材料力學(xué)(第三版) 課件 第12章 靜不定問題分析

第12章靜不定問題分析12.1引言12.2用力法分析求解靜不定問題12.3對稱與反對稱靜不定問題分析習(xí)題

12.1引言

根據(jù)靜不定結(jié)構(gòu)約束的特點(diǎn)，靜不定結(jié)構(gòu)大致可以分為三類:僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為外力靜不定結(jié)構(gòu)；僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)；不僅在結(jié)構(gòu)外部而且在結(jié)構(gòu)內(nèi)部也存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為混合型靜不定結(jié)構(gòu)。

例如，圖12-1所示平面曲桿，支座A、B處共有四個(gè)約束反力；而平面任意力系只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程；而且，當(dāng)支座約束力確定以后，利用截面法可以求出任一截面的內(nèi)力，所以，該曲桿具有一個(gè)多余的外部約束，屬于一次外力靜不定結(jié)構(gòu)。

圖12-1

如圖12-2(a)所示的平面剛架，支座處的三個(gè)約束力可以由平面任意力系三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出；但是，用截面法將剛架截開以后(見圖12-2(b))，截面上還存在三個(gè)內(nèi)力分量(FN、FS、M)，以整體為研究對象，未知力的總數(shù)是六個(gè)，顯然該結(jié)構(gòu)屬于三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。確定內(nèi)力靜不定次數(shù)的方法是:用截面法將結(jié)構(gòu)切開一個(gè)或幾個(gè)截面(即去掉內(nèi)部多余約束)，使它變成幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)，那么切開截面上的內(nèi)力分量的總數(shù)(即原結(jié)構(gòu)內(nèi)部多余約束數(shù)目)就是靜不定次數(shù)。圖12-2

對于圖12-3(a)所示的平面剛架，如果從鉸鏈處切開，則該截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量(FN、FS)，相當(dāng)于去掉了兩個(gè)多余約束，所以該平面剛架是二次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。可見，軸線為單閉合曲線的平面剛架(包括平面曲桿)并且僅在軸線平面內(nèi)承受外力時(shí)，為三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。

圖12-3

圖12-4所示平面剛架屬于混合型靜不定結(jié)構(gòu)。確定混合型靜不定次數(shù)的方法是:首先判定其外力靜不定次數(shù)，再判定其內(nèi)力靜不定次數(shù)，二者之和即為此結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。顯然，該結(jié)構(gòu)具有一個(gè)多余的外部約束、三個(gè)多余的內(nèi)部約束，即為四次靜不定結(jié)構(gòu)。

圖12-4

12.2用力法分析求解靜不定問題

用力法分析求解靜不定問題的原則與具體步驟是:首先，解除多余約束，得到原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系統(tǒng)，簡稱基本系統(tǒng)或靜定基；在基本系統(tǒng)上，用相應(yīng)的多余約束力代替多余約束的作用，并加上原有載荷，得到原靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。然后，利用相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件，建立用載荷和多余約束力表示的補(bǔ)充方程，求解并確定多余約束力。最后，通過相當(dāng)系統(tǒng)分析計(jì)算原靜不定結(jié)構(gòu)的外力、內(nèi)力、應(yīng)力與變形，解決有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性的問題。

12.2.1外力靜不定結(jié)構(gòu)分析

圖12-5(a)所示等截面小曲率圓桿，承受載荷F作用，試分析其約束力與內(nèi)力。圖12-5

原結(jié)構(gòu)在B處是可動(dòng)鉸支座，上下不能移動(dòng)，應(yīng)有wB=0，所以相當(dāng)系統(tǒng)截面B的鉛垂位移也應(yīng)為零，故相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件為

對于曲桿，用單位載荷法計(jì)算點(diǎn)B的鉛垂位移。在基本系統(tǒng)上施加相應(yīng)的單位力，如圖12-5(c)所示。在載荷F與多余約束力FBy作用下，基本系統(tǒng)的彎矩方程為

在相當(dāng)系統(tǒng)上分析曲桿的彎矩方程為

由上式求出

如果該曲桿沒有B處的活動(dòng)鉸鏈支座，則在水平載荷F作用下，固定端A處的彎矩為

例12-1求圖12-6(a)所示剛架的約束反力與彎矩的最大值。圖12-6

解(1)確定相當(dāng)系統(tǒng)。這是一次外力靜不定問題。選支座C處的水平約束作為多余約束予以解除，并以未知約束力FCx代替其作用，所選相當(dāng)系統(tǒng)如圖12-6(b)所示。

(2)建立用載荷和未知約束力表示的補(bǔ)充方程并求解。原剛架在C處為固定鉸支座，不能移動(dòng)，所以相當(dāng)系統(tǒng)在活動(dòng)鉸支座C處的水平位移也應(yīng)為零，故變形協(xié)調(diào)條件是．

用單位載荷法計(jì)算ΔCx，建立補(bǔ)充方程。

在載荷與多余約束力FCx共同作用下，剛架的約束力可以由平衡方程求得，它們分別為

剛架CB段與AB段的彎矩方程分別為

12.2.2內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)分析

分析內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的方法，與分析外力靜不定結(jié)構(gòu)的方法基本相同。不同的是，由于內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的多余約束存在于結(jié)構(gòu)內(nèi)部，多余約束力為構(gòu)件切開處相連兩截面間成

對的內(nèi)力，變形協(xié)調(diào)條件表現(xiàn)為該相連兩截面間的某些相對位移為零?，F(xiàn)在以圖12-7(a)所示結(jié)構(gòu)為例，說明分析內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的方法。該結(jié)構(gòu)由橫梁AB與桿1、桿2、桿3組成，橫梁中點(diǎn)截面C承受載荷F作用，試計(jì)算截面C的撓度。設(shè)橫梁各截面的抗彎剛度均為EI，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，且I=Aa2/10。

圖12-7

以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，利用平衡方程，求得支座A、B處的約束力分別為

所以，結(jié)構(gòu)外力是靜定的。但是，若用截面法將結(jié)構(gòu)截開，所取分離體(例如取節(jié)點(diǎn)D作為分離體)未知內(nèi)力的數(shù)目都比獨(dú)立的平衡方程數(shù)目多一個(gè)，故屬于一次內(nèi)力靜不定問題。

12.3對稱與反對稱靜不定問題分析

在工程實(shí)際中，有很多靜不定結(jié)構(gòu)是對稱的。利用這一特點(diǎn)，可以使靜不定問題的計(jì)算得到很大簡化。平面結(jié)構(gòu)對稱條件是:結(jié)構(gòu)具有對稱的形狀、尺寸與約束條件，而且處在對稱位置的構(gòu)件具有相同的截面尺寸與彈性模量。例如圖12-8(a)所示剛架即為對稱結(jié)構(gòu)。

作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷各種各樣，其中可能有對稱載荷與反對稱載荷。如果作用在對稱位置的載荷不僅數(shù)值相等，而且方位與指向(或轉(zhuǎn)向)均對稱，則稱為對稱載荷；如果作用在對稱位置的載荷數(shù)值相等、方位對稱，但指向(或轉(zhuǎn)向)反對稱，則稱為反對稱載荷。圖12-8(b)所示載荷為對稱載荷，圖12-8(c)所示載荷為反對稱載荷。對于這種對稱性問題，有下面的重要結(jié)論:對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下，其內(nèi)力和變形必然也對稱于對稱軸；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下，其內(nèi)力和變形必然反對稱于對稱軸。圖12-8

利用對稱結(jié)構(gòu)的上述特性，在分析靜不定問題時(shí)，可以減少多余未知力的數(shù)目，減少靜不定次數(shù)。例如，圖12-9(a)所示剛架為三次靜不定結(jié)構(gòu)，如果將剛架沿對稱軸處橫截面C截開后作為基本系統(tǒng)，一般存在三個(gè)多余未知內(nèi)力分量，即軸力FN、剪力FS與彎矩M。然而，如果結(jié)構(gòu)承受對稱載荷(見圖12-9(b))，則截面C處的反對稱內(nèi)力FS必然為零，僅剩下軸力FN與彎矩M兩個(gè)多余未知力；如果結(jié)構(gòu)承受反對稱載荷(見圖12-9(c))，則截面C處的對稱內(nèi)力FN與M必然為零，僅剩下剪力FS一個(gè)多余未知力。顯然，利用對稱性可以簡化靜不定結(jié)構(gòu)的計(jì)算，下面分三種情況來討論。圖12-9

12.3.1結(jié)構(gòu)對稱、載荷對稱的靜不定結(jié)構(gòu)分析

圖12-10(a)所示正方形剛架，在橫截面A、A'處承受一對大小相等、方向相反的水平載荷F作用，試求剛架內(nèi)的最大彎矩。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

圖12-10

該封閉剛架為三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。但是該剛架與載荷均對稱于水平對稱軸AA'，又對稱于鉛垂對稱軸CC'，屬于雙對稱結(jié)構(gòu)。所以，在鉛垂對稱軸CC'處的橫截面上，將只有軸力與彎矩，而且，截面C與C'的內(nèi)力完全相同(見圖12-10(b))。由平衡方程得

這樣，只剩彎矩MC一個(gè)多余未知力，原來三次靜不定問題就等效于一次靜不定問題。

圖12-11

例12-2如圖12-12(a)所示兩端固定梁AB，截面彎曲剛度為EI，作梁的彎矩圖。圖12-12

解(1)確定相當(dāng)系統(tǒng)。兩端固定梁AB共有6個(gè)約束力，而有效平衡方程僅3個(gè)，故為三次外力靜不定問題。但是，在小變形的條件下，梁的橫截面形心沿軸線方向的位移極小，因而兩端水平約束力也極小，一般均可忽略不計(jì)，于是，剩下4個(gè)約束力、兩個(gè)有效平衡方程，屬于二次靜不定問題。又由于結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱，因此在對稱截面上只有對稱內(nèi)力而沒有反對稱內(nèi)力。在不計(jì)軸向伸長變形時(shí)，對稱截面C上將只有彎矩MC一個(gè)內(nèi)力，故可以簡化為一次靜不定問題。

將式(d)代入式(a)，得補(bǔ)充方程

由此解得

負(fù)號(hào)表示MC的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

12.3.2結(jié)構(gòu)對稱、載荷反對稱的靜不定結(jié)構(gòu)分析

圖12-13(a)所示剛架，在對稱軸的橫截面C處，作用有矩為Me的集中力偶，試計(jì)算截面C的轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

如果選取相當(dāng)系統(tǒng)如圖12-13(b)所示，變形協(xié)調(diào)條件為切開處左、右截面沿剪力FSC方向的相對位移ΔL|R為零，即

用單位載荷法計(jì)算ΔL|R。在載荷與多余約束力FSC共同作用下，相當(dāng)系統(tǒng)CBA部分的彎矩方程為

在圖12-13(c)所示單位載荷作用下，相當(dāng)系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為

圖12-13

根據(jù)莫爾定理，并利用結(jié)構(gòu)的對稱性，有

將式(b)代入式(a)，得補(bǔ)充方程

由此解得

多余未知約束力求出后，剛架截面C的轉(zhuǎn)角可通過相當(dāng)系統(tǒng)的左邊或右邊部分計(jì)算。若選左邊ABC部分，在載荷Me/2與多余約束力FSC共同作用下，相當(dāng)系統(tǒng)ABC部分的

彎矩方程為

在圖12-13(d)所示單位載荷作用下，相當(dāng)系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為

根據(jù)莫爾定理，有

當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受一般載荷(既不對稱，也不反對稱)時(shí)，可以進(jìn)行一些變換，使其成為對稱載荷或反對稱載荷。例如圖12-14(a)所示的情況，可以將其分解為對稱(見圖12-14(b))與反對稱(見圖12-14(c))兩組載荷。然后對這兩種載荷的情況，分別利用對稱和反對稱進(jìn)行簡化計(jì)算，將二者的結(jié)果疊加起來即可。圖12-14

12.3.3平面靜不定剛架空間受力分析

圖12-15(a)所示為一軸線位于同一水平面內(nèi)的剛架。在一般情況下，對于一般空間力系問題，剛架任一截面上有六個(gè)內(nèi)力分量(見圖12-15(b))。作用面位于剛架軸線所在xz平面內(nèi)的分量FN、FSz與My稱為面內(nèi)內(nèi)力分量；作用面位于剛架軸線所在平面外的分量T、FSy與Mz稱為面外內(nèi)力分量。當(dāng)外載荷均垂直于剛架的軸線平面(見圖12-15(a))且結(jié)構(gòu)變形很小時(shí)，剛架橫截面的形心在軸線平面內(nèi)的位移可以忽略不計(jì)，因此，面內(nèi)的三個(gè)內(nèi)力分量以及面內(nèi)的約束力一般可以忽略不計(jì)，這時(shí)，僅需考慮剩下的面外三個(gè)內(nèi)力分量(見圖12-15(c))，結(jié)構(gòu)靜不定次數(shù)明顯降低。

圖12-15

例如，圖12-16(a)所示的平面剛架左右對稱，并在對稱截面B與D處同時(shí)承受矩為Me的對稱外力偶作用，試畫出剛架的內(nèi)力圖。設(shè)剛架由等截面圓桿組成，抗彎剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIP均為常數(shù)。

該剛架為六次外力靜不定結(jié)構(gòu)。然而，該剛架承受的外載荷均垂直于剛架的軸線平面，如前所述，剛架任一截面上僅存面外內(nèi)力分量(見圖12-16(b))。又根據(jù)對稱性，在對稱軸橫截面C上，非對稱內(nèi)力T與FSy為零，于是，僅剩MC這樣一個(gè)多余未知力(見圖12-16(c))，原來六次靜不定問題等效于一次靜不定問題。

圖12-16

根據(jù)莫爾定理，并利用結(jié)構(gòu)的對稱性，有

將式(b)代入式(a)，得補(bǔ)充方程

由此解得

多余未知約束力求出后，畫出剛架的彎矩圖與扭矩圖，分別如圖12-16(e)、(f)所示。顯然，對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下，內(nèi)力是對稱的；但是，內(nèi)力圖對于對稱內(nèi)力(例如彎矩M)是對稱的，而對于反對稱內(nèi)力(例如扭矩T)是反對稱的。反之，對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下，內(nèi)力是反對稱的；但是，內(nèi)力圖對于對稱內(nèi)力(例如彎矩M)是反對稱的，而對于反對稱內(nèi)力(例如扭矩T)是對稱的。

習(xí)題

12-1判定題12-1圖所示各結(jié)構(gòu)的靜不定度。題12-1圖

12-2題12-2圖所示各剛架，抗彎剛度EI均為常數(shù)。試求約束力，并畫彎矩圖。題12-2圖

12-3題12-3圖所示圓弧形小曲率桿，抗彎剛度EI均為常數(shù)。試求約束力，并求截面A的水平位移。題12-3圖

12-4題12-4圖所示桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA。試求桿BC的軸力。題12-4圖

12-5題12-5圖所示小曲率圓環(huán)，承受載荷F作用。試求截面A與截面C的彎矩以及截面A與B的相對線位移。設(shè)抗彎剛度EI均為常數(shù)。題12-5圖

12-6題12-6圖所示各剛架，抗彎剛度EI均為常數(shù)。試畫彎矩圖。題1