初中數(shù)學-幾何證明經(jīng)典試題(含答案)

初中幾何證明題

經(jīng)典題（一）

1、已知:如圖，0是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD±AB,EF±AB,EG1C0.

求證:CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，NPAD=/PDA=15°.

求證：aPBC是正三角形.（初二）

3、如圖,已知四邊形ABCD、AiBiGDi都是正方形，A2>B2,C2>D?分別是AA】、BBI、

CCi、DDi的中點.

求證:四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知:如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC

的延長線交MN于E、F.

求證:/DEN=NF.

經(jīng)典題（二）

1、已知：AABC中，H為垂心（各邊高線的交點），0為外心，且OMJ_BC于M.

（1）求證：AH=20M：

（2）若NBAC=60°,求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過0作OA_LMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C

及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:

設(shè)MN是圓0的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN

于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以AABC的AC和BC為一邊，在aABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形

CBFG,點P是EF的中點.

求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）D

AQB

經(jīng)典題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）

C

經(jīng)典題（四）

A

1、已知：ZXABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，且/PBA=NPDA.

求證：ZPAB-ZPCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD-BC=AC-BD.（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

BEC

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,

求證：后WL<2.

2、已知：P是邊長為I的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長.

4、如圖，AABC中，/ABC=NACB=80°,D、E分別是AB、AC上的點，ZDCA=30°,

NEBA=20°,求NBED的度數(shù).

經(jīng)典題（一）

1.如下圖做GHLAB,連接E0。由于GOFE四點共圓，所以NGFH=/OEG

即△GHFs△OGE,可得空=空=三,又CO=EO,所以CD=GF得證。

GFGHCD

2.如下圖做ADGC使與4ADP全等，可得APDG為等邊△,從而可得

△DGC絲△APD也△CGP,得出PC=AD=DC,和ZDCG=ZPCG=15°

所以NDCP=30°,從而得出APBC是正三角形

3.如下圖連接B。和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點,

連接EB^并延長交C2Q于H點，連接FB,并延長交AQ于G點，

由人史=/AB=9BC=FBa，EBj—yAB=yBC=FC1,又/GFQ+/Q=90。和

NGEB?+/Q=90",所以/GEB2=NGFQ又/B2FC2=NA2EB2,

可得△B2FC2絲ZiA2EB2,所以AzB2=B2c2,

又/GFQ+/HB2F=90°和/GFQ=NEB2A2,

從而可得NA2B2c2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A?B2c2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=NF,ZQNM=Z

DEN和NQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典題（二）

1.⑴延長AD到F連BF,做OG_LAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM

（2）連接OB,0C,既得NBOC=120。，

從而可得/BOM=60°,

所以可得0B=20M=AH=A0,

得證。

A

人/AOACCD2FDFD

由于——=——=——=----=——，

ABAEBE2BGBG

由此可得4ADF絲Z\ABG,從而可得NAFC=NAGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC=NAOP和NAGE=NAOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,CLFH?？傻肞Q="G+FH.

2

由4EGA名△AIC,可得EG=AI,由△BFH四ZXCBI,可得FH=BI。

__AI+BlAB.,_

從而可得PQ=------=——，從而得證。

22

D

經(jīng)典題（三）

1.順時針旋轉(zhuǎn)aADE,SljAABG,連接CG.

由于/ABG=/ADE=900+450=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGBgaCGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得/EAC=30°,從而可得/AEC=75°。

又NEFC=NDFA=45°+30°=75°.

可證：CE=CF。

2.連接BD作CHIDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得/CEH=30°，所以NCAE=ZCEA=ZAED=15°,

又ZFAE=90°+45°+150=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AFo

3.作FG_LCD,FE1BE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=——=---------------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出AABP會4PEF,

得到PA—PF,得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則APB、是正三角形。

可得APCJC是直角三角形。

所以ZAPB=150°o

A

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得：

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得NBAP=NBEP=NBCP,得證。

3.在BD取一點E,使/BCE=NACD,既得△BECs/\ADC,可得:

BEAD八八

—=——，即nnAD?BC=BE?AC,①

BCAC

又NACB=/DCE,可得△ABCs/\DEC,既得

ABDE八

——=——，即HriAB?CD=DE?AC,②

ACDC

由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD,得證。

BC

q

4,過D作AQLAE，AG1CF，由S8巾=^^=5,可得:

△L/C2dDri

AE.PQAE.PQ?

------=-------，由AE=FC,

22

可得DQ=DG,可得NDPA=NDPC（角平分線逆定理）。

經(jīng)典題（五）

1.（1）順時針旋轉(zhuǎn)△BPC60。，可得4PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小L=^；

（2）過P點作BC的平行線交AB,AC與點D,F。

由于/APD>/ATP=NADP,

推出AD>AP①

又BP+DP>BP②

和PF+FOPC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最大IX2；

由（1）和（2）既得：形《<2。

D

2.順時針旋轉(zhuǎn)ABPC60。，可得APBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,

即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。

二肉乙爭.0

>/6+V2

2

3.順時針旋轉(zhuǎn)aABP90°,可得如下圖:

既得正方形邊長1=）（2+今+吟y?a=）5+2V2.a。

4

E

4.在AB上找一點F,使NBCF=60。,

連接EF,DG,既得ABGC為等邊三角形，

可得NDCF=10°,NFCE=20°,推出△ABEgZ\ACF,

得到BE=CF,FG=GE。

推出：ZXFGE為等邊三角形，可得NAFE=80°,

既得：ZDFG=40°①

又BD=BC=BG,既得/BGD=80°,既得NDGF=40°②

推得：DF=DG，得到：ZXDFE絲ZXDGE,

從而推得：ZFED=ZBED=30°。

21.(本題7分)如圖，△ABC中A(—2,3),B(-3,l),C(-l,2).

(1)將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的4A與G；

則A,的坐標為

(2)將△ABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后的

△A,52G；

則B,的坐標為

(3)直接寫出△A1B1B2的面積為

22.（8分）如圖，RtZXABE中，AB_LAE以AB為直徑作。0,交BE于C,弦CD_LAB,F為

AE上一點，連FC,則FC=FE

（1）求證CF是。O的切線；（4分）

（2）已知點P為。O上一點，

且tan/APD=；，連CP,

求sinNCPD的值.（4分）

B

23.（10分）江漢路一服裝店銷售一種進價為50元/件的襯衣，生產(chǎn)廠家規(guī)定售價為60-150

元，當定價為60元/件時，平均每星期可賣出70件，每漲價10元，一星期少買5件。

（1）若銷售單價為x元/件（規(guī)定x是10的正整數(shù)倍），每周銷售量為y件，寫出y與x

的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍？（2分）

（2）當每件襯衣定價為多少元時，服裝店每星期的利潤最大，最大利潤為多少元？