2024年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（全國(guó)）（第一期）專(zhuān)題16 二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）（解析版）

專(zhuān)題16二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）一、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．(1)如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為_(kāi)_____；(2)如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)．①請(qǐng)直接寫(xiě)出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；(3)為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)(2)①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)，理由見(jiàn)解析(3)這條鋼架的長(zhǎng)度為米【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計(jì)算求出a的值即可；（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點(diǎn)為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，令中，求出符合實(shí)際的x值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，得：，即，，水滑道所在拋物線的解析式為；（2）解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，則，即或（舍去，不符合題意），點(diǎn)，，，，此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)；（3）解：根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，令，即，（舍去，不符合題意）或，，設(shè)所在直線的解析式為，將代入得：，解得：，所在直線的解析式為，如圖，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，聯(lián)立，即，整理得：，該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，，即該鋼架所在直線的解析式為，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，，，，，這條鋼架的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想．2．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測(cè)量拋物線的開(kāi)口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開(kāi)口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為．①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；(3)a的值為或．【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖形寫(xiě)出點(diǎn)或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；（3）先求得，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求得頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，再分類(lèi)求解即可．【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)拋物線的解析式為，由題意得，解得，∴y與x的關(guān)系式為；（2）解：方案一：①∵，，∴，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；方案二：①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∴，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；（3）解：根據(jù)題意和的對(duì)稱(chēng)軸為，則，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；綜上，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)M．∴軸，∴，∴，設(shè)的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（3）解：由中心對(duì)稱(chēng)可知，拋物線F與的公共點(diǎn)E為直線與拋物線F的右交點(diǎn)，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線．如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)為邊時(shí)，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．4．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且，對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)若是拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值．【答案】(1)該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)10(3)1【分析】（1）先求得的值，再配成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，利用勾股定理結(jié)合題意求得，在的外部，作，且，證明，得到，當(dāng)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)落在線段上時(shí)，取得最小值，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：，得．又，該拋物線的解析式為．，該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則．在中，由，．解得（舍）．點(diǎn)的坐標(biāo)為．，即．拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于點(diǎn)，則．在中，由，．解得負(fù)值舍去．由，得該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．該拋物線的解析式為．點(diǎn)在該拋物線上，有．；（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則．．在中，．過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則．，又，．∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．在中，，，即．根據(jù)題意，，得．在的外部，作，且，連接，得．．∴．．當(dāng)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)落在線段上時(shí)，取得最小值，即．在中，，．得．．解得（舍）．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)都在拋物線上，得．．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，勾股定理，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)相等，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：該拋物線的頂點(diǎn)為，即該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，，，將代入解析式，則，，拋物線的解析式表達(dá)式為；（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：直線的解析式為，則，，，，，，，，，，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，令，即，解得：，根據(jù)題意得：，，軸，軸，，，，，即，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問(wèn)題，二次函數(shù)與面積綜合問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．6．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．(1)直接寫(xiě)出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】(1)(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)為直線，開(kāi)口向上，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；Ⅱ：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，考慮兩個(gè)臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，即方程無(wú)解；Ⅲ：可求點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．【詳解】（1）解：∵，∴將，代入，得：，解得：，∵，∴將，代入得：，解得：；（2）解：Ⅰ，∵，∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)為直線，開(kāi)口向上，∴時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，，∴時(shí)，y隨著x的增大而增大，綜上，x的取值范圍：或；Ⅱ，∵，∴，在時(shí)無(wú)解，∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，∵對(duì)于，當(dāng)時(shí)，∴頂點(diǎn)為，如圖：∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)，，∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，∴當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，即：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解；Ⅲ：∵，∴，∴點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴①當(dāng)，如圖：由題意得：，∴；②當(dāng)，如圖：由題意得：，∴，綜上：或．7．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則∵，則，對(duì)稱(chēng)軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中∴，①當(dāng)時(shí)，，解得：或②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，解得：（舍去）或，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，解得：或（舍去）此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．9．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱(chēng)軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過(guò)拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則有，過(guò)點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，∴，過(guò)點(diǎn)作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知?jiǎng)t有；（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過(guò)D作于點(diǎn)H，則，即可求得；（3）設(shè)可求得直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，整理得，解得∴則；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，則設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵點(diǎn)D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，則；（3）設(shè)直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，∵點(diǎn)，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值為：【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；（2）求解的對(duì)稱(chēng)軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵的對(duì)稱(chēng)軸為直線，而，∴函數(shù)最小值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)值的范圍為：；（3）解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，∴，∴直線為，∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，而頂點(diǎn)為，∴，∴在直線上，如圖，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，∵，，∴，，∵對(duì)稱(chēng)軸與軸平行，∴，∴，∴，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得：，，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴，∴，∴，即的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；(3)【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對(duì)稱(chēng)軸公式可得答案；（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為：，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴；（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．∴，，∵，∴，∵，∴即，解得：.【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識(shí)點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)和．(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.14．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設(shè)，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如圖：由得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱(chēng)，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，同上可求直線表達(dá)式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）設(shè)，則，，由，可得，解出的值可得的坐標(biāo)為；（3）過(guò)作軸交直線于，求出，知，故，設(shè)，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，，把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)，則，，，，解得或（此時(shí)不在直線上方，舍去）；的坐標(biāo)為；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使的面積等于面積的一半，理由如下：過(guò)作軸交直線于，過(guò)點(diǎn)B作，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，如圖：在中，令得，解得或，，，，，，設(shè)，則，，∵，的面積等于面積的一半，，，或，解得或，的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；(3)當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對(duì)稱(chēng)軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：連接，

，．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，．令，解得，．，，點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，故，其對(duì)稱(chēng)軸為，且．①當(dāng)時(shí)，即．由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得或（舍去）．②當(dāng)時(shí)，得，由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問(wèn)題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問(wèn)題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象均過(guò)點(diǎn)，．(1)求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，且在圖象上，直線l過(guò)點(diǎn)P且與x軸平行，與圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點(diǎn)為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作．交圖象于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)時(shí)，求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）可求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱(chēng)軸為直線．作直線，交直線l于點(diǎn)H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得，，，由，得到，設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，，，故有，解得，（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）連接，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，可求，，則，，，而，則．設(shè)，則，，，即，可得，故，則，則①，由點(diǎn)F在上，得到，化簡(jiǎn)得②，由①，②可得，解得，因此，故的函數(shù)表達(dá)式為．【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，，解得：對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得：，解得：．對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱(chēng)軸為直線．又圖象的對(duì)稱(chēng)軸也為直線，作直線，交直線l于點(diǎn)H（如答圖①）由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得，，∴．又，而．設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．將代入，得，將代入，得．，，即，解得，（舍去）．點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：連接，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J．（如答圖②），軸，軸，四邊形為矩形，，．設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，將分別代入，得，∴，，，，．在中，．，．又，．．設(shè)，則，．，．，．，．又，，①點(diǎn)F在上，，即．，②由①，②可得．解得（舍去），，．的函數(shù)表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．18．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過(guò)，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚?xiě)、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值為或或．【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，不等式性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)變形，即可判斷②③．（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合進(jìn)行求解，即可解題；（3）根據(jù)題意得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且，，且拋物線開(kāi)口向上，與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．即向上平移1個(gè)單位，，且，①；，，即②；，即③．故答案為；；；；（2）解：，，，，；（3）解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，有，解得；②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，有，解得（舍去）或，③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，有，解得（舍去）或；綜上所述，b的值為或或．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．(1)直接寫(xiě)出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在上．淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．(3)當(dāng)時(shí)，①求直線PQ的解析式；②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說(shuō)法都正確，理由見(jiàn)解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點(diǎn)，交點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，∴，∴在上，∴嘉嘉說(shuō)法正確；∵，當(dāng)時(shí)，，∴過(guò)定點(diǎn)；∴淇淇說(shuō)法正確；（3）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)，而，設(shè)為，∴，解得：，∴為；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點(diǎn)，交點(diǎn)，由直線，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∴，解得：；【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長(zhǎng)最?。舸嬖冢蟪鳇c(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；(3)的取值范圍為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)M，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；（3）以為邊在的下方作等邊三角形，得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的表達(dá)式為，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：∵點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴點(diǎn)，∵，，∴長(zhǎng)為定值，作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，連接交軸于點(diǎn)M，則，∴，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線的解析式為，則，解得，，∴直線的解析式為，令，則，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點(diǎn)，連接，，∵等邊三角形，∴，，，∴，∴，，，∵，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，有最大值為；∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．22．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．23．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）令，則，∴，∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．∵，∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．（3）根據(jù)，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)，，．∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過(guò)，的兩種情況：①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿(mǎn)足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿(mǎn)足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．∴a的取值范圍是．24．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為或(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過(guò)作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設(shè)，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標(biāo)為或；（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設(shè)，，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，①，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標(biāo)為；④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標(biāo)為；綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．25．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見(jiàn)解析(3)、、、【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．（3）①以為對(duì)角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以為邊，如圖以為圓心，為半徑畫(huà)圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)，代入得，解得，∴．（2）存在．理由：∵軸且，∴，∴（舍去），，∴．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，∵，∴，∵，∴．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，，，∴，．連接交拋物線于，連接交拋物線于，∴，的解析式為，，∴，解得，或，解得．∴把，代入得，，∴，．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．（3）、、、．方法一：①以為對(duì)角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于∵，，∴．設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，．②以為邊如圖以為圓心，為半徑畫(huà)圓交直線于點(diǎn)，；連接，，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，和相交于點(diǎn)，同理可得，，，．過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則；在和中，由勾股定理得，，，．點(diǎn)是由點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，，，③以為邊如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，，、，，，、、三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，和相交于點(diǎn)，∵、，的中點(diǎn)．，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．綜上所述：、、、．26．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫(huà)出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn),則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．27．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為；；(3)或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，解得，∴；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，∵當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，，設(shè)為，∴，解得：，∴直線為：，設(shè)，∴，∴，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；此時(shí)；（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∴新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，∵，同理可得：直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，解得：或（舍去）∴；如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，設(shè)，則，同理可得：，∴或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（2）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得或，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，∴，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)線得交拋物線于點(diǎn)，∴，設(shè)交軸于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，過(guò)點(diǎn)作軸，作軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，∴∵，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問(wèn)題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)求的值；(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．①求的值；②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．【答案】(1)對(duì)稱(chēng)軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對(duì)稱(chēng)軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計(jì)算，當(dāng)時(shí)，可得，則，，可得，可得當(dāng)時(shí)，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線：；（2）解：∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，如圖，∵直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴此時(shí)，∵對(duì)于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）如圖，以為對(duì)角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過(guò)作軸的平行線交軸于，過(guò)作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，設(shè)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，有最大值；此時(shí)；（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，∴，∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過(guò)作軸的平行線交軸于，過(guò)作于，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，則，∴,∴，由可得：∴，解得：，∴，設(shè)為：，∴，解得：，∴直線為：，∴，解得：或，∴，∵，，，正方形，∴，同理可得：直線為，∴，解得：或，∴，綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱(chēng)軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為原來(lái)的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可求解；（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，可得，作H關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)G，由題意得，∵對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點(diǎn)為∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點(diǎn)為，∴的表達(dá)式為：，即（2）解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，∴，∵，∴直線為直線，∵軸，∴，對(duì)于拋物線，令，則，∴，∵點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)，∵軸，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，而，∴的最小值為；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：∵拋物線，∴∵軸，∴，∵，∴，∴，作H關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為：，代入，,得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，得：，解得：或（舍），∴；②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，如圖：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由點(diǎn)得：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入點(diǎn)N，E，得：，解得：∴直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長(zhǎng)．（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．（2）∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標(biāo)為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴．∴．（3）①根據(jù)題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，設(shè)，∵點(diǎn)F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)