(jié)-第1課時-余弦定理、正弦定理-專項訓練一、單項選擇題1．在下列關于△ABC的四個條件中選擇一個，能夠使角A被唯一確定的是()①sinA＝12；②cosA＝－13；③cosB＝－14，b＝3a；④C＝π4，b＝2，A．①② B．②③C．②④ D．②③④2．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，則A＝()A．5π6 B．C．π3 D．3．在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，則∠C＝()A．π6 B．πC．2π3 4．在△ABC中，若AB·BC＝－2，且B＝60°，則△A．23 B．3C．32 D．5．已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcosC＋acosB＝a，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形6．已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為()A．(2，3) B．(1，C．(2，2) D．(0，2)二、多項選擇題7．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA＝(3b－c)sinB，且cosA＝13A．a(chǎn)＋c＝3bB．tanA＝22C．△ABC的周長為4cD．△ABC的面積為2298．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝23，c＝3，A＋3C＝π，則下列結(jié)論正確的是()A．cosC＝33 B．sinB＝C．a(chǎn)＝3 D．S△ABC＝2三、填空題9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，則b10．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是S＝14c2a2?c2+a2?b222，其中a，b，c四、解答題11．在△ABC中，bsinA－acosB2＝(1)求角B；(2)若b＝3，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a及△ABC的面積．條件①：sinA＋sinC＝2sinB；條件②：c＝3；條件③：ac＝10.12．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝π2，∠ACD＝π3，AD＝3，S為△ABC的面積，且2S＝－(1)求角B；(2)若cosD＝12，求四邊形ABCD13．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.參考答案1．B[對于①：sinA＝12，因為A∈(0，π)，所以A＝π6或5π對于②：cosA＝－13，因為y＝cosx在(0，π)上單調(diào)，所以角A被唯一確定，故②對于③：cosB＝－14，b＝3a，因為cosB＝－14＜0，B∈(0，π)，所以B∈π2，π，所以所以sinB＝1?cos2B又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sinA，所以sinA＝sinB3＝所以角A被唯一確定，故③正確；對于④：C＝π4，b＝2，c＝3因為bsinC＝2×sinπ4＝2所以bsinC＜c＜b，如圖，△ABC不唯一，故④錯誤.故選B.]2．D[∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，結(jié)合a2－b2＝3bc得a＝7b.由余弦定理的推論可得cosA＝b2+c2?又∵A∈(0，π)，∴A＝π63．B[由(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2+b2?又C∈(0，π)，∴C＝π34．B[因為AB·BC＝－2且所以a·c·cos(180°－60°)＝accos120°＝－2，所以ac＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝12×4×325．D[由bcosC＋acosB＝a及正弦定理，得sinBcosC＋sinAcosB＝sinA，所以sinBcosC＋sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，即cosB(sinA－sinC)＝0，當cosB＝0時，因為0＜B＜π，所以B＝π2當cosB≠0時，所以sinA－sinC＝0，即sinA＝sinC，因為0＜A＜π，0＜C＜π，所以A＝C，所以△ABC為等腰或直角三角形．故選D.]6．A[∵B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA.∵a＝1，∴b＝2acosA＝2cosA.又△ABC為銳角三角形，∴0＜2A＜π2，0＜A＜π2，0即2＜b＝2cosA＜3.故選A.]7．ABD[由正弦定理及題意得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正確；由cosA＝13可得sinA＝1?13則tanA＝sinAcosA由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc×13整理得3b＝2c，△ABC的周長為a＋b＋c＝4b＝83c由上知：a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，b＝23a，則S△ABC＝12bcsinA＝12·23a·a·8．AD[因為A＋3C＝π，故B＝2C，根據(jù)正弦定理bsinB＝csinC，得23sinC＝3×2sin由于sinC≠0，故cosC＝33，sinC＝63，所以sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝223.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，化簡得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，則A＝C＝π4，故B＝π2，不合題意，因此a＝1.故S△ABC＝12absinC＝129．4[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×?14，整理得15b－60＝0，所以b＝410．234[法一：S＝142×4?4+法二：cosA＝3+4?223×2＝543＝5312，sinA＝6912，11．解：(1)由正弦定理得bsinA＝asinB，得asinB－acosB22asinB2cosB2－acos因為0＜B2＜π2，所以acosB則sinB2＝1所以B2＝π6，所以B＝(2)選條件①：sinA＋sinC＝2sinB.因為b＝3，B＝π3，sinA＋sinC＝2sinB由正弦定理得a＋c＝2b＝6，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得ac＝9，則ac=9所以△ABC存在且唯一確定，則S△ABC＝12acsinB＝9選條件②：c＝3.已知B＝π3，b＝3，c＝3由正弦定理得sinC＝cbsinB＝1因為c＜b，所以C＝π6，A＝π2，a＝b2所以△ABC存在且唯一確定，則S△ABC＝12bc＝3選條件③：ac＝10.由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，即a＋c＝39，所以a(39－a)＝10，即a2－39a＋10＝0，因為(39)2－4×10＝－1＜0，所以不存在a使得△ABC存在．12．解：(1)由2S＝－3BA在△ABC中，得2×12AB×BCsinB＝－3AB×BCcosB即sinB＝－3cosB，可得tanB＝－3，因為B∈(0，π)，所以B＝2π(2)因為cosD＝12，D∈(0，π)，所以D＝π所以△ACD為等邊三角形，AC＝3，∠CAD＝π3所以∠BAC＝π6，∠ACB＝π由正弦定理知ACsinB＝AB＝AC·sin∠ACBsinB故四邊形ABCD的周長為2＋23.13．解：(1)證明：設△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理，得sin∠ABC＝b2R，sinC＝c因為BDsin∠ABC＝asinC，所以BD·b2R＝a·c即BD·b＝ac.又因為b2＝ac，所以BD＝b.(2)法一：(兩次應用余弦定理)因為AD＝2DC，如圖，在△ABC中，cosC＝a2+在△BCD中，cosC＝a2+由①②得a2＋b2－c2＝3a2+b32?b2，整理得2a2又因為b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，解得a＝c3或a＝3c當a＝c3，b2＝ac＝c23時，a＋b＝c當a＝3c2，b2＝ac＝3cos∠ABC＝3c22+所以cos∠ABC＝712法二：(向量法)因為AD＝2DC，所以AD＝2DC，即BD＝23所以BD2＝49即b2＝49a2＋49acco