2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)1.1探索勾股定理（第一課時(shí)）【課件】

第一章勾股定理1探索勾股定理（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入典例講練目錄CONTENTS課前預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

勾股定理.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b和c

分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

?.注意：（1）運(yùn)用勾股定理的前提是直角三角形；（2）要分清

直角邊和斜邊.a2＋b2＝c2

2.若將以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積分別

記為Sa

，Sb以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積記為Sc

，則Sa

，

Sb

，Sc

三者之間的關(guān)系是

?.Sa

＋Sb

＝

Sc

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入

如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？導(dǎo)入新課（圖中每一格

代表1cm2）（1）正方形

P

的面積是

cm2；（2）正方形

Q

的面積是

cm2；（3）正方形

R

的面積是

cm2.121SP

+

SQ

=

SRRQPACBAC2

+

BC2

=

AB2等腰直角三角形ABC

三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？SP=AC2

SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.勾股定理的初步認(rèn)識(shí)新課講授填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表

(每個(gè)小正方形的面積為單位1).

A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形

C的面積呢？9

16

9

？方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.13512ABC分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形

ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.做一做幾何語(yǔ)言：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴

a2+b2=c2(勾股定理).aABCbc∟總結(jié)歸納定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果

a，b和

c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

a2

+

b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：練一練8x17125x解：由勾股定理可得82+x2=172，

x=15.解：由勾股定理可得

52+122

=x2，

x=13.我們一起穿越到

2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如圖所示）：ABC穿越畢達(dá)哥拉斯做客現(xiàn)場(chǎng)正方形

A的面積正方形

B的面積正方形

C的面積+=一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=知識(shí)鏈接數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為

a，b，c.（1）若a＝8，b＝15，則c＝

?；（2）若a＝9，c＝15，則b＝

?；17

12

（3）若a∶b＝3∶4，c＝10，則a＝

，b＝

?.6

8

【解析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得

c2＝

a2＋b2＝82＋152＝289.所以

c＝17（負(fù)值舍去）.故答案為17.（2）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得b2＝c2－a2＝152－92＝144.所以

b＝12（負(fù)值舍去）.故答案為12.（3）由已知a∶b＝3∶4，可設(shè)a＝3k，b＝4k（k＞0）.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得（3k）2＋（4k）2＝102，即9k2＋16k2＝25k2＝100.解得k＝2（負(fù)值舍去）.所以a＝3k＝6，b＝4k＝8.故答案為6，8.【點(diǎn)撥】利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的基本方法：（1）首先要分清楚哪條邊是斜邊，哪兩條邊直角邊；（2）正確代入

a2＋b2＝c2（其中a，b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)）；（3）“知二求一”，計(jì)算出第三邊的長(zhǎng).像本例第（3）題中給出比例式

a∶b＝3∶4，解本題的基本方法是設(shè)出參數(shù)k（即設(shè)出新的未知數(shù)），并用含k的式子把a(bǔ)，b表示出來(lái)，再利用勾股定理建立方程，求出參數(shù)k的值，進(jìn)而求出a，b的值.

1.

求下列直角三角形中未知邊AB的長(zhǎng)度.（1）

（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2.所以AB2＝AC2－BC2＝202－122＝256.因?yàn)锳B＞0，所以AB＝16.（2）

（2）解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625.

因?yàn)?/p>

AB＞0，所以AB＝25.2.

（2021·成都）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代

表的正方形的面積為

?.100

（1）如圖，在△ABC中，已知AB＝15

cm，AC＝13

cm，BC

＝14

cm，求△ABC的面積.

【點(diǎn)撥】勾股定理只能在直角三角形中應(yīng)用，對(duì)于一般的三角形，常常作垂線(xiàn)（或作高）來(lái)構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求得未知線(xiàn)段的長(zhǎng).在構(gòu)造直角三角形時(shí)，盡量不要破壞已知條件中的特殊角和已知的邊.（2）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，求第三邊長(zhǎng)的

平方.解：①當(dāng)3和4都是直角邊的長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理，得32＋42＝

25.所以第三邊長(zhǎng)的平方為25.②當(dāng)4為斜邊的長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理，得42－32＝7.所以第三邊長(zhǎng)的平方為7.綜上所述，第三邊長(zhǎng)的平方為25或7.【點(diǎn)撥】若題目中明確給出斜邊的長(zhǎng)和一條直角邊的長(zhǎng)（或給出兩條直角邊長(zhǎng)），則直接運(yùn)用勾股定理求解；若題目中沒(méi)有明確指出給出的邊長(zhǎng)是直角邊的長(zhǎng)還是斜邊的長(zhǎng)時(shí)，就要分為兩邊都是直角邊或較長(zhǎng)的一邊是斜邊，另一邊為直角邊兩種情況討論.

1.

如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點(diǎn)C是BD上一點(diǎn).若BC

＝9，AB＝17，AC＝10，則AD的長(zhǎng)為

?.8

【解析】設(shè)CD＝x，則BD＝BC＋CD＝9＋x.在△ACD中，∠D＝90°，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2.在△ABD中，∠D＝90°，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2.所以AC2－CD2＝AB2－BD2，即102－x2＝172－（9＋x）2，解得x＝6.所以AD2＝102－62＝64.所以AD＝8（負(fù)值舍去）.故答案為8.2.

如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AD平分∠CAB，

DC＝1.5，BD＝2.5，求AC的長(zhǎng).

答圖

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm.在CD

上取一點(diǎn)E，將△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊BC的

點(diǎn)F處，求CE的長(zhǎng).解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以CD＝AB＝8

cm，AD＝BC＝10

cm，∠D＝90°.由折疊的性質(zhì)，得△AFE≌△ADE.

所以∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝10

cm，EF＝DE.

設(shè)CE＝x

cm（x＞0），則EF＝DE＝CD－CE＝（8－x）cm.在Rt△ABF中，∠B＝90°，由勾股定理，得【點(diǎn)撥】本題是軸對(duì)稱(chēng)（折疊、翻折等）的性質(zhì)與勾股定理的綜合應(yīng)用，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法是先分清折疊前后哪些線(xiàn)段相等，哪些角相等，再根據(jù)勾股定理建立方程求出所需線(xiàn)段的長(zhǎng).利用勾股定理建立方程求線(xiàn)段長(zhǎng)是解決折疊問(wèn)題的常用方法.AB2＋BF2＝AF2，即82＋BF2＝102.所以

BF＝6

cm（負(fù)值舍去）.所以

CF＝BC－BF＝10－6＝4（cm）.在Rt△ECF中，∠C＝90°，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2，即（8－x）2＝x2＋42，解得x＝3.故CE的長(zhǎng)為3

cm.

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P為AD上

一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至