2024秋高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2空間中的平面與空間向量課后習(xí)題新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE11.2.2空間中的平面與空間向量A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.若a=(1,2,3)是平面γ的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)2.設(shè)平面α的法向量為(1,-2,λ),平面β的法向量為(2,μ,4),若α∥β,則λ+μ=()A.2 B.4 C.-2 D.-43.已知n為平面α的一個(gè)法向量,l為一條直線,則“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知點(diǎn)A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點(diǎn)P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)5.(多選題)對于兩條不同直線m,n和兩個(gè)不同平面α,β,下列選項(xiàng)中正確的為()A.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥nB.若m∥α,n∥β,α⊥β,則m⊥n或m∥nC.若m∥α,α∥β,則m∥β或m?βD.若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α6.已知直線l與平面α垂直,直線l的一個(gè)方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z=.

7.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是.

8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α內(nèi)三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量為a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

9.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1);②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的是.(填序號)

10.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點(diǎn),在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求:(1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量;(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.11.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.B級關(guān)鍵實(shí)力提升練13.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-214.已知直線l的方向向量為a,且直線l不在平面α內(nèi),平面α內(nèi)兩共點(diǎn)向量OA,OB,下列關(guān)系中肯定能表示l∥α的是(A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能15.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)單位法向量為()A.-13,-2C.-13,216.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則以下結(jié)論不正確的有(A.EF至多與A1D,AC中的一個(gè)垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面17.(多選題)已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列結(jié)論正確的有()A.AB與B.與AB共線的單位向量是(1,1,0)C.AB與BC夾角的余弦值是D.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)18.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面D1EF的一個(gè)法向量是.

19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=21,則n的坐標(biāo)為.

20.如圖所示,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面QMN∥平面PAD.21.如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.證明:A1C⊥平面BB1D1D.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練22.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,過動點(diǎn)P(1,2),法向量為n=(-2,3)的直線的點(diǎn)法式方程為-2(x-1)+3(y-2)=0,化簡得2x-3y+4=0,類比上述方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)P(1,2,-1),且法向量為n=(-2,3,1)的平面的點(diǎn)法式方程應(yīng)為()A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=023.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱BB1和DD1的中點(diǎn).(1)求證:平面B1FC1∥平面ADE;(2)試在棱DC上求一點(diǎn)M,使D1M⊥平面ADE.

1.2.2空間中的平面與空間向量1.B向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線.2.C∵α∥β,∴12=-2μ=λ4,解得λ=2,μ=-3.B當(dāng)“l(fā)⊥n”時(shí),由于l可能在平面α內(nèi),所以無法推出“l(fā)∥α”;當(dāng)“l(fā)∥α”時(shí),“l(fā)⊥n”.綜上所述,“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件.故選B.4.CAB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z).由題可知PA⊥AB,PA⊥∴x-1+z=0,-2x-z=05.ACD若m⊥α,n⊥β,m的方向向量是α的法向量,n的方向向量是β的法向量,α⊥β,則α,β的方向向量垂直,所以m的方向向量與n的方向向量垂直,則m⊥n,A正確;若m∥α,n∥β,α⊥β,m,n可平行,可相交,可異面,不肯定垂直,B不正確;若m∥α,α∥β,則m∥β或m?β,m與β不相交,C正確;若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,n與α不相交,D正確.故選ACD.6.-9由題知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.7.AB∥平面CDE或AB?平面CDE8.2∶3∶(-4)由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,∵a是平面α的一個(gè)法向量,∴a·AB=0,a·AC=0,即x-3∴x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).9.①②③DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①正確;BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②正確;直線AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故③正確;點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1,1,1),AC1與平面B1CD10.解設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2).(1)設(shè)平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=(x1,y1,z1).∵DB=(2,2,0),DD1∴DB令x1=1,則y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=(1,-1,0).(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為m=(x2,y2,z2),則DB令x2=2,則y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一個(gè)法向量為m=(2,-2,-1).11.證明(方法一)∵M(jìn)N=C1N∴MN∥又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法二)如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),則n·DA1=0,且n·DB=0,取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又MN·n=12,0,12·(1,∴MN⊥n,且MN?平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.(方法三)∵M(jìn)N=C1N?C1M=1∴MN∥又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.12.證明(1)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC為正三角形.∴C12,32,0,E14,34,12,A(0,0,0).設(shè)D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12,y-32,0.由AC∴CD=-12∴AE·CD=-1∴AE⊥CD,即AE⊥(2)(方法一)∵AB=(1,0,0),AE=∴設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則x令y=2,則z=-3,∴n=(0,2,-3).∵PD=0,23∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.(方法二)∵P(0,0,1),∴PD=又AE·PD=34×∴PD⊥AE,即PD⊥又∵AB=(1,0,0),∴PD·AB∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,AB?平面ABE,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.13.Ac=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,得c·a14.DA,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能確定肯定能表示為l∥α.15.B設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則2x+2y+z=0,4所以n=(1,-2,2).因?yàn)閨n|=3,所以平面ABC的一個(gè)單位法向量為-13,216.ACD以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),∴A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,∴EF=-13BD1,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.17.CD對于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),不存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC,所以AB與AC不是共線向量,所以A對于B,因?yàn)锳B=(2,1,0),所以與AB共線的單位向量是255,55,0或-255,-55,0,對于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||對于D,設(shè)平面ABC的法向量是n=(x,y,z).因?yàn)锳B=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以n令x=1,則n=(1,-2,5),所以D正確.故選CD.18.(-6,3,2)(答案不唯一)∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,-3),D1F=(0,2,-3),設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量是n=(x,則n·D1E=x+4y-3z=0,n·D1F19.(-2,4,1)或(2,-4,-1)據(jù)題意,得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),∵n與平面ABC垂直,∴n·AB∵|n|=21,∴x2解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí),x=-2,z=1;當(dāng)y=-4時(shí),x=2,z=-1.∴n的坐標(biāo)為(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.證明(1)如圖,以A為原點(diǎn),以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),因?yàn)镸,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn),所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,所以MN=0,-d2,-d2.因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),且MN·m=0,即MN⊥m.又MN不在平面PAD內(nèi),故MN∥平面PAD.(2)因?yàn)镼N=(0,-d,0),所以QN·m=0,即QN⊥m,又QN不在平面PAD內(nèi),所以QN∥平面PAD.又因?yàn)镸N∩QN=N,MN?平面MNQ,QN?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.21.證明由題設(shè)易知OA,OB,OA1兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,∵AB=AA1=2,∴OA=OB=OA1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).∴A1C=(-1,0,-1),BD=(0,BB1=A∴A1C·BD=∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,BD?平面BB1D1D,BB1?平面BB1D1D,∴A1C⊥平面BB1D1D.22.B通過類比,易得點(diǎn)法式方程為-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故選B.23.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),D(0,0,