人教A版新教材高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)學(xué)案1：6.1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

『導(dǎo)學(xué)聚焦』

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個(gè)向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

『自主預(yù)習(xí)』

『問題導(dǎo)學(xué)』

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個(gè)向量(向量的模)能否比較大??？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量成與向量法是相等向量嗎？

『新知初探』

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有又有的量.

(2)有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個(gè)要素：、、.

③表示：在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以N為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有向線段記

作.

④長度：線段的也叫做有向線段次的長度，記作.

(3)向量的表示

用有向線

段表示AB

用字母r用字母?；蛑^等表示

袤市L

■名師點(diǎn)撥

(1)判斷一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素.

(2)用有向線段表示向量時(shí)，要注意感的方向是由點(diǎn)/指向點(diǎn)8,點(diǎn)/是向量的起點(diǎn)，點(diǎn)8

是向量的終點(diǎn).

2.向量的有關(guān)概念

(1)向量的模(長度)：向量次的大小，稱為向量次的(或稱模)，記作.

(2)零向量：長度為的向量，記作0.

(3)單位向量：長度等于的向量.

3.兩個(gè)向量間的關(guān)系

(1)平行向量：方向或的非零向量，也叫做.若a,b是平行向量，記作

規(guī)定：零向量與任意向量，即對(duì)任意向量”，都有.

(2)相等向量：長度且方向的向量，若a,b是相等向量，記作。=4

■名師點(diǎn)撥

(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒有區(qū)別.

(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

『自我檢測』

。判斷(正確的打“寸'，錯(cuò)誤的打"X”)

(1)兩個(gè)向量，長度大的向量較大.()

(2)如果兩個(gè)向量共線，那么其方向相同.()

(3)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù).()

(4)向量就是有向線段.()

(5)向量質(zhì)與向量由1是相等向量.()

(6)兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線一定平行.()

(7)零向量是最小的向量.()

⑶已知向量。如圖所示，下列說法不正確的是()

MN

A.也可以用血表示B.方向是由〃指向N

C.起點(diǎn)是MD.終點(diǎn)是M

國已知點(diǎn)O固定，且|由|=2,則/點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線

C.一個(gè)圓D.不能確定

國如圖，四邊形48。和N3OE都是平行四邊形，則與應(yīng)）相等的向量有

『探究互動(dòng)』

探究點(diǎn)一向量的相關(guān)概念

『例1』給出下列命題：

①若冠=慶，則/,B,C,。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);

②在％2co中，一定有感=詼；

③若a=b,b=c,則a=c.

其中所有正確命題的序號(hào)為.

【規(guī)律方法】

（1）判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件

①有大小；②有方向.兩個(gè)條件缺一不可.

（2）理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

『跟蹤訓(xùn)練』

1.下列說法中正確的是（）

A,數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的?？梢员容^大小

2.下列說法正確的是()

A.向量成〃4)就是弱所在的直線平行于無所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.零向量與任一向量平行

D.共線向量是在一條直線上的向量

探究點(diǎn)二向量的表示

『例2』在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格的邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

(1)OA,使S|=4立，點(diǎn)/在點(diǎn)O北偏東45。方向上;

(2)AB,使|的|=4,點(diǎn)8在點(diǎn)/正東方向上;

(3)BC,使就|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30°方向上.

『規(guī)律方法』

用有向線段表示向量的步驟

『跟蹤訓(xùn)練』已知飛機(jī)從/地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)2地，再從8地按南

偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)C地,再從C地按西南方向飛行1000V2km到達(dá)。

地.

(1)作出向量感，BC，CD,就；

(2)問。地在工地的什么方向？。地距/地多遠(yuǎn)?

探究點(diǎn)三共線向量與相等向量

『例3』如圖所示，。是正六邊形48coM的中心，且為=a,0B=b,在每兩點(diǎn)所確定的

向量中.

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)與。共線的向量有哪些？

『互動(dòng)探究』

1.『變條件、變問法」本例中若虎=c,其他條件不變，試分別寫出與a,b,c相等的向量.

2.『變問法」本例條件不變，與4D共線的向量有哪些?

『規(guī)律方法』

共線向量與相等向量的判斷

(1)如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合，那么這兩個(gè)向量是共線向量.

(2)共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

⑶非零向量的共線具有傳遞性，即向量a,b,c為非零向量，若?！ǚ?，b〃c,則可推出

//C.

『注意』對(duì)于共線向量所在直線的位置關(guān)系的判斷，要注意直線平行或重合兩種情況.

『跟蹤訓(xùn)練』

1.已知向量成與向量炭1共線，下列關(guān)于向量式的說法中，正確的為()

A.向量正與向量次一定同向

B.向量ih向量感，向量病一定共線

C.向量元與向量病一定相等

D.以上說法都不正確

2.如圖，四邊形N3CD和8CED都是平行四邊形，在每兩點(diǎn)所確定的向量中：

⑴寫出與3c相等的向量;

⑵寫出與2C共線的向量.

『達(dá)標(biāo)反饋』

1.如圖，在％8a）中，點(diǎn)E,尸分別是N8,CO的中點(diǎn)，圖中與成平行的向量的個(gè)數(shù)為（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

2.下列結(jié)論中正確的是（）

①若?！āㄇ彝?回，則。=6；

②若a=b,則O〃6且同=例；

③若。與5方向相同且同=回，則。=〃；

④若a邦，則。與6方向相反且明臼.

A.①③B.②③

C.③④D.②④

3.已知。是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，在以O(shè),A,B,C,。這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn),

另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，寫出:

⑴與病相等的向量；

（2）與由長度相等的向量;

（3）與扇共線的向量.

★參*考*答*案★

『自主預(yù)習(xí)』

『新知初探』

1.⑴大小方向

(2)②起點(diǎn)方向長度

③通

④長度\AB\

2.⑴長度\AB\

⑵0

(3)1個(gè)單位長度

3.⑴相同相反共線向量

平行0〃a

(2)相等相同

『自我檢測』

n「答案」：(l)x(26(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x

@『答案』：D

?「答案」：C

H「答案」:AB,DC

『探究互動(dòng)』

探究點(diǎn)一向量的相關(guān)概念

『例1』『『解析』』AB=DC,A,B,C,D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在

^ABCD^P，\AB\=\DC\,盛與反平行且方向相同，故前=詼，故②正確；a=b,則同=例，

且。與6的方向相同；b=c,則向=|c|,且6與c的方向相同，則”與c長度相等且方向相

同，故〃=以故③正確.

『『答案』』②③

『跟蹤訓(xùn)練』

1.『解析」：選D.不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A,B不正確；向量的

大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，故c不正確；向量的模是一個(gè)

數(shù)量，可以比較大小.故D正確.

2.『解析」：選C.向量感〃比包含麻所在的直線與亦所在的直線平行和重合兩種情況，

故A錯(cuò)；相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同，故B錯(cuò)；C顯然正確；共線向量

可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò).

探究點(diǎn)二向量的表示

『例2』『解』(1)由于點(diǎn)/在點(diǎn)O北偏東45°方向上，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)/距點(diǎn)。的橫

向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又值|=4媳，小方格的邊長為1,所以點(diǎn)/距點(diǎn)。的橫

向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)/的位置可以確定，畫出向量晶，如圖所示.

(2)由于點(diǎn)8在點(diǎn)N正東方向上，且|的|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)8距點(diǎn)/的橫向小方格數(shù)為

4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)8的位置可以確定，畫出向量感，如圖所示.

(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°方向上，且|慶?|=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C

距點(diǎn)2的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為35弋5.2,于是點(diǎn)C的位置可以確定，畫出

『跟蹤訓(xùn)練』解：⑴由題意，作出向量凝，BC,CD,DA,如圖所示.

(2)依題意知，三角形N2C為正三角形，所以ZC=2000km.又因?yàn)镹/CD=45°,CD=1

OOOA/2,所以為等腰直角三角形，即NO=100Snkm,ZCAD=45°,所以。地在

工地的東南方向，距/地100琬km.

探究點(diǎn)三共線向量與相等向量

『例3』『解』(1)與。的長度相等、方向相反的向量有應(yīng))，BC,AV,FE.

(2)與。共線的向量有詬，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.

『互動(dòng)探究』

1.解：與"相等的向量有壽，DO,CB-.與分相等的向量有加，EO,