數(shù)學(xué)-人教B版（新教材）-一輪復(fù)習(xí)-22版：§9.5　隨機(jī)變量步步高

大一輪復(fù)習(xí)講義第九章排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率§9.5

隨機(jī)變量考試要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)題型突破核心探究課時(shí)精練內(nèi)容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)11.離散型隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對(duì)于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對(duì)應(yīng)有

實(shí)數(shù)值，就稱X為一個(gè)隨機(jī)變量.其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.知識(shí)梳理唯一確定的2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1,2，…，n}，概率

都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，P(X＝xk)＝pkXx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn此表稱為X的

或

.概率分布分布列3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：(1)pk≥0(k＝1,2，…，n).(2)

＝

＝1.p1＋p2＋…＋pkXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)均值稱E(X)＝

＝

為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱為期望).它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

.(2)方差稱D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝_____________為離散型隨機(jī)變量X的方差，并稱

為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它們都可以度量離散型隨機(jī)變量取值與其均值的

.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平偏離程度5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)1.某電子元件的使用壽命x1，擲一枚骰子，正面向上的點(diǎn)數(shù)x2，思考x1，x2可作為離散型隨機(jī)變量嗎？微思考提示

x1不可作為離散型隨機(jī)變量，x2可作為離散型隨機(jī)變量.2.期望和算術(shù)平均數(shù)有何區(qū)別？提示

期望刻畫了隨機(jī)變量取值的平均水平；而算術(shù)平均數(shù)是針對(duì)若干個(gè)已知常數(shù)來說的.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(

)√×基礎(chǔ)自測(cè)√√題組二教材改編2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Pp則p為√3.有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是_________.0,1,2,3解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.4.若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_____.0解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.題組三易錯(cuò)自糾5.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是A.至少取到1個(gè)白球

B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù)

D.取到的球的個(gè)數(shù)√解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.6.若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)√解析由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，則當(dāng)P(X<a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].TIXINGTUPOHEXINTANJIU2題型突破核心探究題型一

分布列的性質(zhì)師生共研√(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列.解由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為X012342X＋113579從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1.若例1(2)中條件不變，求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列.解由例1(2)知m＝0.3，列表為X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.32.若例1(2)中條件不變，求隨機(jī)變量η＝X2的分布列.解依題意知η的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而η＝X2的分布列為η014916P0.20.10.10.30.3(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華√(2)已知隨機(jī)變量X的分布列為X012345Pxyz則P(X≥2)等于A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6√例2

(2021·河南新鄉(xiāng)模擬)2021年元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上，某班設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲：在一個(gè)紙盒中裝有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個(gè)節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目.(1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；題型二

分布列的求法師生共研解設(shè)“a同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E，(2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.解隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟思維升華跟蹤訓(xùn)練2

有編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時(shí)，共有6種坐法.(1)求n的值；解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)求隨機(jī)變量X的分布列.解因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，由題意可知X的可能取值是0,2,3,4，所以X的分布列為X0234P題型三

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征師生共研解兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ).所以ξ的分布列為ξ04080120160P求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每個(gè)值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值的定義求E(ξ).(5)由方差的定義求D(ξ).思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2020·遼寧省本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)期末)已知隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝n)＝

(a∈R，n＝1,2,3)，則a＝________，D(X)＝________.解析因?yàn)镻(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，(2)現(xiàn)有A，B，C3個(gè)項(xiàng)目，已知某投資公司投資A項(xiàng)目的概率為

，投資B，C項(xiàng)目的概率均為p，且投資這3個(gè)項(xiàng)目是相互獨(dú)立的，記X是該投資公司投資項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，若P(X＝0)＝

，則隨機(jī)變量X的均值E(X)＝______.解析

由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3，KESHIJINGLIAN3課時(shí)精練1.拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，則“ξ≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是A.第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)

B.第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C.第一枚1點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)

D.第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)123456789101112131415基礎(chǔ)保分練√解析第一枚的點(diǎn)數(shù)減去第二枚的點(diǎn)數(shù)不小于5，即只能等于5.故選D.16123456789101112131415√解得a＝3，161234567891011121314153.(2021·沈陽模擬)設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值為E(X)＝3，則a－b等于√解析由題意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，161234567891011121314154.已知隨機(jī)變量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為ξ4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7

D.8√解析由概率分布列性質(zhì)，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7，故選C.161234567891011121314155.(多選)(2020·泰安期末)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有A.q＝0.1 B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8 D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2√√√16解析因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確.故選ACD.123456789101112131415161234567891011121314156.(多選)(2020·杭州質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pb－abaA.E(ξ)增大

B.E(ξ)減小C.D(ξ)先增大后減小

D.D(ξ)先減小后增大√√16123456789101112131415解得b＝0.5,0≤a≤0.5，∴E(ξ)＝0.5＋2a,0≤a≤0.5.D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a16123456789101112131415161234567891011121314157.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為______.40%解析由分布列的性質(zhì)得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.161234567891011121314158.隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________.16123456789101112131415解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.161234567891011121314159.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123P0.5xy16123456789101112131415解析由分布列性質(zhì)，得x＋y＝0.5.1612345678910111213141510.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則P(ξ＝2)＝_______.解析由題意可知，1612345678910111213141511.(2021·皖南八校模擬)小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A，B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A，B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A，B，C猜中的概率分別為

，

，

，且A，B，C是否猜中互不影響.(1)求A恰好獲得4元的概率；16123456789101112131415解依題意，當(dāng)且僅當(dāng)C猜中時(shí)A恰好獲得4元，16123456789101112131415(2)設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列.解X的所有可能取值為0,4,6,12，∴X的分布列為X04612P1612345678910111213141512.某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為

和

；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

，

和

.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.16解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150.則X1的分布列為123456789101112131415X1300－150P16若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300,0.則X2的分布列為123456789101112131415X2500－3000P16123456789101112131415所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.16123456789101112131415技能提升練13.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝

，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為A.10% B.20%

C.30% D.40%√16123456789101112131415解析設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，所以x＝2或8.因?yàn)榇纹仿什怀^40%，1612345678910111213141514.如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝________.16123456789101112131415解析由題意知X＝0,1,2,3，16123456789101112131415拓展沖刺練15.(多選)(2020·煙臺(tái)質(zhì)檢)某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每個(gè)餐廳的概率相同)，則下列結(jié)論正確的是√√√16123456789101112131415解析四人去餐廳就餐的情況共有64種，設(shè)四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)為ξ，則ξ＝0,1,2,3,4.16123456789101112131415則四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的分布列為ξ01234P161234567891011121314151616.(2020·唐山模擬)某城市美團(tuán)外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)每月配送單數(shù)為X，若X∈[1,300]，每單提成3元，若X∈(300,600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元，餓了么外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元，小王想在美團(tuán)外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2020年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：123456789101112131415表1：美團(tuán)外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x(單)131416171820天數(shù)2612622表2：餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y(單)111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)美團(tuán)外賣配送員月工資為f(X)