2025年高考數(shù)學(xué)一輪知識點復(fù)習(xí)-第8課時-拋物線(一)-專項訓(xùn)練【含答案】

拋物線(一)一、單項選擇題1．拋物線y＝－12x2A．(－1，0) B．?C．(0，－1) D．02．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x3．“米”是象形字．?dāng)?shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)構(gòu)造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在拋物線C1上，過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，則p＝()A．2 B．3C．4 D．64．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線l的傾斜角等于()A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．與p值有關(guān)5．已知點P為拋物線x2＝4y上任意一點，點A是圓x2＋(y－6)2＝5上任意一點，則|PA|的最小值為()A．5 B．25C．35 D．6－56．如圖所示，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是()A．(6，10) B．(8，12)C．[6，8] D．[8，12]7．設(shè)拋物線E：y2＝8x的焦點為F，過點M(4，0)的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比S△BCFA．14 B．1C．16 D．8．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16 B．14C．12 D．10二、多項選擇題9．已知拋物線y＝2x2的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是()A．點F的坐標(biāo)為1B．若直線MN過點F，則x1x2＝－1C．若MF＝λNF，則|MN|的最小值為1D．若|MF|＋|NF|＝32，則線段MN的中點P到x軸的距離為10．(2024·廣東揭陽模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l繞點P(－2，1)旋轉(zhuǎn)，點Q為C上的動點(O為坐標(biāo)原點)，則()A．以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切B．若直線l與拋物線有且只有一個公共點，則這樣的直線l有兩條C．線段PF的垂直平分線方程為3x－y＋2＝0D．過點F的直線交C于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線有2條11．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點坐標(biāo)為F，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，點2，A．p＝1B．當(dāng)AB⊥y軸時，|AB|＝4C．1AFD．若AF＝2FB，則直線AB的斜率為±212．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，點P在拋物線上，過點F的直線l與拋物線交于B，C兩點，O為坐標(biāo)原點，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為M，則下列說法正確的是()A．∠OMB的最大值為πB．若點A(4，2)，則|PA|＋|PF|的最小值為6C．無論過點F的直線l在什么位置，總有∠OMB＝∠OMCD．若點C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為D，則B，O，D三點共線三、填空題13．在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示)，稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40m，碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80m，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為________m.14．已知點P在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，過P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，點F為C的焦點．若∠HPF＝60°，點P的橫坐標(biāo)為1，則p＝________．15．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．16．已知M(1，2)為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，過點T(0，1)的直線與拋物線C交于A，B兩點，且直線MA與MB的傾斜角互補，則|TA|·|TB|＝________．四、解答題17．已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為32的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP＝3PB，求|AB|參考答案1．D[拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2y，所以焦點坐標(biāo)為0，2．C[根據(jù)題意，拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－p2，與y軸平行，若拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則該拋物線上任意一點到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，故p2＝1，解得p＝2，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝43．D[因為2|PQ|＝4，即|PQ|＝2，由拋物線的對稱性知xP＝－1，由拋物線定義可知，|PF1|＝p2－xP，即4＝p2－(－1)，解得4．C[如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線方程為x＝－p2，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A′，B′，直線l交準(zhǔn)線于點C，作BM⊥AA′，垂足為M，則AA'＝AF，BB'＝BF，又|FA|＝3|FB所以∠ABM＝30°，即直線l的傾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直線l的傾斜角為鈍角時即為120°，故選C.]5．A[圓x2＋(y－6)2＝5的圓心為C(0，6)，半徑r＝5.設(shè)Px0，x024，則|PC|2當(dāng)x02＝16時，|PC|2有最小值20，數(shù)形結(jié)合可知PAmin＝|PC|min－5＝26．B[拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程l：x＝－2，焦點F(2，0)，由拋物線的定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心(2，0)，半徑R＝4，所以△FAB的周長為|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，聯(lián)立y2=8x，x2+y2?4x?12=0，消去y即交點的橫坐標(biāo)為2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，所以△FAB的周長的取值范圍是(8，12)．故選B.]7．C[如圖，過點B作BD垂直準(zhǔn)線x＝－2于點D，則由拋物線定義可知：|BF|＝|BD|＝3，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨設(shè)m＞0，則y1＞0，y2＜0，所以x2＋2＝3，解得x2＝1，則y22＝8x2＝8，解得y2＝－22，則B(1，－2所以－22m＋4＝1，解得m＝32則直線AB的方程為x＝324所以當(dāng)x＝－2時，即324解得yC＝－42，則C(－2，－42)，聯(lián)立x=324y+4，y2=8x，消去x得y2所以y1＝82，其中S△BCFS△ACF＝BCAC＝y(tǒng)2故選C.]8．A[由題意知，拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不為0．不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－1k，故l1：y＝k(x－1),l2：y＝－1k(由y2=4x，y=kx?1，消去y得k2x2－(2k2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2k2+4由拋物線定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4k同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4k2≥8＋2當(dāng)且僅當(dāng)1k2＝k2，即故|AB|＋|DE|的最小值為16．]9．BCD[拋物線y＝2x2，即x2＝12y由拋物線方程知其焦點在y軸上，焦點為F0，依題意，直線MN斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋18由x2=12y，y=kx+18，消去所以x1x2＝－116，x1＋x2＝12若MF＝λNF，則直線MN過焦點，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋18＋y2＋18＝kx1＋18＋kx2＋18+14所以當(dāng)k＝0時|MN|min＝12所以|MN|的最小值為拋物線的通徑長12因為|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋18＋y2＋18＝32，所以y1＋y2＝54，即P點縱坐標(biāo)為所以P到x軸的距離為5810．AC[由拋物線C：y2＝4x可知，C的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線的定義可知以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切，A正確；當(dāng)過點P(－2，1)的直線l的斜率不存在時，直線l與拋物線無公共點；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則過點P(－2，1)的直線方程為l：y＝k(x＋2)＋1，當(dāng)k＝0時，直線l：y＝1與拋物線有且只有一個公共點，當(dāng)k≠0時，聯(lián)立y=kx+2+1，y2=4x，整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化簡得2k2＋k所以此時直線l與拋物線有且只有一個公共點的直線有3條，B錯誤；線段PF的中點為?12，12，又kPF＝1?0?2?1＝－13，所以線段PF的中垂線方程為y－1因為|AB|＝4＝2p，此時線段AB為拋物線的通徑，所以這樣的直線只有一條，D錯誤．故選AC.]11．BCD[將點2，12代入焦點F(0，1)，當(dāng)AB⊥y軸時，點(－2，1)，點(2，1)在拋物線上，可得|AB|＝4，B正確；由題意知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程x消去y后整理得x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝x12x2216＝1，|AF|＝y(tǒng)1有1AF+＝y(tǒng)1+yC正確；由(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，可得2x2＝－x1，由x得?x2=4k，?212．ACD[設(shè)直線MB的方程為x＝－1＋my，與拋物線的方程y2＝4x聯(lián)立，可得y2－4my＋4＝0，當(dāng)且僅當(dāng)MB與拋物線相切時，∠OMB取得最大值．由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直線MB的斜率為±1，此時∠OMB取得最大值π4設(shè)點A在準(zhǔn)線x＝－1上的射影為A′(－1，2)，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，A′三點共線時等號成立，B錯誤；M(－1，0)，設(shè)直線BC的方程為x＝ny＋1，代入拋物線的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，設(shè)By124，y1，Cy224，y2，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，則kMB＋kC正確；由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝y(tǒng)1y124＝4y1，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，則kOB＝kOD故選ACD.]13．80[以拋物線最高點為坐標(biāo)原點，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意得A(80，－40)，將其代入拋物線方程得6400＝80p，解得p＝80，故安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為80m.]14．23[如圖所示，不妨設(shè)點P聯(lián)立y2=2px，x=1，可得x=1易知PH⊥y軸，則PH∥x軸，則∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直線PF的傾斜角為60°，易知點Fp2所以kPF＝2p1?p2＝3，整理可得22p＝3(2－p)，且有2－p等式22p＝3(2－p)兩邊平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，解得p＝23(p15．3[由題意可知，點F的坐標(biāo)為12又F為△ABC的重心，故xA+x即xA＋xB＋xC＝32.又由拋物線的定義可知|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋32＝3216．2[由點M(1，2)在拋物線C：y2＝2px上得：22＝2p，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0.設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線MA與MB的傾斜角互補得kMA＋kMB＝0，即y1?2x1?1+y2?2x2聯(lián)立y=kx+1，y2=4x，得所以y1＋y2＝4k，y1y2＝4所以4k＝－4，即k＝－1，所以y1y2