2025年高考數學一輪復習-教考銜接8-破解解析幾何問題常見的技巧【課件】

教考銜接8?破解解析幾何問題常見的技巧

真題展示

A.（1，1）B.

（－1，2）C.（1，3）D.

（－1，－4）

解法分析解析幾何是用代數方法研究幾何問題中中學數學的重要分支，解題的

第一步通常是把幾何條件轉化為代數語言，即轉化為方程或函數問

題；第二步再對代數式進行轉化、化簡與求值.因其條件復雜，運算量

大，一直是學生的“痛點”.如何在求解解析幾何問題時簡化運算步

驟，減少運算量，提升解題效率，下面就從常見的五種技巧入手，予

以例析.

破解解析幾何問題常見的技巧技巧1

回歸定義，化繁為簡回歸定義的實質是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是

一種樸素而又重要的策略和思想方法.圓錐曲線的定義既是有關圓錐曲

線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點.對于相關的圓錐曲線

中的數學問題，若能根據已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到

化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果.

反思感悟

本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立｜

AF

1｜，｜

AF

2｜的等

量關系，從而快速求出雙曲線實半軸長

a

的值，進而求出雙曲線的離

心率，大大降低了運算量.技巧2

設而不求，整體代換對于直線與圓錐曲線相交所產生的中點弦問題，在涉及求中

點弦所在直線的方程或弦的中點的軌跡方程等問題時，常用“點

差法”求解.

反思感悟

本題設出

A

，

B

兩點的坐標，卻不求出

A

，

B

兩點的坐標，巧妙

地表達出直線

AB

的斜率，通過將直線

AB

的斜率“算兩次”建立幾何

量之間的關系，從而快速解決問題.技巧3

巧用“根與系數的關系”化繁為簡某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離

公式計算長度的方法來解；也可以利用一元二次方程，使相關的點的

同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關線

段長度間的關系.后者往往計算量小，解題過程簡捷.

（1）當直線

AM

的斜率為1時，求點

M

的坐標；

（2）當直線

AM

的斜率變化時，直線

MN

是否過

x

軸上的一定

點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，

請說明理由.

反思感悟

技巧4

巧妙“換元”減少運算量變量換元的關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是

變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而將非標

準型問題轉化為標準型問題，將復雜問題簡單化.變量換元法常用于求

解復合函數的值域、三角函數的化簡或求值等問題.

（1）求橢圓

E

的標準方程；

（2）求△

F

1

MN

的內切圓半徑

r

最大時，直線

l

的方程.

技巧5

妙借向量，更換思路平面向量是銜接代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”，融數

形于一體，是數形結合的典范，具有幾何形式與代數形式的雙重身

份，是數學知識的一個交匯點和聯系多項知識的媒介.妙借向量，可以

有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果.

反思感悟

本題通過相關向量坐標的確定，結