高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)-幾何光學(xué)

...wd......wd......wd...幾何光學(xué)§1.1幾何光學(xué)根基1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。2、光的獨(dú)立傳播：幾束光在交織時(shí)互不阻礙，仍按原來各自的方向傳播。3、光的反射定律：①反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；ABSABSS1S2S3O圖1-2-1③反射角等于入射角。4、光的折射定律：①折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；②折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；③入射角與折射角滿足；④當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角C時(shí)，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象〔折射率為的光密介質(zhì)對(duì)折射率為的光疏介質(zhì)的臨界角〕?！?.2光的反射1.2.1、組合平面鏡成像：SS1S2S3S4S5O圖1-2-21.組合平面鏡由兩個(gè)以上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生屢次反射，因而會(huì)出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，兩面互相垂直的平面鏡〔交于O點(diǎn)〕鏡間放一點(diǎn)光源S〔圖1-2-1〕，S發(fā)出的光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡反射后形成了、、三個(gè)虛像。用幾何的方法不難證明：這三個(gè)虛像都位于以O(shè)為圓心、OS為半徑的圓上，而且S和、S和、SS1S2S3S4S5O圖1-2-2對(duì)稱關(guān)系。用這個(gè)方法我們可以容易地確定較復(fù)雜的情況中復(fù)像的個(gè)數(shù)和位置。兩面平面鏡AO和BO成60o角放置〔圖1-2-2〕，用上述規(guī)律，很容易確定像的位置：①以O(shè)為圓心、OS為半徑作圓；②過S做AO和BO的垂線與圓交于和；③過和作BO和AO的垂線與圓交于和；④過和作AO和BO的垂線與圓交于，便是S在兩平面鏡中的5個(gè)像。圖1-2-3αL1L2AO雙鏡面反射。如圖1-2-3，兩鏡面間夾角=15o,OA=10cm，A點(diǎn)發(fā)出的垂直于圖1-2-3αL1L2AO如圖1-2-4所示，光線經(jīng)第一次反射的反射線為BC，根據(jù)平面反射的對(duì)稱性,，且∠。上述均在同一直線上，因此光線在、之間的反復(fù)反射就跟光線沿直線傳播等效。設(shè)是光線第n次反射的入射點(diǎn)，且該次反射線不再射到另一個(gè)鏡面上，那么n值應(yīng)滿足的關(guān)系αL1L2AOCBC1O1D圖1-2-4是<90o，。取n=5，∠，總路程αL1L2AOCBC1O1D圖1-2-42、全反射全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2，當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)，光線發(fā)生全反射。全反射現(xiàn)象有重要的實(shí)用意義，如現(xiàn)代通訊的重要組成局部——光導(dǎo)纖維，就是利用光的全反射現(xiàn)象。圖1-2-5是光導(dǎo)纖維的示iγβABiγβABn1n2圖1-2-5圖1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于臨界角，光在內(nèi)外兩種材料的界面上發(fā)生全反射，光即可一直保持在纖維內(nèi)芯里傳播。只要即可。例1、如圖1-2-6所示，AB表示一平直的平面鏡，是水平放置的米尺〔有刻度的一P1P2MNabABS圖1-2-6面朝著平面鏡〕，MN是屏，三者相互平行，屏P1P2MNabABS圖1-2-6分析:此題考察平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線進(jìn)入人的眼睛，人才會(huì)看到米尺刻度的像。可以通過兩種方法來解這個(gè)問題。圖1-2-7圖1-2-8解法一：相對(duì)于平面鏡AB作出人眼S的像。連接Sa并延長(zhǎng)交平面鏡于點(diǎn)C，連接與點(diǎn)C并延長(zhǎng)交米尺于點(diǎn)E，點(diǎn)E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接并延長(zhǎng)交米尺于點(diǎn)F，且與平面鏡交于D，連接S與點(diǎn)D，那么點(diǎn)F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E與F之間的米尺刻度就是人眼可看到局部，如圖1-2-7所示。圖1-2-7圖1-2-8ABOPP1P2120o〔d〕P5ABOP1P2P3P460o〔b〕P4ABO45oP1P2P3P5P6P7〔c〕圖ABOPP1P2120o〔d〕P5ABOP1P2P3P460o〔b〕P4ABO45oP1P2P3P5P6P7〔c〕圖1-2-9ABOθP1P2P3P4〔a〕P點(diǎn)評(píng)：平面鏡成像的特點(diǎn)是物與像具有對(duì)稱性。在涉及到平面鏡的問題中，利用這一特點(diǎn)常能使問題得以簡(jiǎn)潔明晰的解決。例2、兩個(gè)平面鏡之間的夾角為45o、60o、120o。而物體總是放在平面鏡的角等分線上。試分別求出像的個(gè)數(shù)。分析：由第一面鏡生成的像，構(gòu)成第二面鏡的物，這個(gè)物由第二面鏡所成的像，又成為第一面鏡的物，如此反復(fù)下去以至無窮。在特定條件下經(jīng)過有限次循環(huán)，兩鏡所成像重合，像的數(shù)目不再增多，就有確定的像的個(gè)數(shù)。解：設(shè)兩平面鏡A和B的夾角為2θ，物P處在他們的角等分線上，如圖1-2-9〔a〕所示。以兩鏡交線經(jīng)過的O點(diǎn)為圓心，OP為半徑作一輔助圓，所有像點(diǎn)都在此圓周上。由平面鏡A成的像用表示，由平面鏡B成的像用表示。由圖不難得出：ABCABCPO圖1-2-10AOCP圖1-2-11在圓弧上的角位置為。其中k的取值為k=1，2，…假設(shè)經(jīng)過k次反射，A成的像與B成的像重合，那么即當(dāng)時(shí)，k=4，有7個(gè)像，如圖1-2-9〔a〕所示；當(dāng)時(shí)，k=3，有5個(gè)像，如圖1-2-9〔b〕所示；當(dāng)時(shí)，k=1.5，不是整數(shù)，從圖1-2-10〔d〕可直接看出，物P經(jīng)鏡A成的像在鏡B面上，經(jīng)鏡B成的像那么在鏡A面上，所以有兩個(gè)像。ABPO圖1-2-12例3、要在一張照片上同時(shí)拍攝物體正面和幾個(gè)不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個(gè)直立的大平面鏡AO和BO，使物體和它對(duì)兩個(gè)平面鏡所成的像都攝入照像機(jī)，如圖1-2-11所示。圖中帶箭頭的圓圈P代表一個(gè)人的頭部〔其尺寸遠(yuǎn)小于OC的長(zhǎng)度〕，白色半圓代表人的臉部，此人正面對(duì)著照相機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子，圖1-2-11為俯視圖，假設(shè)兩平面鏡的夾角∠ABPO圖1-2-121、試在圖1-2-11中標(biāo)出P的所有像的方位示意圖。圖1-2-13SHAPE*MERGEFORMAT2、在方框中畫出照片上得到的所有的像〔分別用空白和斜線表示臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽子〕。圖1-2-13此題只要求畫出示意圖，但須力求準(zhǔn)確。解:此題的答案如圖1-2-13所示。例4、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖1-2-14所示。棱鏡用玻璃制成，BC、CD兩平面高度拋光，AB、DE兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：CAEBD112.5o112.5oCAEBD112.5o112.5o112.5o90o圖1-2-14解:如圖1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序那么以下標(biāo)注明。光線自透明外表的a點(diǎn)入射，在棱鏡內(nèi)反射兩次，由CD面的e點(diǎn)出射。可以看得出，在DE面的b點(diǎn)；入射角為反射角為在四邊形bEAC中，而i1Ai1ABCDE112.5o112.5o112.5o90oγ1i2i2i3i345oi4γ4F圖1-2-15于是，在△cdb中∠cdb=180o=180o這就證明了：進(jìn)入棱鏡內(nèi)的第一條光線ab總是與第三條光線ce互相垂直。由于棱鏡的C角是直角，=360o-270o-∠dec=90o-∠dec=。設(shè)棱鏡的折射率為n，根據(jù)折射定律有總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角的大小無關(guān)。只要光路符合上面的要求，由BC面的法線與CD面的法線垂直，又有出射光線總是與入射光線垂直，或者說，圖1-2-16光線經(jīng)過這種棱鏡，有恒點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角——90o。圖1-2-16例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示的形狀，一束平行光垂直地射入平外表A上。試確定通過外表A進(jìn)入的光全部從外表B射出的R/d的最小值。玻璃的折射為1.5。分析:如圖1-2-17所示，從A外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界面上的入射角較從A內(nèi)側(cè)入射的光線入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在外側(cè)圓界面上的入射角α最小。如果最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好發(fā)生全反射，并且反射光線又剛好與內(nèi)側(cè)圓相切，那么其余的光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，而且在后續(xù)過程中都能夠發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進(jìn)展分析，使其滿足相應(yīng)條件即可。解:當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角α大于或等于反射臨界角時(shí)，入射光線可全部從B外表射出而沒有光線從其他地方透出。圖1-2-17即要求圖1-2-17而所以即故圖1-2-18點(diǎn)評(píng)對(duì)全反射問題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是根基，而具體分析臨界條件即“圖1-2-18例7．普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯A和包層B組成，B的折射率小于A的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長(zhǎng)的光纖中傳播時(shí)，在纖芯A和包層B的分界面上發(fā)生屢次全反射?，F(xiàn)在利用普通光纖測(cè)量流體F的折射率。實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的一端〔出射端〕浸在流體F中。令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚在光纖入射端面的中心O。經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播。由于O點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形，其邊緣光線和軸的夾角為，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進(jìn)入流體F。在距出射端面處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏D，在D上出現(xiàn)一圓形光斑，測(cè)出其直徑為，然后移動(dòng)光屏D至距光纖出射端面處，再測(cè)出圓形光斑的直徑，如圖1-2-19所示?！?〕假設(shè)A和B的折射率分別為與。求被測(cè)流體F的折射率的表達(dá)式。圖1-2-19〔2〕假設(shè)、和均為未知量，若何通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測(cè)出的值圖1-2-19分析光線在光纖中傳播時(shí)，只有在纖芯A與包層B的分界面上發(fā)生全反射的光線才能射出光纖的端面，據(jù)此我們可以作出相應(yīng)的光路圖，根據(jù)光的折射定律及幾何關(guān)系，最后可求出。解:〔1〕由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的O點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內(nèi)，圖1-2-20為縱面內(nèi)的光路圖。設(shè)由O點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為α的光線，射至A、B分界面的入射角為i，反射角也為i，該光線在光纖中屢次反射時(shí)的入射角均為i，射至出射端面時(shí)的入射角為α。假設(shè)該光線折射后的折射角為，那么由幾何關(guān)系和折射定可得90o①②當(dāng)i大于全反射臨界角時(shí)將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端面。而的光線那么因在發(fā)生反射時(shí)有局部光線通過折射進(jìn)入圖1-2-20B，反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的i的數(shù)值一定大于或等于，的值由下式?jīng)Q定：圖1-2-20③與對(duì)應(yīng)的α值為④當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，由O發(fā)出的光束中，只有的光線才滿足的條件下，才能射向端面，此時(shí)出射端面處α的最大值為⑤假設(shè)，即時(shí)，那么由O發(fā)出的光線都能滿足的條件，因而都能射向端面，此時(shí)出射端面處α的最大值為⑥端面處入射角α最大時(shí)，折射角θ也達(dá)最大值，設(shè)為，由②式可知⑦由⑥、⑦式可得，當(dāng)時(shí)，⑧圖1-2-21由③至⑦式可得，當(dāng)時(shí)，圖1-2-21⑨的數(shù)值可由圖1-2-21上的幾何關(guān)系求得為⑩于是的表達(dá)式應(yīng)為〔11〕〔12〕〔2〕可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測(cè)量，可測(cè)得、、、，這里打撇的量與前面未打撇的量意義一樣?？諝獾恼凵渎实扔?，故有當(dāng)時(shí)，〔13〕當(dāng)時(shí)〔14〕將〔11〕〔12〕兩式分別與〔13〕〔14〕相除，均得〔15〕此結(jié)果適用于為任何值的情況?！?.3光的折射圖1-3-1圖1-3-1如圖：多層介質(zhì)折射率分別為那么由折射定律得：1.3.2、平面折射的視深在水中深度為h處有一發(fā)光點(diǎn)Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射線的延長(zhǎng)線與OQ交點(diǎn)的深度與入射角i的關(guān)系。設(shè)水相對(duì)于空氣的折射率為，由折射定律得dd′Qdd′QQ′OxMiγ圖1-3-2于是上式說明，由Q發(fā)出的不同光線，折射后的延長(zhǎng)線不再交于同一點(diǎn)，但對(duì)于那些接近法線方向的光線，，那么，于是這時(shí)與入射角i無關(guān)，即折射線的延長(zhǎng)線近似地交于同一點(diǎn)，其深度是原光點(diǎn)深度的。S2S3S1O2O1S2S3S1O2O1SSQNPM圖1-3-3圖中S為物點(diǎn)，是經(jīng)MN反射的像，假設(shè)依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由視深公式得，，，ABABCEFi1i2i′2i′1DGδ折射率圖1-3-4故兩像間距離為。1.3.3、棱鏡的折射與色散入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖1-3-4的幾何關(guān)系知hLSS′hLSS′δδ圖1-3-5①當(dāng)，α很小時(shí)，即δ=〔n-1〕α厚度不計(jì)頂角α很小的三棱鏡稱之為光楔，對(duì)近軸光線而言，δ與入射角大小無關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣的角度δ，所以作光楔折射成像光路圖時(shí)可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖1-3-5。設(shè)物點(diǎn)S離光楔L那么像點(diǎn)在S的正上方。h=lδ=〔n-1〕αl。②當(dāng)棱鏡中折射光線相對(duì)于頂角α對(duì)稱成等腰三角形時(shí)，，。陽光紅陽光紅紫圖1-3-6這為棱鏡的最小偏向角δ，此式可用來測(cè)棱鏡的折射率。圖1-3-7圖1-3-7紫紅陽光1.3.4、費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點(diǎn)之間傳播，實(shí)際的光程總是為最大或保持恒定，這里的光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過的路程和該種媒質(zhì)的折射率的乘積。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一個(gè)十分重要的基本原理，從費(fèi)馬原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)中的很多重要規(guī)律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以從光程極小推出。如果反射面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，而點(diǎn)光源置于其一個(gè)焦點(diǎn)上，所有反射光線都經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，所有反射光線都經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，便是光程恒定的一個(gè)例子。此外，透鏡對(duì)光線的折xyxyBAM〔x，y〕nRf′F′圖1-3-8一平凸透鏡的折射率為n，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為R。在透鏡外主光軸上取一點(diǎn)，〔圖1-3-8〕。當(dāng)平行光沿主光軸入射時(shí)，為使所有光線均會(huì)聚于點(diǎn)。試問：〔1〕透鏡凸面應(yīng)取什么形狀〔2〕透鏡頂點(diǎn)A與點(diǎn)O相距多少〔3〕對(duì)透鏡的孔徑R有何限制解:根據(jù)費(fèi)馬原理，以平行光入射并會(huì)聚于的所有光線應(yīng)有相等的光程，即最邊緣的光線與任一條光線的光程應(yīng)相等。由此可以確定凸面的方程。其余問題亦可迎刃而解?！?〕取坐標(biāo)系如圖，由光線和的等光程性，得整理后，得到任一點(diǎn)M〔x，y〕的坐標(biāo)x，y應(yīng)滿足的方程為令，，那么上式成為這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，透鏡的凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲面?！?〕透鏡頂點(diǎn)A的位置應(yīng)滿足或者可見，對(duì)于一定的n和，由R決定?！?〕因點(diǎn)在透鏡外，即，這是對(duì)R的限制條件，有即要求討論在極限情形，即時(shí)，有如下結(jié)果：xyxyRf′AMNnθΦθtF′圖1-3-9即點(diǎn)A與點(diǎn)重合。又因a=0故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)榧措p曲線退化成過點(diǎn)的兩條直線，即這時(shí)透鏡的凸面變成以為頂點(diǎn)的圓錐面，如圖1-3-9所示?？紤]任意一條入射光線MN，由折射定律有，由幾何關(guān)系圖1-3-10圖1-3-10故，即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)的角θ就是全反射的臨界角。例1、半徑為R的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖1-3-10所示。O為圓心。玻璃的折射率為。當(dāng)光由玻璃射向空氣132圖1-3-11時(shí)，發(fā)生全反射的臨界角為45°，一束與MN平面成450的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有局部光能從MN132圖1-3-11分析:如圖1-3-11所示。進(jìn)入玻璃中的光線①垂直半球面，沿半徑方向直達(dá)球心，且入射角等于臨界角，恰好在O點(diǎn)發(fā)生全反射，光線①左側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN上的入射角都大于臨界角，在MN上發(fā)生全反射，不能從MN射出，光線①右側(cè)一直到與球面正好相切的光線③范圍上的光線經(jīng)光球面折射后，在MN面上的入射角均小于臨界角，都能從MN面上射出，它們?cè)贛N上的出射寬度即是所要求的。解:圖1-3-11中，BO為沿半徑方向入射的光線，在O點(diǎn)正好發(fā)生全反射，入射光線③圖1-3-12在C點(diǎn)與球面相切，此時(shí)入射角，折射角為r，那么有圖1-3-12即這表示在C點(diǎn)折射的光線將垂直MN射出，與MN相交于E點(diǎn)。MN面上OE即是出射光的寬度。圖圖1-3-13討論如果平行光束是以45°角從空氣射到半圓柱的平面外表上，如圖1-3-12所示，此時(shí)從半圓柱面上出射的光束范圍是多大參見圖1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光線與垂直線的夾角均為30°?？紤]在E點(diǎn)發(fā)生折射的折射光線EA，如果此光線剛好在A點(diǎn)發(fā)生全反射，那么有，而，即有，因EA與OB平行，所以，所以，即射向A點(diǎn)左邊MA區(qū)域的折射光〔〕因在半圓柱面上的入射角均大于45°的臨界角而發(fā)生全反射不能從半圓柱面上射出，而A點(diǎn)右邊的光線〔〕那么由小于臨界角而能射出，隨著φ角的增大，當(dāng)時(shí)，將在C點(diǎn)再一次到達(dá)臨界角而發(fā)生全反射，此時(shí)故知能夠從半圓柱球面上出射的光束范圍限制在AC區(qū)域上，對(duì)應(yīng)的角度為。d圖1-3-14d圖1-3-14例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化圖1-3-15一束光在O點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在A點(diǎn)以角α出射〔圖1-3-14〕。求A點(diǎn)的折射率nA，并確定A點(diǎn)的位置及平板厚度。〔設(shè)〕。圖1-3-15解:首先考慮光的路線〔圖1-3-15〕。對(duì)于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用斯涅耳定律，更簡(jiǎn)單的形式是圖1-3-16這個(gè)公式對(duì)任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿x圖1-3-16在此題中，垂直光束從折射率為n0的點(diǎn)入射，即為常數(shù)，于是在平板內(nèi)任一點(diǎn)有與x的關(guān)系，因此沿平板中的光束為圖〔1-3-16〕說明光束的路徑是一個(gè)半徑為XC=r的圓，從而有現(xiàn)在我們道光的路徑，就有可能找到問題的解答。按折射定律，當(dāng)光在A點(diǎn)射出時(shí)，有因?yàn)?，故有于是圖1-3-17圖1-3-17因此在此題情形根據(jù)得出A點(diǎn)的x坐標(biāo)為x=1cm。光線的軌跡方程為代入x=1cm，得到平板厚度為y=d=5cm例3、圖1-3-17表示一個(gè)盛有折射率為n的液體的槽，槽的中部扣著一個(gè)對(duì)稱屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，頂角為2，罩內(nèi)為空氣，整個(gè)罩子浸沒在液體中，槽底AB的中點(diǎn)處有圖1-3-18一個(gè)亮點(diǎn)C圖1-3-18解:此題可用圖示平面內(nèi)的光線進(jìn)展分析，并只討論從右側(cè)觀察的情形。如圖1-3-18所示，由亮點(diǎn)發(fā)出的任一光線CP將經(jīng)過兩次折射而從液面射出。由折射定律，按圖上標(biāo)記的各相關(guān)角度有〔1〕〔2〕其中〔3〕如果液內(nèi)光線入射到液面上時(shí)發(fā)生全反射，就沒有從液面射出的折射光線。全反射臨界角γ。應(yīng)滿足條件可見光線CP經(jīng)折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為〔4〕或〔5〕現(xiàn)在計(jì)算，利用〔3〕式可得由〔1〕式可得由此又由〔1〕式〔6〕由圖及〔1〕、〔2〕式，或由〔6〕式均可看出，α越大那么γ越小。因此，如果與α值最大的光線相應(yīng)的γ設(shè)為，那么任何光線都不能射出液面。反之，只要，這局部光線就能射出液面，從液面上方可以觀察到亮點(diǎn)。由此極端情況即可求出此題要求的條件。自C點(diǎn)發(fā)出的α值最大的光線是極靠近CD的光線，它被DB面折射后進(jìn)入液體，由〔6〕式可知與之相應(yīng)的；能觀察到亮點(diǎn)的條件為圖1-3-19圖1-3-19上式可寫成取平方化簡(jiǎn)后得故平方并化簡(jiǎn)可得這就是在液面上方從側(cè)面適當(dāng)?shù)姆较蚰芸吹搅咙c(diǎn)時(shí)n與φ之間應(yīng)滿足條件。例4、如圖1-3-19所示，兩個(gè)頂角分別為和的棱鏡膠合在一起〔〕。折射率由下式給出：；其中1、確定使得從任何方向入射的光線在經(jīng)過AC面時(shí)不發(fā)生折射的波長(zhǎng)。確定此情形的折射率和。2、畫出入射角一樣的、波長(zhǎng)為、和的三種不同光線的路徑。3、確定組合棱鏡的最小偏向角。4、計(jì)算平行于DC入射且在離開組合棱鏡時(shí)仍平行于DC的光線的波長(zhǎng)。圖1-3-20解:1、如果，那么從不同方向到達(dá)AC面的波長(zhǎng)為的光線就不折射，即圖1-3-20因而在此情形下。2、對(duì)波長(zhǎng)比長(zhǎng)的紅光，和均小于1.5。反之，對(duì)波長(zhǎng)比短的藍(lán)光，兩個(gè)折射率均比1.5要大?，F(xiàn)在研究折射率在AC面上若何變化。我們道，圖1-3-21對(duì)波長(zhǎng)為的光，。圖1-3-21如果考慮波長(zhǎng)為而不是的光，那么由于，所以。同理，對(duì)藍(lán)光有。現(xiàn)在我們就能畫出光線穿過組合棱鏡的路徑了〔圖1-3-20〕。3、對(duì)波長(zhǎng)為的光，組合棱鏡可看作頂角為30°、折射率為n=1.5的單一棱鏡。我們知道，最小偏向在對(duì)稱折射時(shí)發(fā)生，即在圖1-3-21中的α角相等時(shí)發(fā)生。根據(jù)折射定律，因而偏向角為圖1-3-22圖1-3-22；消去α后得經(jīng)變換后得這是的二次方程。求解得出圖1-3-23圖1-3-23例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。玻璃對(duì)綠光的折射率為，液體對(duì)綠光的折射率為。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r：R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零分析:所謂“沉著器側(cè)面能看到容器壁厚為零〞，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點(diǎn)處沿容器外壁的切線方向射出，即此題所描述為折射角為90°的臨界折射。因?yàn)轭}中未給出、的大小關(guān)系，故需要分別討論。解:〔1〕當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭且髍：R的最小值，所以當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖1-3-23中ABCD這樣一種臨界情況，其中BC光線與容器內(nèi)壁相切，CD光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有圖1-3-24圖1-3-24設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為，在直角三角形BCO中，。當(dāng)時(shí)，C處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)時(shí)，熒光液體中很多點(diǎn)發(fā)出的光都能在C處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足即可看到壁厚為零?！?〕當(dāng)時(shí)此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線將直接穿過容器內(nèi)壁，只要在CD及其延長(zhǎng)線上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿足條件仍然是?！?〕當(dāng)時(shí)因?yàn)椋詿晒庖后w發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為90°的臨界折射，因此當(dāng)時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖1-3-24中ABCD這樣一種臨界情況，其中AB光線的入射角為90°，BC光線的折射角為，此時(shí)應(yīng)該有在直角三角形OBE中有因?yàn)閳D1-3-23和圖1-3-24中的角是一樣的，所以，即將代入，可得當(dāng)時(shí)，可看到容器壁厚度為零。上面的討論，圖1-3-23和圖1-3-24中B點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意的，故所得條件對(duì)眼的所有位置均能成立〔本段說明不可少〕。例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心軸線長(zhǎng)L=45cm，一端是半徑為=10cm的凸球面?！?〕要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡〔使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)〕，取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面〔2〕對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時(shí)，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求〔此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率〕。圖1-3-25F圖1-3-25F1解:〔1〕對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖1-3-25所示，圖中為左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得①即②光線射至另一端面時(shí)，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點(diǎn)B的左方，B等于球面的半徑，如圖1-3-25所示。SHAPE*MERGEFORMAT仿照上面對(duì)左端球面上折射的關(guān)系可得③又有④由②③④式并代入數(shù)值可得⑤即右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸面球面。圖1-3-26F1M〔2〕設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線用a、b表示，令a過，b過A，如圖1-3-26所示，那么這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)M，即為左端球面對(duì)此無限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)?，F(xiàn)在求M圖1-3-26F1M⑥又⑦、均為小角度，那么有⑧與②式對(duì)比可知，，即M位于過垂直于主光軸的平面上。上面，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，那么但凡過M點(diǎn)的傍軸光線從棒的右端面射出時(shí)都將是相互平行的光線。容易看出，從M射向的光線將沿原方向射出，這也就是過M點(diǎn)的任意光線〔包括光些a、b〕從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸的夾角即為。⑨由②③式可得那么⑩圖1-3-27例7、在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為R的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其中心離鏡面為3R，缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注視魚缸，一條小魚在離鏡面最近處以速度v沿缸壁游動(dòng)。求觀察者看到魚的兩個(gè)像的相對(duì)速度。水的折射率n圖1-3-27解:魚在1秒鐘內(nèi)游過的距離為v。我們把這個(gè)距離當(dāng)作物，而必須求出兩個(gè)不同的像。在計(jì)算中，我們只考慮近軸光線和小角度，并將角度的正弦角度本身去近似。在點(diǎn)游動(dòng)的魚只經(jīng)過一個(gè)折射面就形成一個(gè)像〔圖圖1-3-281-3-27〕。從點(diǎn)以角度發(fā)出的光線，在A點(diǎn)的水中入射角為v，在空氣中的折射角為，把出射光線向相反方向延長(zhǎng)給出虛像位置。顯然圖1-3-28從三角形，有利用通常的近似，于是所以這個(gè)虛像與球心的距離為水的折射率n=4/3，從而。假設(shè)折射率大于2，那么像是實(shí)像。由像距與物距之商得到放大率為對(duì)水來說，放大率為2。以與速度v相應(yīng)的線段為物，它位于在E處平面鏡前距離為2R處，它在鏡后2R遠(yuǎn)的處形成一個(gè)與物同樣大小的虛像離球心的距離為5R。在一般情形中，我們?cè)O(shè)。的虛像是我們通過球作為一個(gè)透鏡觀察時(shí)的〔虛〕物。因此，我們只要確定的實(shí)像而無需再去考慮平面鏡。我們需要求出以γ角度從發(fā)出的光線在C點(diǎn)的入射角ε，其中在三角形中，玻璃中的折射角為需要算出角。因?yàn)槎遗cC點(diǎn)和D點(diǎn)的兩角之和相加，或與和之和相加，兩種情況下都等于180°，因此即從三角形，有此外因此像距為假設(shè)k=5，n=4/3，得放大率為假設(shè)把k=5，n=4/3代入，那么放大率為2/3。綜合以上結(jié)果，如魚以速度v向上運(yùn)動(dòng)，那么魚的虛像以速度2v向上運(yùn)動(dòng)，而魚的實(shí)像以速度向下運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)像的相對(duì)速度為是原有速度的8/3倍。我們還必須解決的最重要的問題是：從理論上已經(jīng)知道了像是若何運(yùn)動(dòng)的，但是觀察者在作此實(shí)驗(yàn)時(shí)，他將看到什么現(xiàn)象呢兩個(gè)像的速度與魚的真實(shí)速度值，從水中的標(biāo)尺上的讀數(shù)來看，是一致的。實(shí)際上觀察到兩個(gè)反方向的速度，其中一個(gè)速度是另一個(gè)速度的三倍，一個(gè)像是另一個(gè)像的三倍。我們應(yīng)當(dāng)在遠(yuǎn)處看，因?yàn)槲覀円瑫r(shí)看清楚魚缸后遠(yuǎn)處的一個(gè)像和魚缸前的另一個(gè)像。兩個(gè)像的距離為8.33R。用肉眼看實(shí)像是可能的，只要我們比明視距離遠(yuǎn)得多的地方注視它即可。題目中講到“在遠(yuǎn)處的觀察者〞，是指他觀察從兩個(gè)不同距離的像射來的光線的角度變化。只要觀察者足夠遠(yuǎn)，盡管有距離差，但所看到的速度將逐漸增加而接近于8/3。他當(dāng)然必須具有關(guān)于魚的實(shí)際速度〔v〕的一些信息。兩個(gè)像的相對(duì)速度與物的原始速度之比的普遍公式為用一個(gè)充滿水的圓柱形玻璃缸，一面鏡子和一支桿，這個(gè)實(shí)驗(yàn)很容易做到。沿玻璃缸壁運(yùn)動(dòng)的桿代表一條魚?！?.4、光在球面上的反射與折射圖1-4-1圖1-4-2圖1-4-1圖1-4-2〔1〕球面鏡的焦距球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面的半徑。一束近主軸的平行光線，經(jīng)凹鏡反射后將會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)F〔圖1-4-1〕，這F點(diǎn)稱為凹鏡的焦點(diǎn)。一束近主軸的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長(zhǎng)可會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)F〔圖1-4-2〕，這F點(diǎn)稱為凸鏡的虛焦點(diǎn)。焦點(diǎn)F到鏡面頂點(diǎn)O之間的距離叫做球面鏡的焦距f。可以證明，球面鏡焦距f等于球面半徑R的一半，即〔2〕球面鏡成像公式根據(jù)反射定律可以推導(dǎo)出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來推導(dǎo)：〔如圖1-4-3所示〕設(shè)在凹鏡的主軸上有一個(gè)物體S，由S發(fā)出的射向凹鏡的光線鏡面A圖1-4-3A點(diǎn)反射后與主軸交于點(diǎn)，半徑CA為反射的法線，即S的像。根據(jù)反射定律，，那么CA為角A的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有圖1-4-3A①由為SA為近軸光線，所以，，①式可改寫為②②式中OS叫物距u，叫像距v，設(shè)凹鏡焦距為f，那么代入①式化簡(jiǎn)這個(gè)公式同樣適用于凸鏡。使用球面鏡的成像公式時(shí)要注意：凹鏡焦距f取正，凸鏡焦距f取負(fù)；實(shí)物u取正，虛物u取負(fù)；實(shí)像v為正，虛像v為負(fù)。上式是球面鏡成像公式。它適用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號(hào)遵循“實(shí)取正，虛取負(fù)〞的原那么。凸面鏡的焦點(diǎn)是虛的，因此焦距為負(fù)值。在成像中，像長(zhǎng)和物長(zhǎng)h之比為成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率關(guān)系式可以討論球面鏡成像情況，對(duì)于凹鏡，如表Ⅰ所列；對(duì)于凸鏡，如表Ⅱ所列。表Ⅰ凹鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虛實(shí)

實(shí)物同側(cè)f縮小倒實(shí)～2f同側(cè)f～2f縮小倒實(shí)2f同側(cè)2f等大倒實(shí)2f～f同側(cè)f～2f放大倒實(shí)f放大

f～0異側(cè)～0放大正虛虛物異側(cè)0～f縮小正實(shí)表Ⅱ凸鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性質(zhì)實(shí)物f～同側(cè)0～f縮小正虛

虛物～2f同側(cè)f～2f縮小倒虛2f同側(cè)2f等大倒虛f～2f同側(cè)～2f放大倒虛f

f～0異側(cè)～0放大正實(shí)〔3〕球面鏡屢次成像球面鏡屢次成像原那么：只要屢次運(yùn)用球面鏡成像公式即可，但有時(shí)前一個(gè)球面鏡反射的光線尚未成像便又遇上了后一個(gè)球面鏡，此時(shí)就要引進(jìn)虛像的概念。圖1-4-4如圖1-4-4所示，半徑為R的凸鏡和凹鏡主軸相互重合放置，兩鏡頂點(diǎn)O1、O2相距2.6R，現(xiàn)于主軸上距凹鏡頂點(diǎn)O1圖1-4-4S在凹鏡中成像，，可解得,根據(jù)題意：所以凹鏡反射的光線尚未成像便已又被凸鏡反射，此時(shí)可將凹鏡原來要成像作為凸鏡的虛物來處理，，可解得說明凸鏡所成的像和S在同一位置上。1.4.2、球面折射成像〔1〕球面折射成像公式〔a〕單介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分別為1和n，為S的像。因?yàn)閕、r均很小，行以①圖1-4-5因?yàn)?，圖1-4-5代入①式可有②對(duì)近軸光線來說，α、θ、β同樣很小，所以有，，代入②式可得當(dāng)時(shí)的v是焦距f，所以〔b〕雙介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-6所示，球形折射面兩側(cè)的介質(zhì)折射率分別n1和n2，C是球心，O是頂點(diǎn)，球面曲率半徑為R，S是物點(diǎn)，是像點(diǎn)，對(duì)于近軸光線，，，，聯(lián)立上式解得圖1-4-6這是球面折射的成像公式，式中u、υ的符號(hào)同樣遵循“實(shí)正虛負(fù)〞的法那么，對(duì)于R；那么當(dāng)球心C在出射光的一個(gè)側(cè)，〔凸面朝向入射光〕時(shí)為正，當(dāng)球心C圖1-4-6圖1-4-7t假設(shè)引入焦點(diǎn)和焦距概念，那么當(dāng)入射光為平行于主軸的平行光〔u=∝〕時(shí)，出射光〔或其反向延長(zhǎng)線〕的交點(diǎn)即為第二焦點(diǎn)，〔也稱像方焦點(diǎn)〕，此時(shí)像距即是第二焦距，有。當(dāng)出射光為平行光時(shí)，入射光〔或其延長(zhǎng)線〕的交點(diǎn)即第一焦點(diǎn)〔即物方焦點(diǎn)〕，這時(shí)物距即為第一焦距，有，將、代入成像公式改寫成圖1-4-7t反射定律可以看成折射定律在時(shí)的物倒，因此，球面鏡的反射成像公式可以從球面鏡折射成像公式中得到，由于反射光的行進(jìn)方向逆轉(zhuǎn)，像距υ和球面半徑R的正負(fù)規(guī)定應(yīng)與折射時(shí)相反，在上述公式中令，，，即可得到球面鏡反射成像公式，對(duì)于凹面鏡，，對(duì)于凸面鏡，，厚透鏡成像。〔C〕厚透鏡折射成像設(shè)構(gòu)成厚透鏡材料的折射率為n，物方介質(zhì)的折射率為，像方介質(zhì)的折射率為，前后兩邊球面的曲率半徑依次為和，透鏡的厚度為，當(dāng)物點(diǎn)在主軸上的P點(diǎn)時(shí)，物距，現(xiàn)在來計(jì)算像點(diǎn)的像距。，首先考慮第一個(gè)球面AOB對(duì)入射光的折射，這時(shí)假定第二個(gè)球面AOB不存在，并認(rèn)為球AOB右邊，都為折射率等于n的介質(zhì)充滿，在這種情況下，P點(diǎn)的像將成在處，其像距，然后再考慮光線在第二個(gè)球面的折射，對(duì)于這個(gè)球面來說，便是虛物。因此對(duì)于球面AOB，物像公式為對(duì)于球面AOB，物像公式為這樣就可以用二個(gè)球面的成像法來求得透鏡成像的像距u?！?〕光焦度折射成像右端僅與介質(zhì)的折射率及球面的曲率半徑有關(guān)，因而對(duì)于一定的介質(zhì)及一定形狀的外表來說是一個(gè)不變量，我們定義此量為光焦度，用φ表示：60cm30cm圖1-4-8它表征單折射球面對(duì)入射平行光束的屈折本領(lǐng)。φ的數(shù)值越大，平行光束折得越厲害；φ＞0時(shí)，屈折是會(huì)聚性的；φ＜0時(shí)，屈折是發(fā)散性的。φ60cm30cm圖1-4-8光焦度的單位是[米-1]，或稱[屈光度]，將其數(shù)值乘以100，就是通常所說的眼鏡片的“度數(shù)〞。〔3〕鍍銀透鏡與面鏡的等效有一薄平凸透鏡，凸面曲率半徑R=30cm，在近軸光線時(shí)：假設(shè)將此透鏡的平面鍍銀，其作用等于一個(gè)焦距是30cm的凹面鏡；假設(shè)將此透鏡的凸面鍍銀，其作用也等同于一個(gè)凹面鏡，其其等效焦距。圖1-4-9當(dāng)透鏡的平面鍍銀時(shí)，其作用等同于焦距是30cm的凹面鏡，即這時(shí)透鏡等效面曲率半徑為60cm的球面反射鏡。由凹面鏡的成像性質(zhì)，當(dāng)物點(diǎn)置于等效曲率中心時(shí)任一近軸光線經(jīng)凸面折射，再經(jīng)平面反射后將沿原路返回，再經(jīng)凸面折射后，光線過點(diǎn)，物像重合。如圖1-4-8所示。，，。依題意，，，故。圖1-4-9凸面鍍銀，光路如圖1-4-9所示。關(guān)鍵尋找等效曲率中心，通過凸面上任一點(diǎn)A作一垂直于球面指向曲率中心C的光線。此光線經(jīng)平面折射后交至光軸于，令那么，，，得。由光的可逆性原理知，是等效凹面鏡的曲率中心，f=10cm。例1、如圖1-4-10所示，一個(gè)雙凸薄透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑均為r，透鏡的折射率為圖1-4-10圖1-4-10解:從物點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)透鏡前外表〔即左外表〕反射后形成虛像，不合題意，無須考慮。從物點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)透鏡前外表折射后，再經(jīng)透鏡后外表反射折回，又經(jīng)前外表折射共三次成像，最后是實(shí)像，符合題意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，結(jié)合物與像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式為：，其中反射面的焦距為〔R為球面半徑〕，對(duì)凹面鏡，f取正值，對(duì)凸面鏡，f取負(fù)值。球面折射的成像公式為：。當(dāng)入射光從頂點(diǎn)射向球心時(shí)，R取正值，當(dāng)入射光從球心射向頂圖1-4-11甲點(diǎn)時(shí)，R取負(fù)值。圖1-4-11甲如圖1-4-11甲所示，當(dāng)物點(diǎn)Q發(fā)出的光經(jīng)透鏡前外表折射后成像于，設(shè)物距為u，像距為v，根據(jù)球面折射成像公式：這里空氣的折射率，透鏡介質(zhì)的折射率，入射光從頂點(diǎn)射向球心，R=r取正值，所以有圖1-4-11乙〔1〕圖1-4-11乙這是第一次成像。對(duì)凸透鏡的后外表來說，物點(diǎn)Q經(jīng)透鏡前外表折射所成的風(fēng)點(diǎn)是它的物點(diǎn)，其物距〔是虛物〕，經(jīng)透鏡后外表反射后成像于，像距為〔如圖1-4-11乙所示〕，由球面反射成像公式圖1-4-11丙圖1-4-11丙將前面數(shù)據(jù)代入得〔2〕這是第二次成像。由透鏡后外表反射成的像點(diǎn)又作為透鏡前外表折射成像的物點(diǎn)，其物距〔是虛物〕，再經(jīng)過透鏡前外表折射成像于，像距為，〔見圖1-4-11丙所示〕，再由球面折射成像公式這時(shí)人射光一側(cè)折射率，折射光一側(cè)折射率〔是空氣〕，入射光由球心射向頂點(diǎn)，故R值取負(fù)值。所以可寫出代入前面得到的關(guān)系可得〔3〕這是第三次成像，由〔1〕、〔2〕兩式可解得〔4〕再把〔4〕式和〔3〕式相加，可得〔5〕為使物點(diǎn)Q與像點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，這就要求代入〔5〕是可解得物距為圖1-4-12說明由此題可見，觀察反射像，調(diào)整物距，使反射像與物同在同一豎直平面內(nèi)，測(cè)出物距P，根據(jù)上式就可利用的透鏡折射率n求出透鏡球面的半徑r，或反過來由已咋的球面半徑r求出透鏡的折射率n圖1-4-12例2、顯微鏡物鏡組中常配有如圖1-4-12所示的透鏡，它的外表是球面，左外表的球心為，半徑為，右外表的球心為，半徑為，透鏡玻璃對(duì)于空氣的折射率為n，兩球心間的距離為。在使用時(shí)，被觀察的物位于處，試證明1、從物射向此透鏡的光線，經(jīng)透鏡折射后，所有出射光線均相交于一點(diǎn)Q。2、。解:首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無折射地通過面，所以對(duì)來說，物點(diǎn)就在處。再考慮到面上的折射。設(shè)入射光線與主軸的夾角為θ，入射點(diǎn)為P，入射角為i，折射角為r，折射線的延長(zhǎng)線與主軸的交點(diǎn)為Q如圖1-4-13，那么由折射定律知圖1-4-13在中應(yīng)用正弦定理得圖1-4-13由此得所以設(shè)CP與主軸的夾角為α，那么有顯然，θ≠0時(shí)，r＜α，因此出射線與主軸相交之點(diǎn)Q必在透鏡左方。θ為的外角在中應(yīng)用正弦定理，得的數(shù)值與θ無關(guān)，由此可見，所有出射線的延長(zhǎng)線都交于同一點(diǎn)，且此點(diǎn)與的距離為。圖1-4-14例3、有一薄透鏡如圖1-4-14，面是旋轉(zhuǎn)橢球面〔橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面〕，其焦點(diǎn)為和；面是球面，其球心C與重合。此透鏡放在空氣中時(shí)能使從無窮遠(yuǎn)處于橢球長(zhǎng)軸的物點(diǎn)射來的全部入射光線〔不限于傍軸光線〕會(huì)聚于一個(gè)像點(diǎn)上，橢圓的偏心率為e。圖1-4-14(1)求此透鏡材料的折射率n〔要論證〕；(2)如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能到達(dá)上述的同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足什么條件分析:解此題的關(guān)鍵在于是正確地運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)及折射定律。圖1-4-15解:〔1〕根據(jù)題設(shè)，所有平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)橢球面和球面兩次折射后全部都能會(huì)聚于同一像點(diǎn)，可作出如下論證：如果經(jīng)橢球面折射后射向球面的光線都射向球心C，即射向旋轉(zhuǎn)橢球面的第二焦點(diǎn)，那么可滿足題設(shè)要求。光路圖如圖1-4-15所示：PA為入射線，AC為經(jīng)橢球面折射后的折射線，BN為A點(diǎn)處橢球面的法線，i為入射角，r為折射角。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，法線BN平分，故與法線的夾角也是r，由正弦定律可得圖1-4-15，圖1-4-16圖1-4-16從而可求得2a為長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，2c為焦點(diǎn)間的距離；即只要n滿足以上條件，任意入射角為i的平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線都能會(huì)聚于C〔即〕點(diǎn)?！?〕如果透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，那么要求圖圖1-4-17即橢圓的偏心率e應(yīng)滿足由于橢圓的e＜1，如果就無解。只要，總可以找到一個(gè)橢球面能滿足要求。例4、〔1〕圖1-4-16所示為一凹球面鏡，球心為C，內(nèi)盛透明液體。C至液面高度CE為40.0cm，主軸CO上有一物A，物離液面高度AE恰好為30.0cm時(shí)，物A的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)光圈直徑很小，可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。圖1-4-19〔2〕體溫計(jì)橫截面如圖1-4-17所示，細(xì)水銀柱A離圓柱面頂點(diǎn)O的距離為2R，R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，E圖1-4-19解:〔1〕主軸上物A發(fā)出的光線AB，經(jīng)液體界面折射后沿BD方向入射球面鏡時(shí)，只要BD延長(zhǎng)線經(jīng)過球心C，光線經(jīng)球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光線相交于A〔圖1-4-18〕。對(duì)空氣、液體界面用折射定律有當(dāng)光圈足夠小時(shí)，B→E，因此有〔2〕先考慮主軸上點(diǎn)物A發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向ACOE入射界面，無偏折地出射，進(jìn)入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P點(diǎn)，折射角為r。折射光線PQ要能進(jìn)入人眼E，P點(diǎn)應(yīng)非常靠近O點(diǎn)，或說入射角i折射角r應(yīng)很小。假設(shè)角度以弧度量度，在小角〔近軸〕近似下，折射定律可寫為。這兩條光線反向延長(zhǎng)，在主軸上相交于，即為物A之虛像點(diǎn)〔圖1-4-19〕對(duì)用正弦定律，得在小角〔近軸〕近似下：，上式可寫為解上式得為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體AB，即然是一對(duì)共軛點(diǎn)，只要選從B發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長(zhǎng)線與過垂軸線相交于，是點(diǎn)物B虛像點(diǎn)，即是物AB之正立虛像。選從B點(diǎn)發(fā)出過圓柱面軸心C之光線BC。該光線對(duì)界面來說是正入射〔入射角為零〕，故無偏折地出射，反向延長(zhǎng)BC線交過垂軸線于，從得圖1-4-20放大率=圖1-4-20圖1-4-21例5、有一半徑為R=0.128m的玻璃半球，過球心O并與其平面局部相垂直的直線為其主軸，在主軸上沿軸放置一細(xì)條形發(fā)光體〔離球心較近〕，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.020m。假設(shè)人眼在主軸附近對(duì)著平面局部向半球望去〔如圖1-4-20〕，可以看到條形發(fā)光體的兩個(gè)不很亮的像〔此處可能還有亮度更弱的像，不必考慮〕，當(dāng)條形發(fā)光體在主軸上前后移動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)像也在主軸上隨之移動(dòng)。現(xiàn)在調(diào)整條形發(fā)光體的位置，使得它的兩個(gè)像恰好頭尾相接，連在一起，此時(shí)條形發(fā)光體的近端距球心O的距離為。圖1-4-21試?yán)靡陨蠑?shù)據(jù)求出構(gòu)成此半球的玻璃折射率n〔計(jì)算時(shí)只考慮近軸光線〕。解:1、條形發(fā)光體的兩個(gè)像，一個(gè)是光線在平面局部反射而形成的，一個(gè)是光線經(jīng)平面折射進(jìn)入玻璃，在凹面鏡上反射后，又經(jīng)平面折射穿出玻璃而形成的。2、求半球外任一個(gè)在軸上的光點(diǎn)A的上述兩個(gè)像。平面反射像在處，〔見圖1-4-21〕凹面鏡反射像D求法如下：〔1〕A點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)平面折射后進(jìn)入玻璃，射向凹面鏡，對(duì)凹面鏡來說，相當(dāng)于光線從B點(diǎn)射來〔1-4-22〕。令OB=b，那么〔1〕圖1-4-22圖1-4-22〔f為焦距〕求凹面鏡成的像C的位置。令OC=C，那么，代入上式圖1-4-23圖1-4-23解出C得〔2〕由此可以看出，C點(diǎn)在半球之內(nèi)。〔3〕由C點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)折射穿出玻璃外時(shí)，由外面觀察其像點(diǎn)在D處〔見圖1-4-23〕。令OD=d，那么〔3〕D點(diǎn)就是人眼所看到的光點(diǎn)A的像的位置。由〔3〕式可知，a越大，d也越大，且d＜a圖1-4-243現(xiàn)在，條形發(fā)光體經(jīng)平面反射成的像為，設(shè)經(jīng)凹面鏡反射所成的像為。根據(jù)〔3〕式所得的a與d間的關(guān)系，可知離球心O比和近。所以當(dāng)二像恰好頭尾相接時(shí)，其位置應(yīng)如圖1-4-24所示，即與重合圖1-4-24〔4〕即圖1-5-1式中為距球心O的距離。因此得圖1-5-1〔5〕代入數(shù)據(jù)：R=0.128m，，得例6、某人的眼睛的近點(diǎn)是10cm，明視范圍是80cm，當(dāng)他配上-100度的近視鏡后明視范圍變成多少解:在配制眼鏡中，通常把眼睛焦距的倒數(shù)稱為焦度，用D表示，當(dāng)焦距的單位用m時(shí)，所配眼鏡的度數(shù)等于眼鏡焦度的100倍。此題中此人所配的近視眼鏡的度數(shù)是-100度，此人眼睛的度數(shù)，所以此近視鏡的焦距為當(dāng)此人戴上此眼鏡看最近距離的物體時(shí)，所成的虛像在他能看清的近點(diǎn)10cm，由解得物距因?yàn)榇巳说拿饕曔h(yuǎn)點(diǎn)是10cm+80cm=90cm，所以此人戴上眼鏡以后在看清最遠(yuǎn)的物體時(shí)，所成的虛像在離他90cm處，再根據(jù)透鏡公式可解得他能看清的最遠(yuǎn)物距是：所以，他戴上100度的近視眼鏡后，明視范圍是0.11m～9.0m。說明不管是配戴近視眼鏡還是遠(yuǎn)視眼鏡，他戴上眼鏡后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物體成虛像到他不戴眼鏡時(shí)所能看清的明視范圍內(nèi)?！?.5、透鏡成像1.5.1、透鏡成像作圖〔1〕三條特殊光線①通過光心的光線方向不變；②平行主軸的光線，折射后過焦點(diǎn)；③通過焦點(diǎn)的光線，折射后平行主軸?！?〕一般光線作圖：對(duì)于任一光線SA，過光心O作軸OO’平行于SA，與焦平面交于P點(diǎn)，連接AP或AP的反向延長(zhǎng)線即為SA的折射光線*像與物的概念：發(fā)光物體上的每個(gè)發(fā)光點(diǎn)可視為一個(gè)“物點(diǎn)〞即“物〞。一個(gè)物點(diǎn)上發(fā)出的光束，經(jīng)一系列光學(xué)系統(tǒng)作用后，假設(shè)成為會(huì)聚光束，那么會(huì)聚點(diǎn)為物的實(shí)像點(diǎn)；假設(shè)成為發(fā)散光束，那么其反向延長(zhǎng)線交點(diǎn)為物的虛像點(diǎn)；假設(shè)為平行光束那么不成像。1.5.2、薄透鏡成像公式薄透鏡成像公式是：式中f、u、v的正負(fù)仍遵循“實(shí)正、虛負(fù)〞的法那么。假設(shè)令，，那么有圖1-5-2圖1-5-2該式稱為“牛頓公式〞。式中x是物到“物方焦點(diǎn)〞的距離，是像到“像方焦點(diǎn)〞的距離。從物點(diǎn)到焦點(diǎn)，假設(shè)順著光路那么x取正，反之取負(fù)值；從像點(diǎn)到焦點(diǎn)，假設(shè)逆著光路那么取正值，反之取負(fù)值，該式可直接運(yùn)用成像作圖來推導(dǎo)，請(qǐng)讀者自行推導(dǎo)，從而弄清的意義。下面用牛頓公式討論一個(gè)問題。一個(gè)光源以v=0.2m/s的速度沿著焦距f=20cm的凸透鏡向光心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過距光心和的兩點(diǎn)時(shí)，求像所在的位置及速度。，代入牛頓公式得，，，，上述、、、意義如圖1-5-2所示。設(shè)在△t時(shí)間內(nèi)，點(diǎn)光源的位移為△x，像點(diǎn)的位移為，有當(dāng)△t→0時(shí)△x→0，略去△x的二階小量，有圖1-5-3圖1-5-3將、、、的值代入，求得，。像移動(dòng)方向與移動(dòng)方向一樣。*“實(shí)正、虛負(fù)〞法那么：凸透鏡焦距取正值，凹透鏡焦距取負(fù)值；實(shí)像像距取正值，虛像像距取負(fù)值。實(shí)物物距取正值，虛物物距取負(fù)值。*實(shí)物與虛物：發(fā)散的入射光束的頂點(diǎn)〔不問是否有實(shí)際光束通過此頂點(diǎn)〕是實(shí)物；會(huì)聚的入射光束的頂點(diǎn)〔永遠(yuǎn)沒有實(shí)際光束通過該頂點(diǎn)〕是虛物。假定，P為實(shí)物，為虛像使所有光線都循原路沿相反方向進(jìn)展，如將〔a〕反向?yàn)椤瞓〕圖所示，那么表示光線在未遇凸面鏡之前是會(huì)聚的，為虛物均為實(shí)物。1.5.3、組合透鏡成像uv圖1-5-4如果由焦距分別為和的A、B兩片薄透鏡構(gòu)成一個(gè)透鏡組〔共主軸〕將一個(gè)點(diǎn)光源S放在主軸上距透鏡u處，在透鏡另一側(cè)距透鏡v處成一像〔圖1-5-4〕所示。對(duì)這一成像結(jié)果，可以從以下兩個(gè)不同的角度來考慮。uv圖1-5-4因?yàn)锳、B都是薄透鏡，所以互相靠攏地放在一起仍可看成一個(gè)薄透鏡。設(shè)這個(gè)組合透鏡的焦距是f，那么應(yīng)有①另一個(gè)考慮角度可認(rèn)為是S經(jīng)A、B兩個(gè)透鏡依次成像的結(jié)果。如S經(jīng)A后成像，設(shè)位于A右側(cè)距A為處，應(yīng)有②因?yàn)槲挥谕哥RB右側(cè)處，對(duì)B為一虛物，物距為，再經(jīng)B成像，所以③由②、③可解得④對(duì)比①、④兩式可知如果A、B中有凹透鏡，只要取負(fù)的或代入即可。1.5.4、光學(xué)儀器的放大率實(shí)像光學(xué)儀器的放大率幻燈下、照相機(jī)都是常見的實(shí)像光學(xué)儀器。由于此類儀器獲得的是物體的實(shí)像，因而放大率m一般是指所有成實(shí)像的長(zhǎng)度放大率，即v=mu。如果有一幻燈機(jī)，當(dāng)幻燈片與銀幕相距2.5m時(shí)，可在銀幕上得到放大率為24的像；假設(shè)想得到放大率為40的像，那么，假設(shè)幻燈片不動(dòng)，鏡頭和銀幕應(yīng)分別移動(dòng)多少dLdL圖1-5-5可解得，第二次放映可解得，對(duì)比和，可知鏡頭縮回1.6mm；對(duì)比和，可知銀幕應(yīng)移遠(yuǎn)1.54m。虛像光學(xué)儀器的放大率望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡是常見的虛像光學(xué)儀器。由于此類儀器得到的是物體的虛像，目的是擴(kuò)大觀察的視角，因此放大率m一般是指視角放大率。如果直接觀察物體的視角為α，用儀器觀察物體的視角為β，那么m=β/α先看顯微鏡的放大率。如果有一臺(tái)顯微鏡，物鏡焦距為，目鏡焦距為，鏡筒長(zhǎng)L，假設(shè)最后的像成在離目鏡d處，試證明顯微鏡的放大率。sf1f2圖1-5-6顯微鏡的光路如圖1-5-5所示，sf1f2圖1-5-6因、相對(duì)L都較小，而且B很靠近，所以，即u≈fv圖1-5-7圖1-5-8圖1-5-9位于目鏡Ⅱ的焦點(diǎn)內(nèi)，經(jīng)目鏡成一放大的虛像〔通常讓成在觀察者的明視距離u≈fv圖1-5-7圖1-5-8圖1-5-9假設(shè)觀察者不用顯微鏡，直接觀看AB的視角α為那么顯微鏡的放大率m不難看出目鏡的長(zhǎng)度放大率為所以有下面再看天文望遠(yuǎn)鏡的放大率，如果天文望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦距為，目鏡焦距為，試證明天文望遠(yuǎn)鏡的放大率。望遠(yuǎn)鏡成像光路如圖1-5-6所示，遠(yuǎn)處物體AB由物鏡Ⅰ成像，然后再由目鏡Ⅱ在遠(yuǎn)處成一虛像〔圖中未畫出〕，觀察者觀察的視角即為圖中的β，。假設(shè)不用望遠(yuǎn)鏡，觀察者直接觀察距望遠(yuǎn)鏡S遠(yuǎn)處的物體AB的視角，近似為圖中的α因此望遠(yuǎn)鏡的放大率m為1.5.5、常見的光學(xué)儀器投影儀器電影機(jī)、幻燈機(jī)、印相放大機(jī)以及繪圖用的投影儀等，都屬于投影儀器，它的主要局部是一個(gè)會(huì)聚的投影鏡頭，將畫片成放大的實(shí)像于屏幕上，如圖1-5-7。由于物距u略大于焦距f，畫片總在物方焦平面附近，像距υ?f，放大率，它與像距v成正比。一光學(xué)系統(tǒng)如圖1-5-8所示，A為物平面，垂直于光軸，L為會(huì)聚透鏡，M與光軸成45°角的平面鏡。P為像面，垂直于經(jīng)平面鏡反射后的光軸。設(shè)物為A面上的一個(gè)“上〞字，試在圖1-5-9中實(shí)像面P上畫出像的形狀。眼睛眼睛是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的天然光學(xué)儀器。從構(gòu)造上看，類似于照像機(jī)，圖1-5-10為HH’圖1-5-10眼球在水平方向的剖面圖。其中布滿視覺神經(jīng)的網(wǎng)膜，相當(dāng)于照像機(jī)中的感光底片，虹膜相當(dāng)于照像機(jī)中的可變光闌，它中間的圓孔稱為瞳孔。眼球中的晶狀體是一個(gè)折射率不均勻的透鏡，包在眼球外面的堅(jiān)韌的膜，最前面的透明局部稱為角膜，其余局部為鞏膜。角膜與晶狀體之間的局部稱為前房，其中充滿水狀液。晶狀體與網(wǎng)膜之間眼球的內(nèi)腔，稱為后房，其中充滿玻璃狀液。所以，眼睛是一個(gè)物、像方介質(zhì)折射率不等的例子。聚焦光無窮遠(yuǎn)時(shí)，物焦距fHH’圖1-5-10眼睛肌肉完全松弛和最緊張時(shí)所能清楚看到的點(diǎn)，分別稱為它調(diào)節(jié)范圍的遠(yuǎn)點(diǎn)和近點(diǎn)。正圖圖1-5-11視角、視角放大物體的兩端對(duì)人眼光心所張的角度叫做視角，視角的大小跟物體的尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點(diǎn)〔或同一物體上的兩點(diǎn)〕對(duì)人眼視角大小〔約〕時(shí)，才能被人眼區(qū)分。圖1-5-12圖1-5-12圖1-5-13圖1-5-11是人眼〔E〕通過放大鏡觀察物體AB的像，當(dāng)人眼靠近光心時(shí)視角。圖1-5-13假設(shè)物體很靠近焦點(diǎn)，且成像于明視距離，那么：，假設(shè)不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖1-5-12，BE=25cm，那么視角：圖1-5-14圖1-5-15把用光學(xué)儀器觀察虛像所得視角與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角φ的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。用β圖1-5-14圖1-5-15對(duì)于放大鏡，有。顯微鏡圖1-5-13是顯微鏡成像原理圖。被觀察物體AB置于物鏡焦點(diǎn)外很靠近焦點(diǎn)處，〔〕，成放大實(shí)像于目鏡焦點(diǎn)內(nèi)靠近焦點(diǎn)處〔〕，眼睛靠近目鏡的光心可觀察到位于明視距離的虛像顯微鏡的物鏡視角放大率未在圖中畫出。目鏡放大率：未在圖中畫出。顯微鏡的視角放大率：式中L是鏡筒長(zhǎng)度。由于?L，因此在計(jì)算放大率時(shí)用L代表物鏡像距。通常顯微鏡焦距很小，多為mm數(shù)量級(jí)，明鏡焦距稍長(zhǎng)，但一般也在2cm以內(nèi)。望遠(yuǎn)鏡望遠(yuǎn)鏡用于觀察大而遠(yuǎn)的物體，如圖1-5-14，圖1-5-15分別表示開普勒望遠(yuǎn)鏡和伽利略望遠(yuǎn)鏡的光路圖。圖1-5-16圖1-5-16兩種望遠(yuǎn)鏡都是用焦距較長(zhǎng)的凸透鏡做物鏡。遠(yuǎn)處物體從同點(diǎn)發(fā)出的光線可近似為平行光，因此將在物鏡的焦平面上成一實(shí)像。開普勒望遠(yuǎn)鏡的目鏡也是凸透鏡，其焦距較短，物方焦平面和物鏡的像方焦平面幾乎重合。結(jié)果，以為物，在無窮遠(yuǎn)處得到虛像。而伽利略望遠(yuǎn)鏡的目鏡那么是凹透鏡，當(dāng)它的物方焦平面〔在右側(cè)〕與物鏡的像方焦平面重合時(shí)，實(shí)像卻成了虛物，經(jīng)凹透鏡折射成像于無窮遠(yuǎn)處。圖1-5-16圖1-5-16由圖中看出伽利略望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是正立的，可用于觀察地面物體，而開普勒望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是倒立的，只適合作為天文望遠(yuǎn)鏡。從圖中的幾何關(guān)系還可看出兩種望遠(yuǎn)鏡的視角放大率均為：還有一類望遠(yuǎn)鏡的物鏡是凹面鏡，稱為反射式望遠(yuǎn)鏡。大型的天文望遠(yuǎn)鏡都是反射式望遠(yuǎn)鏡。例題例1、如圖1-5-16。AB為一線狀物體，為此物經(jīng)透鏡所成的像。試用作圖法確定此鏡的位置和焦距，寫出作圖步驟。分析:像是倒像，所以透鏡應(yīng)是凸透鏡。物AB和像不平行，所以物相對(duì)于透鏡的主軸是斜放的，沿物體AB和其像所引出的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)必在過光心且垂直于主軸的平面上，這條特殊光線是解答此題的關(guān)鍵光線。圖1-5-19圖1-5-18解:作和的連線，兩條連線的交點(diǎn)O就是凸透鏡光心的位置。作AB和的延長(zhǎng)線交于C點(diǎn)，C點(diǎn)必定落在透鏡上。由C、O兩點(diǎn)可畫出透鏡的位置，過O點(diǎn)且與 CO垂直的連線MN就是透鏡的主光軸，如圖1-5-17所示。過A點(diǎn)作平行于主光軸的直線交透鏡于D點(diǎn)，連接，該連線與主光軸的交點(diǎn)F就是透鏡的右焦點(diǎn)位置。過作平行于主光軸的直線交透鏡于E點(diǎn)，連線EA與主光軸的交點(diǎn)就是透鏡左焦點(diǎn)的位置所在。圖1-5-19圖1-5-18點(diǎn)評(píng)熟練掌握凸透鏡、凹透鏡的成像特點(diǎn)和規(guī)律，并能靈活運(yùn)用特殊光線來作圖是解決這一類作圖題的關(guān)鍵。例2、如圖1-5-18，MN是凸透鏡主光軸，O為光心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，圖中所畫兩條光線為點(diǎn)光源S經(jīng)凸透鏡折射的兩條光線。用作圖法確定光源S與像點(diǎn)的位置。分析:經(jīng)凸透鏡折射后的兩條出射光線它們看上去是由像點(diǎn)發(fā)出來的，所以兩條出射光線的反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)就是像點(diǎn)的所圖1-5-20圖1-5-21在位置。由于物點(diǎn)發(fā)出的過光心的光線不改變方向，由此可以確定物點(diǎn)S落在直線上，與凸透鏡右焦點(diǎn)F的連線交凸透鏡于P點(diǎn)，由于物點(diǎn)發(fā)出的平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后過F焦點(diǎn)，所以過P點(diǎn)作與主光軸MN的平行線與相交處就是物點(diǎn)S所在位置。如圖1-5-19所示。圖1-5-20圖1-5-21解:反向延長(zhǎng)兩條出射光線，它們的交點(diǎn)就是像點(diǎn)，分別作和O的連線，和F的連線且與凸透鏡交于P，過P點(diǎn)作與MN的平行線PS與交于S，S就是物點(diǎn)所在位置。點(diǎn)評(píng)正確理解像的物理意義，物與像之間的關(guān)系，才能順利解答這類作圖題。例3、在斯涅耳的檔案中有一張光學(xué)圖〔見1-5-20〕，由于墨水褪色只留下三個(gè)點(diǎn)；一個(gè)薄透鏡的焦點(diǎn)F，光源S和透鏡上的一點(diǎn)L。此外還留下一局部從光源S畫到其像的直線a。從正文中知道S點(diǎn)比點(diǎn)更靠近透鏡，有可能恢復(fù)這張圖嗎如果可能，把它畫出來，并確定圖中透鏡的焦距。解:1、令O為透鏡的光學(xué)中心；2、F和O點(diǎn)應(yīng)位于垂直于透鏡的光軸上，因此是直角；3、連接光源及其像的直線總是通過透鏡的光學(xué)中心；4、連接F，L點(diǎn)并以線段FL的中點(diǎn)C為圓心，畫一通過F及L點(diǎn)的圓；5、由于一個(gè)圓的直徑所對(duì)著的圓周角總是直角，可以判定O點(diǎn)位于圓和直線a的交點(diǎn)上；6、從圓中找到O點(diǎn)的兩個(gè)可能的位置〔和〕；7、恢復(fù)出兩種可能的示意圖，如圖1-5-21所示；8、由于光源S比其像更靠近透鏡，可以斷定只有透鏡符圖1-5-22合題意。實(shí)際上，對(duì)透鏡可以看到S到的距離大于二倍焦距，因此到的距離小于二倍焦距。圖1-5-22例4、焦距均為f的二凸透鏡、與兩個(gè)圓形平面反射鏡、放置如圖1-5-22。二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的中心，四鏡的直徑一樣，在主軸上有一點(diǎn)光源O。1、畫出由光源向右的一條光線OA〔如圖1-5-22所示〕在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路。2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置〔O點(diǎn)除外〕形成光源O的能看到的像，哪些是實(shí)像哪些是虛像。3、現(xiàn)在用不透明板把和的下半部〔包括透鏡中心〕都遮住，說出這些像有什么變化。圖1-5-23PQ解:1、光線OA的第一次往返光路如圖1-5-23所示。當(dāng)光線由圖中左方返回經(jīng)O點(diǎn)后，將繼續(xù)向右下方進(jìn)展，作第二次往返。第二次往返的光路在圖中未畫出，可按圖中光路對(duì)稱于主軸畫出。以后，光線重復(fù)以上兩種往返光路。2、向右發(fā)出的光線：處成實(shí)像，右方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實(shí)像；P處〔左方處主軸上〕成虛像。H2fFF/圖1-5-24向左發(fā)出的光線：處成實(shí)像；左方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實(shí)像；Q處〔H2fFF/圖1-5-243、向右發(fā)出的光線只在處成實(shí)像。向左發(fā)出的光線只在處成實(shí)像。兩像均比未遮住時(shí)暗。例5、一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀,現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上〔圖1-5-24〕?！?〕用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實(shí)。〔2〕用計(jì)算法求出此像的位置和大小。分析:這道題實(shí)質(zhì)是一個(gè)凸透鏡與一嚴(yán)密接合的平面鏡的組合成像問題。雖然我們畫不出光線經(jīng)透鏡折射后射向平面鏡的光路，但光路仍然遵守凸透鏡與平面鏡成像規(guī)律，這是我們?cè)诰唧w分析光路時(shí)必須牢牢抓住的一點(diǎn)。成像的計(jì)算也是遵守凸透鏡與平面鏡的成像計(jì)算方法的。解:〔1〕用作圖法求得物AP的像及所用各條光線的光路如圖1-5-25所示。說明：平凸透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個(gè)由會(huì)聚透鏡L和與它密接的平面鏡M組合LM，如圖1-5-25所示。圖中O為L(zhǎng)的光心，為主軸，F(xiàn)和為L(zhǎng)的兩個(gè)焦點(diǎn)，AP為物。作圖時(shí)利用了以下三條特征光線：HPAFSTA/P/LMQOS/F/圖1-5-25HPAFSTA/P/LMQOS/F/圖1-5-25②由P發(fā)出且通過L左方焦點(diǎn)F的入射光線PFR，它經(jīng)過L折射后的出射線與主軸平行，垂直射向平面鏡M，然后被M反射，反射光線平行于L的主軸，并向左射入L，經(jīng)L折射后的出射線通過焦點(diǎn)F，即為圖個(gè)中RFP。③由P發(fā)出的平行于主軸的入射光線PQ，它經(jīng)過L折射后的出射線將射向L的焦點(diǎn)，即沿圖中的方向射向平面鏡，然后被M反射，反射線指向與對(duì)稱的F點(diǎn)，即沿QF方向。此反射線經(jīng)L折射后的出射線可用下法畫出：通過O作平行于QF輔助線，通過光心，其方向保持不變，與焦面相交于T點(diǎn)。由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦面上的同一點(diǎn)，故QF經(jīng)L折射后的出射線也通過T點(diǎn)，圖中的QT即為QF經(jīng)L折射后的出射光線。上列三條出射光線的交點(diǎn)即為L(zhǎng)M組合所成的P點(diǎn)的像，對(duì)應(yīng)的即A的像點(diǎn)。由圖可判明，像是倒立實(shí)像，只要采取此三條光線中任意兩條即可得，即為正確的答案。〔2〕按陸續(xù)成像計(jì)算物AP經(jīng)LM組合所成像的位置、大小。物AP經(jīng)透鏡L成的像為第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平面鏡后距離2f處，像的大小與原物一樣，。第一像作為物經(jīng)反射鏡M成的像為第二像。第一像在反射鏡M后2f處，對(duì)M來說是虛物，成實(shí)像于M前2f處。像的大小也與原物一樣，。第二像作為物，再經(jīng)透鏡L而成的像為第三像。這是因?yàn)楣饩€由L右方入射。且物〔第二像〕位于L左方，故為虛物，取物距，由透鏡公式可得像距CFOF圖1-5-26上述結(jié)果說明，第三像，即此題所求的像的位置在透鏡左方距離處，像的大小CFOF圖1-5-26像高為物高的。CFOFxPPˊxˊy,yˊ圖1-5-27例6、如圖1-5-26所示，凸透鏡焦距fCFOFxPPˊxˊy,yˊ圖1-5-27分析:先考慮發(fā)光圓環(huán)上任意一點(diǎn)P經(jīng)透鏡所成之像，當(dāng)P點(diǎn)繞圓環(huán)一周時(shí)，對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)的集合就構(gòu)成整個(gè)發(fā)光圓環(huán)通過透鏡所成的像。因此可用解析幾何的方法討論此題。解:如圖1-5-27所示，以O(shè)點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)系xOy和?？紤]發(fā)光圓環(huán)上任一點(diǎn)P〔x，y〕，那么有①發(fā)光點(diǎn)P〔x，y〕的像為，根據(jù)透鏡成像公式及放大率關(guān)系可有②③聯(lián)立②、③式解得④⑤將④、⑤式代入①式中并整理得⑥⑥式即為所需求的圓環(huán)之像。這是一個(gè)對(duì)稱中心位于光心45cm處，以主光軸為長(zhǎng)軸的橢圓。討論如果把發(fā)光圓環(huán)用一球殼取代，那么根據(jù)對(duì)稱性，球殼的像是以圓環(huán)的像繞主軸旋轉(zhuǎn)一周行成的一橢圓。r1rr1r2fdFAB圖1-5-28例7、求厚透鏡對(duì)兩個(gè)不同波長(zhǎng)有同一焦距的條件。并且不同類型的透鏡，討論可行性。解:我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征；球形外表的半徑和，厚度d和折射n〔圖1-5-28〕，焦距f=BF由下式給出焦距是從主點(diǎn)B算起的。B離外表的距離為上述公式對(duì)任意厚度的厚透鏡都成立，但只對(duì)近軸光線才給滿意結(jié)果，因?yàn)槭窃谝欢ǖ慕葡碌玫降摹９獗煌哥R色散。透鏡對(duì)波長(zhǎng)的折射率是，對(duì)波長(zhǎng)的折射率是。按折射率n的冪次整理焦距公式，得這是一個(gè)二次方程。給定一個(gè)f值，應(yīng)有兩個(gè)n值，因此，我們的問題可以解決。先后以和代入方程，并令其相等整理后得到如果半徑與厚度d滿足這一條件，那么對(duì)兩個(gè)不同的波長(zhǎng)，即對(duì)兩不同的折射率來說，焦距是一樣的。有趣的是折射率的乘積在起作用，而不是色散〔〕。因折射率大于1，于是括號(hào)內(nèi)的數(shù)值小于1，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡將是相當(dāng)厚的。結(jié)果討論：首先，透鏡不可以是平凸或平凹的，因?yàn)檫@種透鏡有無限大的半徑。其次，和之一為負(fù)的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。12.0cm8.0cm0.90cm圖1-3-29如果要求的不是12.0cm8.0cm0.90cm圖1-3-29例7、照相機(jī)鏡頭L前2.28m處的物體被清晰地成像在鏡頭后面12.0cm處的最相膠片P上，兩面平行的玻璃平板插入鏡頭與膠片之間，與光軸垂直，位置如圖1-3-29所示。設(shè)照相機(jī)鏡頭可看作一個(gè)簡(jiǎn)薄弱凸透鏡，光線為近軸光線。1、求插入玻璃板后，像的新位置。2、如果保持鏡頭、玻璃板、膠片三者間距離不變，假設(shè)要求物體仍然清晰地成像于膠片上，那么物體應(yīng)放在何處解:解法1圖1-3-301、折射率為n，厚度為d兩面平行的玻璃板，對(duì)于會(huì)聚在像點(diǎn)的傍軸光束的折射作用可如下方法求出：如圖1-3-30，取任一指向點(diǎn)的傍軸光線C，此光線經(jīng)平行玻璃板折射的光路為CDE，在平板第一面的入射角i與折射角r均為小角度，反向延長(zhǎng)E交D點(diǎn)處的法線于F，容易看出，DE為平行四邊形，那么圖1-3-30平行板厚度d為得因?yàn)閕與r都很小，所以故得以上結(jié)果對(duì)任何會(huì)聚于點(diǎn)的傍軸光線均成立，所以向軸上點(diǎn)會(huì)聚的傍軸光束經(jīng)平行玻璃板折射后會(huì)聚于軸上點(diǎn)。在這種情形下，平行玻璃板的作用是使像點(diǎn)向遠(yuǎn)離平板方向移動(dòng)距離，由題給數(shù)據(jù)得故像成在鏡頭后面12.0+0.3=12.3〔cm〕處。2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f，不放玻璃板時(shí)有1/228+1/2=1/f，可得f=11.4cm。插入玻璃板時(shí)，假設(shè)要像仍成在離鏡頭12cm處的膠片上，應(yīng)改變物距使不放玻璃板時(shí)成像在鏡頭后面v處，即v=12.0-0.3=11.7(cm)。設(shè)這時(shí)物距為u，那么1/u+1/11.7=1/11.4，得u≈4.45m。即：物體置于鏡頭前4.45m時(shí)，插入玻璃板后，仍可在膠片上得到清晰的像。解法2圖1-5-31圖1-5-31，，根據(jù)公式〔見圖1-5-31〕可得對(duì)于玻璃板第二面上的折射，〔見圖1-3-32〕其物距為圖1-5-32圖1-5-32又根據(jù)可得故像成在鏡頭后面的像距為比原像向后移動(dòng)△v，即2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f，不插入玻璃板時(shí)，1/f=1/228+1/12，得f=11.4cm。要使放上玻璃板后，像還成在離鏡頭12cm處的膠片上，可采用個(gè)光路可逆性原理從像的位置，求此物體應(yīng)在的位置。對(duì)于玻璃板第二面上的折射：：像距，，，設(shè)與之相應(yīng)的物為，那么可得物L(fēng)物L(fēng)1L2圖1-5-29對(duì)于玻璃板第一面上的折射：：像距，，，設(shè)與之相應(yīng)的物為P，那么可得對(duì)于凸透鏡，像距為v=8.6+3.1=11.7(cm)，那么此時(shí)物距為u，那么有1/u+1/11.7=1/11.4，u=4.45m。即物體應(yīng)放在照相機(jī)鏡頭前4.45m處，才能在膠片上得到清晰的像。L1d+uuvd-vdL1d+uuvd-vdO1O2L2圖1-5-31分析:首先，我們應(yīng)根據(jù)題目給出的條件，分析得出物經(jīng)透鏡、所成像的虛、實(shí)與大小，從而得出光學(xué)系統(tǒng)的配置關(guān)系；然后再運(yùn)用透鏡成像公式求出光學(xué)系統(tǒng)中物、、位置的具體距離與、的數(shù)量關(guān)系。解:設(shè)光線由左向右，先后經(jīng)過兩個(gè)凸透鏡而成像于題目所要求的位置。反回去考慮，光線經(jīng)過第2個(gè)透鏡后將繼續(xù)向右傳播，所以最后成的像必為虛像才能滿足題設(shè)要求。由此判定，作為透鏡2的“物〞必在其左側(cè)，物距小于透鏡2的焦距，并且是倒立的。再考慮到透鏡2的“物〞應(yīng)該是透鏡1對(duì)給定的傍軸物體所成的像〔中間像〕，它只能是給定物的倒立實(shí)像，必然成像在透鏡1的右側(cè)。〔由于最后的像與原物同樣大小，還可以肯定中間像一定是縮小的?！骋陨戏治稣f明，光線系統(tǒng)的配置如圖1-5-28所示。根據(jù)圖上標(biāo)明的兩透鏡位置和物距、像距，有L1LL1L2d2cm18cmF′F(共焦)圖1-5-34因最后像為虛像，那么②又因物、像大小相等，那么③由③得代入①②并經(jīng)過化簡(jiǎn)可得，因題圖中要求，故必須。由以上分析可知，要取焦距較小的透鏡〔即如，取透鏡a，反那么反之〕作透鏡，放在物右方距離u處，而把焦距較大的透鏡作為透鏡放在透鏡右方距離d處，就得到題所要求的配置方案。例9、焦距為20cm的薄凸透鏡和焦距為18cm的薄凹透鏡，應(yīng)若何放置，才能使平行光通過組合透鏡后成為1、平行光束；2、會(huì)聚光束；3、發(fā)散光束；〔所有可能的情況均繪圖表示〕。LL2L1dF′F2圖1-5-35F2F1L1L2圖1-5-36解:設(shè)凸透鏡主焦點(diǎn)為；凹透鏡主焦點(diǎn)為。1、平行光束F2F1L2L1F2F1L2L1圖1-5-37LL2L1dF′F2圖1-5-38ddF1F2L2L1圖1-5-39圖圖1-5-40〔2〕凹透鏡在前時(shí)，d=2cm，根據(jù)光路可逆性原理，這相當(dāng)于把前面的系統(tǒng)反過來。2、會(huì)聚光束。〔1〕凸透鏡在前時(shí)，20cm＞d＞2cm〔圖1-5-35〕?！?〕凹透鏡在前時(shí)d＞2cm〔圖1-5-36〕。3、發(fā)散光束〔1〕凸透鏡在前時(shí)，d＞2cm〔圖1-5-37〕〔2〕凸透鏡在前時(shí)，20cm＞d＞2cm〔圖1-5-38〕凹透鏡在前時(shí)，20cm＞d＞2cm〔圖1-5-39〕10、焦距f的數(shù)值均一樣的三個(gè)薄透鏡、與，依次為凸透鏡、凹透鏡與凸透鏡，它們構(gòu)成一個(gè)共軸光學(xué)系統(tǒng)，相鄰?fù)哥R間的距離均為d，各透鏡的光心分別為，如圖1-5-40所示，在透鏡左方，位于主光軸上的物點(diǎn)P，經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)最終成像于透鏡右方的Q點(diǎn)假設(shè)距離，那么物點(diǎn)P與透鏡的距離應(yīng)為多少分析:此題按陸續(xù)成像考慮，一個(gè)一個(gè)透鏡做下去也能得出⑥式的解，但列式子時(shí)容易出錯(cuò)，不如考慮對(duì)稱性的解法，有清晰的物理圖像，求解主動(dòng)。此題的⑦式的解也以用“P經(jīng)成像〞的思路解出最為簡(jiǎn)明，但能這樣想必須以“透鏡成像時(shí)，假設(shè)物距為零那么像距也為零〞作為結(jié)論才行。解:〔1〕該系統(tǒng)對(duì)凹透鏡而言是一左右對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)。依題意，物點(diǎn)P與像點(diǎn)Q處于對(duì)稱的位置上，即對(duì)