九年級數(shù)學(xué)人教版上冊知識點總結(jié)

九年級上冊人教版數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

知識點——元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元

二次方程。

注意一下幾點：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2;③是整式方程。

知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(a#0).其中，ax?是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系

數(shù)；c是常數(shù)項。

知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解

的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。

典型例題：

1、已知關(guān)于X的方程(m+G)x+(m-3)-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2降次——解一元二次方程

21.2.1配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地,

對于形如x2=a(aN0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得xi=&,x2=-6

(2)直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(mw0)形式的方程，如果p>0,就可以利用直接

開平方法。

(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們

互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：

①移項；

②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；

③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程

轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；

(4)若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知識點一公式法解一元二次方程

(1)一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0),如果b2-4ac>0,那么方程的兩個根為

2

-b±b-4ac

x=——y丫----------,這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元

2a

二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=O(a力0)

的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a/0),一般a化為正值

②確定公式中a,b,c的值，注意符號；

③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac>0,則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0,則方程無實數(shù)根。

知識點二一元二次方程根的判別式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(ar0)根的判別式,通常用希臘字母△表示它，

即A=b2-4ac.

21.2.3因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次

方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的詳細步驟：

①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合適的方法解一元一次方程

方法名稱理論依據(jù)適用范圍

直接開平方法平方根的意義形如x2=p或(mx+n)2=p(p>0)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法當ab=O,則a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的

一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為X1,X2,則有Xi+X2=-p,XiX2=q.

—be

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aw0)有兩個實數(shù)根xi,X2,則有xi+x=--,xix=-

2a2a

22.3實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。

(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

(3)歹11:列方程是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示

這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

(5)驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。

(6)答：寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

(1)數(shù)字問題

三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為X,則另兩個數(shù)分別為x-1,X+L

三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個三位數(shù)是100a+10b+c.

(2)增長率問題

設(shè)初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a

(l±x)2=b。

(3)利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：

①總利潤=總銷售價-總成本；

②總利潤=單位利潤x總銷售量；

③利潤=成本x利潤率

(4)圖形的面積問題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立

一元二次方程。

中考回顧

1.關(guān)于X的方程2/+/77X+/7力的兩個根是-2和L則仍的值為(c)

A.-8B.8C.16D.-16

2.已知關(guān)于x的方程g+x-a=0的一個根為2,則另一個根是(A)

A.-3B.-2C.3D.6

3.一元二次方程2〃-5x-24的根的情況是(B)

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.若X1,X2是一元二次方程爐+3X-5=0的兩個根，則+X1式的值是15.

5.如果關(guān)于x的方程/4X+2/77H）有兩個不相等的實數(shù)根，那么歷的取值范圍是m<2.

6.已知所,總是關(guān)于x的一元二次方程/-5x+a=0的兩個實數(shù)根，且寸-3=10廁a=4

-4

模擬預(yù)測

1.方程g+x-12=0的兩個根為（D）

A.AI=-2,A>=6B.AI=-6,放=2

C.M=-3,放=4D.XI=-4,X2=3

2.對形如（X+/77）2=〃的方程，下列說法正確的是（C）

A.都可以用直接開平方得x=-m士京B.都可以用直接開平方得x=-n士而

C.當/7>0時,直接開平方得x=-m士GD.當n>0時,直接開平方得x=-n士河

3.三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程g-lOx+21=0的解，則第三邊的長為（A）

A.7B.3

C.7或3D.無法確定

4.為解決群眾看病貴的問題，有關(guān)部門決定降低藥價,對某種原價為289元的藥品進行連續(xù)兩次降價后為

256元，設(shè)平均每次降價的百分率為％則下面所列方程正確的是（A）

A.289（l*2=256B.256（1-A）2=289C.289（1-2A）=256D.256（1-2M=289

5.若關(guān)于x的一元二次方程（m-l）g+5x+濟3m+2=0的常數(shù)項為0,則m的值等于（）

A.lB.2C.1或2D.0

函由常數(shù)項為零知蘇-3m+2=0解之，得他=1,利=2.又二次項系數(shù)m-lHO,所以mt1.綜上可知,m=2.

故選B.

6.若關(guān)于x的一元二次方程2-3x-2a-0有兩個實數(shù)根，則a可取的最大負整數(shù)為.

薪］由題意可知/=9+8*0,故掄三所以a可取的最大負整數(shù)為-1.

7.已知X1,A＞是關(guān)于x的一元二次方程*-Qm+3)x+*=0的兩個不相等的實數(shù)根,且滿足Xi+垃=加,則m

的值＞.

亟因為一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以[-(2。+3)]24加＞0,即m＞§由根與系數(shù)的關(guān)系可知

Ai+及=2/77+3,所以2m+3=加彳導(dǎo)利=-1,02=3,故m=3.

8.某地特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為40元/午克,如果按60元/午克出售，那么平均每天可售出100kg.后

來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元很！1平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平

均每天獲利2240元，請回答：

(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元？

(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？

(1)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元,根據(jù)題意彳導(dǎo)

(60-X/0乂100-7X20)-2240.

化簡狷/-10x+24=0.

解得＜*!=4〃=6.

答:每千克核桃應(yīng)降價4元或6元.

(2)由(1)可知每千克核桃可降價4元或6元，因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元.此

時,售價為60-6=54(元)，所以三X1OO%=9O%.

60

答:該店應(yīng)按原售價的九折出售.

第22章二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題

1.定義：一般地，如果y="2+^+c(a也c是常數(shù)，“。0),那么y叫做x的二次函數(shù)

2二次函數(shù)y=a/的性質(zhì)

(1)拋物線y=?的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)y=?的圖像與“的符號關(guān)系.

①當a>0時o拋物線開口向上o頂點為其最低點;

②當a<0時o拋物線開口向下o頂點為其最高點.

(3)頂點是坐標原點，對稱軸是)，軸的拋物線的解析式形式為y=ax2(?^0).

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：

曠=心-切2+%的形式，其中〃=_二，kJacjT

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①y=ax?;②y=ax2+k；③y=a(x—〃)-；④y=a(x-//)2+k；⑤y=ax1+hx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①。的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；

時越大，拋物線的開口越小；M越小，拋物線的開口越大。

②平行于J軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，)，軸記作直線x=0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)。相同，那么拋物線的開口方向、開口大

小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

、2o

［b|4ac-b

X-\--------H---------------------------,

2a)^a

.?頂點是(-2,處土)，對稱軸是直線》=-2.

2a4a2a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-+k的形式，得到頂點為(力,女),

對稱軸是直線

(3)拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線是拋

物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證,才能做到萬無一失.

9.拋物線y=ax?+Ox+c中，a,h,c的作用

(1)?決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的。完全一樣.

(2)/口a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸是直線

hh

x=—一，故：①〃=0時，對稱軸為)，軸；②2>0(即4、〃同號)時，對稱軸在)，軸左側(cè)；

2aa

h

③一<0(即“、8異號)時，對稱軸在軸右側(cè)，"左同右異".

a

(3)c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c^y軸交點的位置.

當x=0時，y=c,，拋物線y+陵+。與)，軸有且只有一個交點(0,c):

①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與)，軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負半軸.

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

當a>0時

y=ax2+kx=0(y軸)(0,k)

開口向上

y=a[x-hfx=h(〃,0)

當。<0時

y=?(x-/z)2+kx=h(h,k)

開口向下b

y=ax1+Z?x+cx=----b4ac-b2

2a(，)

2a4a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)T殳式：y=ax2+bx+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-力尸+h已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標X］、x2,通常選用交點式：y=a(x-X1)(x-X2)-

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為(0,c).

(2)與)，軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點(h,ah2+bh+c).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y=a/+0x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標毛、馬，是對應(yīng)一元二次方程

ax2+bx+c=O的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式

判定：

①有兩個交點?！?gt;0o拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)o△=0o拋物線與x軸相切；

③沒有交點。△<0o拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱

坐標為k,則橫坐標是ax2+bx+c^k的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù),y=kx+R0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c[a豐0)的圖像G的交點，由方程

y=kx-\-n?

組21的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時oI與G有兩個交點；②方

y-ax+法七。

程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時。/與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y^ax'+bx+c與x軸兩交點為A&Q),鳳和0)，

由于X]、X2是方程公2+bx+c=0的兩個根，故

bc

X1+工2=——，X2=一

a*■a

AB=|x,-x2|=J仇-%)2=-々)2-4X/2=

中考回顧

1.已知拋物線y=^^x+3與x軸相交于點Z,仇點力在點8左側(cè))，頂點為M平移該拋物線，使點例平移后

的對應(yīng)點例落在x軸上，點8平移后的對應(yīng)點8落在y軸上，則平移后的拋物線解析式為(A)

A.y=M+2x+lB.y=A2+2xAC.y=x^-2x+lD.y-A2-2x-l

2在平面直角坐標系xCy中，二次函數(shù)片a/的圖象如圖所示，下列說法正確的是(B)

A.abc<Q,b^-^ac>Q

B.abc>Q,t^AaoO

C.abc<Q,"4acvO

D.abc>0,t^Aac<Q

3.如果關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是mv2.

4.如圖，二次函數(shù)片靜，6年此權(quán)0)的圖象交x軸于48兩點交y軸于點。點8的坐標為(3,0),頂點C的

坐標為(L4).

備用圖

Q)求二次函數(shù)的解析式和直線8。的解析式；

⑵點P是直線6。上的一個動點，過點。作x軸的垂線交拋物線于點例當點P在第一象限時，求線段PM

長度的最大值；

(3)在拋物線上是否存在異于自。的點Q使A6OQ中8。邊上的高為2\2若存在求出點Q的坐標;若不存

在請說明理由.

園⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為片a(x-l)2+4.

??點僅3,0)在該二次函數(shù)的圖象上，

--0=式3-1)2+4,解得:a=-l.

二二次函數(shù)的解析式為y=H+2x+3.

.點。在y軸上，所以可令xN,解得:片3.

二點。的坐標為(0,3).

設(shè)直線8。的解析式為片依+3把(3,0)代入得3Z+3H),解得波=工

二直線8。的解析式為y=-x+3.

(2)設(shè)點P的橫坐標為m[m>0),則Rm「m+3),+2/77+3),

PM=-出+2m+3{-m+3)=-滸+3m=卜11--々V/最大值為:

⑶如圖，過點Q作QGlly軸交8。于點G作QH'BD于點?則QH=2盤,

設(shè)@%-砂+2*+3),貝［|G(%-x+3),

QG4*+2x+3-(-x+3)/=/-*+3x/.

“。。8是等腰直角三角形，

.23=45?！?2=/1=45。.

.?.sinNl嗡==,.:QG=4.

得/-/+3x1=4.

當H+3X=4時,/-9-16<0,方程無實數(shù)根.

當H時，解得:吊=-1,及=4,Q(4,-5),Q(-L0).

模擬預(yù)測

1.已知二次函數(shù)y=Zx2-6x+3的圖象與x軸有交點，則Z的取值范圍是(D)

A.Zv3B.Z<3,且60C.^<3。心3,且60

2若點M-2，n)，M-IMR8")在拋物線片爭+2x上，則下列結(jié)論正確的是(C)

A.J4<y2<yiB.yi<yi<yiC.a<yiD.yi師<yz

園x=-2時必=；/+2x=Jx(-2)2+2x(-2)=-24=￡

x=-l時十=貨+2*=,x(-l)2+2x(-l)=^-2=-2i

x=8時必=+2x=Jx82+2x8=-32+16=-16.

--16<-6<-2,必<yiw.故選C.

3.已知一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)的兩個實數(shù)根xi,及滿足X1+x2=A和M?至=3,則二次函數(shù)

片a好+6xYa>0)的圖象有可能是()

|解析:及=4〃：二=4.

.：二欠函數(shù)的對稱軸為x=~=2.

2a

'.'XyXi=3'.--3.

ra

當a>0時,c>0〃二次函數(shù)圖象交于y軸的正半軸.

4.小明在用"描點法"畫二次函數(shù)片a/的圖象時冽了如下表格:

X-2-1012

y-6--4-2--2-2f

根據(jù)表格中的信息回答問題:該二次函數(shù)*a解+bx+c在x=3時,h4.

5.若關(guān)于x的函數(shù)y=k#+2x-l與x軸僅有一個公共點很按數(shù)Z的值為〃力或攵=-1.

6.拋物線y=H的圖象如圖，若將其向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度,則平移后的解

析式為.

畫由題中圖象可知,對稱軸x=l,所以-；=1,即b=2.

把點(3,0)代入片/+2x+c得c=3.

故原圖象的解析式為_/=-扉+2*+3,即y=Yx-l)2+4,然后向左平移2個單位，再向下平移3個單位彳導(dǎo)

y=-(x-l+2尸+4-3,即y=-解-2x.1案加-/-2x

7.如圖@若拋物線2i的頂點A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點8也在拋物線Li上(點A與點8不重合),

我們把這樣的兩拋物線互稱為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條.

(1)如圖②，已知拋物線心沙=2產(chǎn)-8x+4與y軸交于點C試求出點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D

的坐標；

(2)請求出以點。為頂點的心的“友好”拋物線。的解析式,并指出《3與。中y同時隨x增大而增大的

自變量的取值范圍；

(3)若拋物線〃=的(火-/77)2，〃的任意一條"友好”拋物線的解析式為卜=改(*小)2+￡請寫出為與宓的關(guān)

系式,并說明理由.

獻1),.拋物線L3：y=2年-8x+4,

.y=2(x-2)M.

頂點為(2,4),對稱軸為*=2,

設(shè)x=0測片4,/0,4).

..點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點。的坐標為(4,4).

(2)?.以點"4,4)為頂點的L3的友好拋物線U還過點(2,-4),14的解析式為y=-2(x-AY+4..&與。

中，同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍是24X44.4

(3)出=-血/n_v

/\o\O

理由如下：：拋物線Li的頂點A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點B也在拋物線21

上,

Ln=a'("i-爐+”,①

.何以列出兩個方程卜=a.而+兒②

由。+②，得(質(zhì)+改)(/n-/)2=0,.ai=-42.

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

知識點一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點。叫做旋轉(zhuǎn)中心,

轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。

知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：

(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點：

(1)圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

(2)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。

(3)圖形的大＜］環(huán)口形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。

知識點三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：(1)任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(2)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)

中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。

步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；

②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度(作旋轉(zhuǎn)角)

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點;

④接：即連接到所連接的各點。

23.2中心對稱

知識點一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)

于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。

注意以下幾點：

中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；

只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180。兩個圖形能夠完全重合。

知識點二作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形

要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點。最

后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。

知識點三中心對稱的性質(zhì)

有以下幾點：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等。

知識點四中心對稱圖形的定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心

對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

知識點五關(guān)于原點對稱的點的坐標

在平面直角坐標系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p(x,y)關(guān)于原點對稱點為

BC

A3B.丑C.5D$

516

麗:在矩形ABCD中/8/D。，

且由折疊可得ABE匡4BEA,

.2BFEa°,AE=EF,AB=BF.

在RbZS。中,/8=。=6,&7=力。=8,

根據(jù)勾股定理得8。=10,即尸。=10￡=4,

設(shè)￡下二心%則有ED=3-x,

根據(jù)勾股定理得*=（8*2,

解得x=3,所以DE=8-3=5,故選C.

7.如圖才巴正方形紙片ABCD先沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為例”再過點8折疊紙片，使點力

落在例/V上的點尸處折痕為6￡若28的長為2,則加的長為（B）

不：

-------------------1c

A.2B.、月C.&D.1

畫］,?四邊形/8C。為正方形,28=2,過點8折疊紙片，使點/落在MN上的點FZ.FB=AB=2,BM=\,

則在RUBMF電FM=NW=小丁=遇故選B.

8.（2017湖南長沙中考）如圖，將正方形折疊,使頂點Z與。邊上的一點〃重合（〃不與端點C。重

合）,折痕交，。于點￡交8c于點￡邊折疊后與邊8c交于點G設(shè)。H_________「正方形

的周長為“,A0VG的周長為〃，則濰］值為（B）￡

1

_A1.............二

A.=B.；C.孚D.隨〃點位置的變化而變化

4一4

解析:設(shè)。/=%?！旰魟tDHq-x,EH=EA=^-yjzEHGWb°,；zDHE+4CHGWN.

.ZDHE+乙DEHGG。，

.-.^DEH=ACHG,

又.zD=/090°,△DEH-△CHG,

CG__CH__HGaCG_x_HG

-'-DH~DE~EH，即R一亍一苧7

△O/G的周長n=CH+CG+HG=^—,

y

在叱DEH中,DN+DR=EH1,

即得才"K-J,

整理得早一層當

mx2my

.,n=CH+HG+CG^—=工=2

yy2

故行押嚙B.

模擬預(yù)測

1.下列標志中，可以看作是中心對稱圖形的是（D）

?&G0

ABCD

2.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（B）

OAeK

ABCD

3.如圖才巴一張矩形紙片28。沿對角線ZC折疊，點8的對應(yīng)點為B：AB'與。0相交于點￡則下列結(jié)論一

定正確的是（）

4.乙DAB'=zCABB.乙ACD=^B'CD

C.AD=AED.AE=CE

|ii]D

4.如圖由巴一張長方形紙片對折,折痕為再以的中點。為頂點把平角N/O8三等分，沿平角的三等分

線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以。為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的

平面圖形一定是（D）

A.正三角形B.正方形

C.正五邊形D.正六邊形

亟根據(jù)第一次對折以及三等分平角可知將360。進行6等分,即多邊形的中心角為60。,由最后的剪切可知

所得圖形符合正六邊形特征.故選D.

5.如圖，直線/是四邊形28。的對稱軸.若有下面的結(jié)論:CD,②AC1BD.③AO=OC;④AB

D

"L8C其中正確的結(jié)論有.（填序號）

R

國⑦②③

6.如圖，在四邊形/8C。中，點例/V分別在/日比上將AS例/V沿用/V翻折狷A/TWV若MFWAD.FNWDC.

則N8=95。

|解析-.FN\\DC,"BNF=4070。.

■.MFWAD,.zBMF="=100°.

由翻折知,NF=N8.

又"BMF+zB+zBNF+zF=360°,

.-.100°+AB+1G°+ZA=360°,

.'=N8=36°”TO"=95。

7.如圖，在平面直角坐標系中，若A/ISC與關(guān)于點￡成中心對稱,則又撇中心點￡的坐標是（3,-1）

8在Rb/SC中/8/0=90。/8=3,例為邊8c上的點，連接如圖）.如果例沿直線力用翻折后，點B

恰好落在邊女的中點處,那么點例到力C的距離是2.

麗如圖，過點例作MN±.AC=yN,

由折疊性質(zhì)可知/BAM=^CAM=AS°.

■點8恰好落在邊力0的中點處，

.-.AC=2AB=6.

.zANMGU,

；.4CAM=乙AMN=45°.

..MN=AN.

由RbCNM-Rt△C48得E=W，

ABCA

.MX_&MX

'一6'

..MN=2.

9.A/6C在平面直角坐標系中的位置如圖.

⑴作出“8C關(guān)于p軸對稱的并寫出“i8iG各頂點的坐標；

⑵將用8C向右平移6個單位，作出平移后的A/h&G,并寫出A/2&G各頂點的坐標;

⑶觀察A48IG與A/b&G,它們是否關(guān)于某直線對稱?若是,請在圖上畫出這條對稱軸.

囤⑴“i&G如圖,4(0,4),&億2),QQ,1).(2)△"&G如圖A(6,4),&(4,2),G(5,1).(3)A48IG與△

22&G關(guān)于直線x=3對稱如圖.

y

第二十四章圓

知識點一圓的定義

圓的定義：

第一種：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫作

圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。

第二種：圓心為O,半徑為r的圓是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但

是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。

知識點二圓的相關(guān)概念

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

(2)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，

每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段,弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等

弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識點一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為MD,AB是弦，

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

如上圖所示，直徑MD與非直徑弦AB相交于點C,

CD±AB

AC=BCAMWBh/T

AD=BD

注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論

不成立。

24.1.3孤、弦、圓心角

知識點弦、弧、圓心角的關(guān)系

(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

也相等。

(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其

余的各組量也相等。

(3)注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、

弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。

24.1.4圓周角

知識點一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一

半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對弦是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。"同弧或等弧"是不能改為"同

弦或等弦"的,否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。

知識點二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫

做這個多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：Q)圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

(2)四個內(nèi)角的和是360°

(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角

24.2點.直線和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圓的位置關(guān)系

知識點一點與圓的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)三種。

(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)OO的半徑是r,點P到圓的距離OP=d,則有：

點在圓外軍f點在圓上點午在圓內(nèi)

Pdpd=r;d<r0=

知識點二

(1)經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓

(2)不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一

個圓。

知識點三三角形的外接圓與外心

(1)經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

知識點四反證法

(1)反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原

命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；

③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

知識點一直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)的半徑是r,直線I與圓心0的距離為d,則有：

直線I和相交dQ;

直線I和。。相切dg

直線I和0。相離d0

知識點二切線的判定和性質(zhì)

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切

線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

知識點三切線長定理

(1)切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩

條切線的夾角。

(3)注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是

一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。

知識點四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的外切三角

形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內(nèi)心已知時，過三角形的頂點和

內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

(4)直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：

①直角三角形直角邊為a.b,斜邊為c,直角三角形內(nèi)切圓半徑為r.21+"「=(;得。

2

②根據(jù)三角形面積的表示方法：^ab=-(a+b+c)r,r=?.

22a+b+c

24.3正多邊形和圓

知識點一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點所得的多邊形

是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

知識點二正多邊形的性質(zhì)

(1)各邊相等，各角相等；

(2)都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都經(jīng)過n邊形的中心。

(3)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。

(4)所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的

中心；當正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱

中心。

(5)正n邊形的每f內(nèi)角等于"匚2）x180：,中心角和外角相等，等于弛

nn

24.4弧長和扇形面積

知識點一弧長公式L=&或

180

在半徑為R的圓中，360。的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2nR,所以n。的圓心角所對的弧長的計算

八HccnriR

公式L二——x2n