江蘇省連云港市灌南某中學(xué)2021-2022高三年級上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

灌南高級中學(xué)2021-2022高三年級第一學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（每題5分，8題共

40分）

1若集合A={0,1,3},S={x|x（x-3）＜0}則AD8=（）

A.（0,3）B.（0,3]C.{1,3}D.[0,3]

【答案】D

【解析】

【分析】求出A與8中不等式的解集確定出A與B,再求出A與8的并集.

【詳解】集合4={（）」,3},B={x|x（x-3）＜0）=（0,3）,

則—8=[0,3],

故選:D

2.已知角a的終邊經(jīng)過點P（—2,4）,則函數(shù)sina-cosa的值等于（）

A.述B.M/D.一氈

5553

【答案】A

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,從而可求出sina—cosa的值

【詳解】解：因為角a的終邊經(jīng)過點尸（一2,4）,

4，426-2V5

所以即"斤少==2,B5,(-2)2+425

所以sina-cosa=

5

故選：A

3.函數(shù)/'(x)=(x_g)cosx

(一萬4且XH0)的圖象可能為()

【答案】D

【解析】

【詳解】因為/(—X)=(—x+3cosx=—(x-L)cosx=—/(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A,B；取工=萬，

XX

則/(1)=(九一與COS7=一(乃一■-)<0,故選D.

717V

考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=gx2-91nx在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2］B.

C.(―8,2］D.(0,3］

【答案】A

【解析】

【分析】利用/(%)的導(dǎo)函數(shù)f(X),結(jié)合/(x)在區(qū)間［a—1,a+1］上的單調(diào)性列不等式組求得。的取值

范圍.

【詳解】由7(力=/*2一鄉(xiāng)也蒼〉>。),則/(向=彳_2=土二2,a>o),

2xx

當(dāng)xe(0,3)時，,f'(x)<0,則“X)單調(diào)遞減；

當(dāng)X€(3,+<O)時，f'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增,

67-1>0

又函數(shù)“X)在區(qū)間［aT,a+l］上單調(diào)遞減，所以,解得l<aW2,

。+1〉61—1

故選：A

3

5.已知函數(shù)f(x)=cosQr-％)-COS(Q?+X)+1,則函數(shù)/*)的最小正周期為()

7171-

A.—B.—C.1D.27r

42

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式化簡/(x)，再根據(jù)丁=而即可得出答案.

【詳解】由題意得/(x)=cos(^-x)-cos(—7T+x)+\=-cosx-sinx+1=-V2sinx+—+1

2I4；

在由7=育=2%

故選：D

6.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+^],若a為銳角且/(￡■)=■!，則/(a+總的值為()

48c242448

A.-----B.------C.—D.

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】由/[f]=|得sin[a+V=],結(jié)合a為銳角可得cos[a+"=，然后利用二倍角公式

可得/a+—乃.

n

【詳解】因為/(萬)=+=s，所以sin(a+w3

5

因為a為銳角，且sin(a+巴)=3＜q=sin工，所以0＜二+工＜工,

I6J52363

,.(乃1r乃)彳3448

=4sina+—cosa+—=4x—x—=——.

I6JI6)5525

故選：D.

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/(力=卜一加+1|-2,若正實數(shù)。、匕滿足〃a)+/(%)=根，則2+之的

ab

最小值為()

A8R8+4石086n2河

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由偶函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得相，由此得到/(x)解析式；由已知等式可得到。+必=5,根據(jù)

、

-2+-3=-1,2-+-3\(a+2b),配湊出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得結(jié)果?

ab5\abJ

【詳解】為R上的偶函數(shù)，.?J(—x)=/(x),即卜工-加+1|-2=|x-m+l|-2,

即(-x-m+l)-=(x-m+1)~,整理得：2(m-l)x=-2(/n-l)x,=

.?J(x)=|x|-2,.?./(a)+/(如=a-2+?一2=1,即a+2Z?=5；

23]_32/7)=1|8+—4b3a8+4月4b3。

—+-+Cl++一>-8+2(當(dāng)且僅當(dāng)——=工

ab5iba5ab

即2。=6。時取等號);

,23的且[/-j-si8+4\/3

??—F—的最小值為-------

ab5

故選：B.

8.已知定義在［Le］上的函數(shù)〃力滿足且當(dāng)xej,1］時，/(x)=xhrc+l,若方程

e1x/e

/(x)—gx—a=0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()

1,11,3

A-(-'1一一JB-Q-e2'1一丁］

3ee1c2e

111?3

C(2，1f---JD-(―?1--J

l-ee3e2e

【答案】B

【解析】

【分析】由題設(shè)，求分段函數(shù)/(X)的解析式并畫出圖像，將方程有三個不同實根轉(zhuǎn)化為/(X)和

)，=5%+”有三個不同的交點問題，由數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點情況，進(jìn)而求參數(shù)。的范

ffl.

【詳解】?..當(dāng)xepl時，/(x)=xlnx+l,

.?.當(dāng)xe(l,e］時，==-Jlnx+1,

x/nx+l,xe-,1

綜上，/(%)=<Le-

——ZA2X+l,XG(l,el

、X

當(dāng)xe1,1時，/,(x)=l+lnx>0,則/(x)在1,1上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(l,e］時，/,(x)=-^(lru-l)<0,則/(x)在(l,e］上單調(diào)遞減，

???/(x)-gx-a=O有三個不同的實數(shù)根，

二“X)的圖像和直線y=；x+a有三個不同的交點，

作/(x)的大致圖像如圖所示，

當(dāng)直線y=gx+a和/(x)的圖像相切時，設(shè)切點為(毛,%)，

1」J-11

工/(毛)=1+1nAi)=5，可得面二^葭Jo=—T,21代入y=jX+Q，

乙L乙

可得［一；，

'Ta=\-e2

1fl1A3

當(dāng)y=—過點一,1—時，a-\-----,

2\ee)2e

(二3'

由圖知，實數(shù)〃的取值范圍為1—62,1—.

I2e」

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：將方程有三個不同實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個不同交點問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想及導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)圖象的交點情況，求參數(shù).

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分

9.己知命題〃：/+3%一4<0；命題q：2ox-l<0.若，是q的充分不必要條件，則實數(shù)。的值是()

11

A.——B.IC.：D.0

22

【答案】CD

【解析】

【分析】先將命題化為最簡形式，再代入選項中的值判斷即可.

【詳解】對于P：-4<x<l；對于q:2辦<1.

對于A,當(dāng)“=—?!?時，q-.x>-\,P是4的既不充分也不必要條件，故A錯誤；

2

對于B,當(dāng)。=1時，q:x<g,"是4的既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C,當(dāng)。=,時，q：x<l,P是夕的充分不必要條件，故C正確；

2

對于D,當(dāng)。=0時，q：R,。是夕的充分不必要條件，故D正確.

故選:CD

10.若定義域為R的函數(shù)/(x)在(4,+co)上為減函數(shù)，且函數(shù)y=/(x+4)為偶函數(shù)，則()

A./(2)>/(3)B./(2)=/(6)

C.〃3)=/(5)D./(3)>/(6)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)條件，分析函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，再根據(jù)的性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】因為/(x+4)是偶函數(shù)，所以“X)的圖像關(guān)于直線x=4對稱，

即當(dāng)時，“X)單調(diào)遞增，當(dāng)xw(4,+e)時，單調(diào)遞減，

在x=4處取得最大值；

對于A,2,3e(-o),4),3>2,.-./(3)>/(2),錯誤；

對于B,|4—2|=|6—4|=2,/(2)=/(6),正確；

對于C,|3—4|=|5-4|=1,/(3)=/(5),正確；

對于D,/(3)=/(5),5,6?4,”),6>5,〃6)</(5)=/(3),正確；

故選：BCD.

11.函數(shù)y=而抽(的+夕)(4＞0,。＞0,0＜夕＜兀)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則().

A.該函數(shù)的解析式為y=2sin(gx+^)

B.該函數(shù)圖象的對稱中心為(也一三,0),keZ

(5兀兀、

C.該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是3E—7,3也+1,k&z

D.把函數(shù)y=2sin(x+g)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的|■倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)圖

象

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換規(guī)律逐項分析即得.

2兀(兀、

【詳解】由題圖可知，A=2,周期T=——=4兀一;=3兀，

co\4

所以。=2

則y=2sin

3

因為當(dāng)”號時,y=2sin]gx：+")=2,Bpsinf-^-+^j=1,

TT

所以％+e=5+2E,Z￡Z,即0=§+2EkwZ,

TT

又o<e<7t,故夕=一從而y=2sin故A正確;

271713

令一xH—=krc,keZ,得尤=---1—kit,keZ,故B錯誤;

3322

jr2717r

令——+2fcrW—x+—W—+2E,keZ,

2332

JJI兀

得-----—F3/CJIkeZ,故C正確;

449

函數(shù)y=2sin（x+方）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的|■倍，縱坐標(biāo)不變，

可得到y(tǒng)=2sin（：x+1）,故D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)函（力=3,二則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（X）在（0,兀）上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/（X）在（-兀,0）上有極小值

C.方程〃x）=g在（一兀,0）上只有一個實根

D.方程?。?5+詈在上有兩個實根

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得函數(shù)/（X）的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)“X）的單調(diào)性，可判定A,由函數(shù)“X）的單調(diào)性和極值的概

念，可判定B,利用函數(shù)/（X）的單調(diào)性，極值、端點的函數(shù)值，可判定C：將非常的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)

圖象交點的個數(shù)，結(jié)合圖象，可判定D,即可得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)/（x）=sm；+l,可得尸（x）=cosx；mxT,

當(dāng)即cosx-sinx-l>0,所以cos（x+苧）>連，

Jr37r37rTT

所以2k7i—<xH---<2kjiH----,k￡Z,解得2女乃<x<2k肛火￡Z,

4442

jr37r

當(dāng)后=（）時，<%<0；當(dāng)k=1時，—<x<2萬，

22

當(dāng)/'（x）v。，即cosx-sinx-lv。，所以cos（x+常），

57r37rTCTI

所以2—<x+--V2ATT+—,ZWZ,解得2%左一2"VX<2ATT、keZ,

4442

437r

當(dāng)攵=0時，-2%<x<---；當(dāng)左=1時，0<xv—,

22

所以當(dāng)xe（0,0時，/'（x）<0J（x）單調(diào)遞減，所以A正確；

又因為當(dāng)xe(—萬,一時，/'(x)<0,當(dāng)XG(一萬,0)時，/'(x)>0,

所以/(X)在無=一/出取得極小值，所以B正確；

因為/(一萬)="“f(一多=OJ(O)=1，所以〃x)=g在(一肛。)上不只有一個實數(shù)根，所以C不正

確；

E、，、e\1cosxsinx+11cosx

因為方程/(x)=r+-^,a即rl---=—+-^,

ee

sinxcosxUeex

n即n——=-----，所以tanx=一，

exx

正切函數(shù)了力值在(一/,01(0,5]為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由函數(shù)丁=《，可得>'=史9二1,

XX"

當(dāng)xe(-■1,0%口xe(O,l)時，/<0,當(dāng)xe1],?時，/>0,

且當(dāng)時，y=￡<0,作出兩函數(shù)大致圖象，如圖所示，

由圖象可得，當(dāng)》€(wěn)(-5,0)口(0,5],函數(shù)y=tanx與y=J的圖象有兩個交點，

所以D正確.

故選：ABD.

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)的方法：

(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式/'(x)>0或/'(x)<0,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)方程/'(x)=0可解時，解出方程的實根，依據(jù)實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間

/'(X)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)/'(%)結(jié)構(gòu)特征，利用圖像與性質(zhì)確定了'(X)的符

號，從而確定單調(diào)區(qū)間.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)y的定義域為

【答案】（0,1]

【解析】

x>0

【詳解】由題意得｛log/N0：，解得定義域為（01]?

2

2sin2a

14.曲線y=lnx——在工=1處的切線的傾斜角為a,則——-------

x3cos5a-I-sin-a

【答案】\

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)幾何意義求得tana,再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解

12

【詳解】根據(jù)已知條件可知：/（工）二一+），

XX

2

因為曲線y=lnx——在x=l處的切線的傾斜角為a，

x

所以tana=/（1）=1+2=3,

sin2a2sinacos<72tana2x31

因為---------------=----------------=---------=-----=一

3cos2a+sin2a3cos2<z+sin2a3+tan2a3+322

故答案為：y

15.若函數(shù)/（工）=4面（5+0）（4>0,切>0）的圖像與直線了二加的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是今

2,斗，則實數(shù)。的值為.

JJ

【答案】4

【解析】

【分析】

由題可分析函數(shù),。）與丁=〃，的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為T,即7=丁-二=—，進(jìn)而

3669

求解即可

【詳解】由題意得函數(shù)/（X）的最小正周期T=—1—，解得刃=4

3669

故答案為：4

【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應(yīng)用，考查求正弦型函數(shù)中的。

'-x2+2cox,x<1I

16.已知函數(shù)/（x）={alnx

-----,x>I

①當(dāng)x<l時，若函數(shù)/（X）有且只有一個極值點，則實數(shù)〃的取值范圍是；

②若函數(shù)“X）的最大值為I,則。=.

【答案】①.（—,1）②-I

【解析】

【分析】①首先求出當(dāng)X<1時"X）的極值點，根據(jù)題意即可得到a的取值范圍.

②分別討論當(dāng)a=0,a<0和a>0時，求出函數(shù)的最大值，比較即可求出。的值.

【詳解】①當(dāng)x<l時，f（x）=-x2+2ax.

f'(x)=-2x+2a,令/'(x)=0,解得x=a.

因為函數(shù)f（x）在（TO,I）有且只有一個極值點，所以a<l.

—dx<1

②當(dāng)4=0時，/（X）=\,此時￡.。）=0,舍去.

0,x>1

當(dāng)"0時,

alnx

x>1,/（X）<0.

x

2222

x<1,f(x)=-x+2ax=-(x-a)+a.fmM.(x)=/(?)=a.

所以片=1，因為。<0,所以a=-l.

當(dāng)a>0時,

/(x)皿J，(x)=^3

x>l,

X廣

令/'（x）=0，解得。=仁

xe[l,e),f\x)>0,f(x)為增函數(shù)，

xe(e,+°o),f'(x)<0,/(x)為減函數(shù).

Znax(x)=/(e)=q.

e

當(dāng)xvl時，f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以,

（1）當(dāng)OvaVl時，/max（X）=/（〃）=白？;

與a1、2

當(dāng)/之一時，即。2—，/nax(x)=a=l,解得。=1(舍去).

ee

當(dāng)時，即0＜。＜1,￡m。)=2=1,解得a=e(舍去)；

eee

(2)當(dāng)時，f(x)＜2a-l,只有工而(x)=/=l且222a-1,這樣的。不存在.

綜上所述：a--\.

故答案為：①(-8,1)；②-1.

【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的極值點和最值，分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.設(shè)函數(shù)f(x)=cosx.sin(x+W)-Gcos2x+手，xe[O,2jt].

TT

(1)求人十；

(2)求函數(shù)“X)所有零點之和.

【答案】(1)--

4

(2)5

3

【解析】

17c7T

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變化公式化簡可得/(x)=5sin(2x—§),再求解/(內(nèi))即可；

1yr

(2)根據(jù)零點的表達(dá)式，求出/(x)=5sin(2x—§)在xe[0,2兀]上的所有零點再求和即可.

【小問1詳解】

=—sin(2x--),

23

【小問2詳解】

1兀

令/(幻=0,則一sin(2x——)=0,

23

.?.2x-g=2E或2X-1=2E+TI,[keZ),

即x=Z兀+?■或x=E+空，(keZ),

63v7

XG[0,2^1,

0^

或

X-271或

=一

6635J-I

^3

兀+-571

771+一

6-6一33-131

函數(shù)/（龍）所有零點之和--兀

3

18.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且20sinA-氐=0.

（I）求角B的大小：

（II）求cosA+cos3+cosC的取值范圍.

n（V3+13-

【答案】（I）B=（II）——

3（22

【解析】

【分析】（D方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；

（II）方法二：結(jié)合（I）的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形

為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【詳解】（I）

［方法一］:余弦定理

（Cn2R2

由2bsinA=ga，得sin~A=—=~^r，1-cos2A-.

I4b24"

h2A.2-/I2

結(jié)合余弦定cosA=-----R-----,

2hc

國+c2_*23a2

??1-=T?

（2bcJ4b2

即4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c?,

即a4+b4+c4+a2c2-2a2b2-2b2c2=0，

即a4+b4+c4+2a2c2一2a2b2-2b2c2=a2c2，

即+02_從)2=(ac)2,

?.二ABC為銳角三角形，.??/+/—/>o，

a1+c2-b1=ac>

?ci~+c~-b"1

所以cosB=---------=-

2ac2

rr

又8為二ABC的一個內(nèi)角，故8=§

［方法二］【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角

由2/?sinA=，結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA「.sin8=^^

2

rr

二ABC為銳角三角形，故3=—.

3

（II）［方法一］:余弦定理基本不等式

TT

因為8=§,并利用余弦定理整理得〃=/+C.2一ac，

即3ac=(a+c)2-b2.

'a+c]2

結(jié)合acW,得罕(2.

、亍,b

TTO.+CL

由臨界狀態(tài)（不妨取A=—）可知一-=V3.

2b

而,ABC為銳角三角形，所以

h

M_"2a2+b2-c1

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=------:-------+

2hcrlab

代入化簡得cosA+cosB+cosC=1"十°

b2=a2+c2—ac，+1

2b

G+13

故cosA+cosB+cosC的取值范圍是

2'1'

［方法二］【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合（1）的結(jié)論有:

二sin271

62

0<-7T-A<-

32TV.7T7C.7V2乃

由，可得:—<A<—,一<A+一<——,

CA兀6236

0<A<—3

2

則sin(A+AwsinA+&71+%x/3+l3

\6J622，2.

V3+13-

即cosA+cosB+cosC的取值范圍是

2'2'

【整體點評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得

a2+c2-b2=ac^運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定

為最優(yōu)解；（H）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接

使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.

19.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c==45。.

（1）求sinC的值；

4

（2）在邊BC上取一點O,使得cosZAOCu-g,求tan/DAC的值.

【答案】（1）sinC=--;（2）tunADAC=—.

511

【解析】

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得〃，利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一：根據(jù)cosNADC的值，求得sinNADC的值，由（1）求得cosC的值，從而求得

sinADAC,cosADAC的值，進(jìn)而求得tanADAC的值.

【詳解】（1）［方法一］:正余弦定理綜合法

由余弦定理得〃=/+c2—2accos8=9+2—2x3x及xJ=5，所以b=6.

2

.cb.「csinB<5

由正弦定理得----=-----nsinC=------.

sinCsinBb5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

過點A作AEJ.BC,垂足為E.在RtAABE中，由。=&,8=45?,可得AE=BE=1,又。=3,所以

EC=2.

在RtACE中，AC=yjAE2+EC2=\［5>因此sinC=；=g-

，55

（2）［方法一］:兩角和的正弦公式法

471——；------3

由于cosNADC=--,ZADC€—,所以sinNA0C=cos2ZADC=-

525

由于NAOCe■，萬），所以所以cosC=Jl-sin?C=冬叵

所以sinNZMC=sin(萬一N/MC)=sin(ZADC+ZC)

37[s4、42石

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=-x-----+x—二---

555525

由于“4河04，所以cosZDAC=J1-sin?NDAC=

25

sinND4C2

所以tanADAC=

cosZDACTT

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

44

在Q）的方法二的圖中，由cosN4DC=-一,可得＜：05乙4?！?=（：05（）-224￡）（7）=-（：05//4。。=—

55

從而sinNDAE=cosZADE=-,tanNDAE=〃)AE=4

5cosZDAE3

EC

又由(1)可得tan/E4C=——=2,所以

AE

tanZEAC-tan/EAD_2

tanADAC=tan(Z￡4C-ZEAD)=

1+tanZEAC-tanZEAD11

［方法三］:幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

r-4

在RtAADfi中，AD=------------=>/5,ED=ADcosZADE=—，

sinZADE3

所以CD=CE-DE=Z

3

在AACD中，由正弦定理可得sinADAC=—sinC=二一，

AD25

2

由此可得tan/D4C=—.

11

［方法四］:構(gòu)造直角三角形法

如圖，作AELBC,垂足為E,作。GLAC,垂足為點G.

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

2

由COSNA￡>C=-3,可得cos/AOE*=—,sinZADE=71-cosZADE=-

555

在RrAADE中，AD=———=-,DE=yjAD2-AE2=-,CD=CE-DE=-

sinZADE333

由Q）知sinC=@,所以在Rt^CDG中，DG=CDsinC=^-,CG=y/CD2-DG2,從

51515

而AG=AC-CG=口叵

15

DG2

在RtADG中，tan/D4G-=—.

AG11

所以ND4c=2.

11

【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得b=不，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。

角的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用

兩角和的正弦公式求得ND4c的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式

求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得ND4C的正弦值，進(jìn)

而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有ND4C的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很

優(yōu)美的方法.

20.如圖，在四棱錐P-A8CD中，附J_平面ABC。，PA=AB=BC^2,AD=CD,NABC=120°.

（1）求證：平面以0_平面尸80；

（2）若點〃為PB的中點，點N為線段PC上一動點，求直線MN與平面B4C所成角的正弦值的取值范

圍.

【答案】（1）證明見解析

V22近一

（2）---,----

87

【解析】

【分析】（1）設(shè)AC的中點為0,先證明由條件可得5。，2，從而可證明結(jié)論.

（2）由（1）可得。CJ.OD,以O(shè)C,。。所在的直線分別建立x軸和）,軸，過。點作平行于AP的直線為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)AC的中點為0，因為A3=8C,所以80_LAC,

因為AT>=C￡>,所以“）_LAC,所以B,O,。三點共線，

所以BDJ.4C，因為小，平面A3CD,3Ou平面ABC。，

所以BZ）_LB4，因為2414。=4,//<=平面尸4。,4。1平面24。,

所以BD_L平面PAC,因為8。三平面P8D,所以平面Q4CL平面P8D.

【小問2詳解】

由（1）可得OC_L。。，以O(shè)C,。。所在的直線分別建立x軸和），軸，過。點作平行于心的直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則C?,0,0）,P（-百,0,2）,B（0,-1,0）,

（也1A

因為M為的中點，所以M--y-,--,1,

22

7

UUllUUULI—

設(shè)PN=4PC(O</1<1)，所以N(2Wl—百,0,2—22),

所以MN=(2G/l-3,」』—2/l],

I22)

由（1）知8。，平面PAC,所以平面B4C的一個法向量為“=（0,1,0）,

設(shè)直線MN與平面PAC所成角為6,

UUU1

則sin6=3(搬洋喘^"

5S7

由y=16/V—10/1+2的對稱軸為4=,當(dāng)4=時，Xnin=

161616

當(dāng)彳=1時，乂儂=8

即當(dāng)0W4W1時，<>/16A2—10/1+2<2>/2，所以—/W丁

482V1622-102+27

所以在wsinew"，

87

V22幣一

即直線MN與平面PAC所成角的正弦值的取值范圍為—

21.為了給學(xué)生提供優(yōu)雅的學(xué)習(xí)環(huán)境，某學(xué)校決定在夾角為30。的兩條道路￡6、研之間建造一個半橢圓

形狀的小花園，如圖所示，A6=2百米，。為AB的中點，。。為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建

造一個三角形區(qū)域OMN,作為生物課學(xué)習(xí)植物的基地.其中M,N在橢圓上，且MN的傾斜角為45。，交

0。于G.

(1)若OE=3百米，為了不破壞道路EF,求橢圓長半軸長的最大值；

(2)若橢圓的離心率為且，當(dāng)線段0G長為何值時，生物學(xué)習(xí)基地.QWN的面積最大？

2

【答案】(1)巫

3

(2)線段0G長為巫百米

2

【解析】

【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，利用直線與橢圓相切去求橢圓長半軸長的最大值；

(2)利用設(shè)而不求的方法先求得面積的表達(dá)式，再對其求最大值即可解決.

【小問1詳解】

以點。為坐標(biāo)原點，。。所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)橢圓方程為[+與=l(a>b>0),因為OE=3,則E(0,3),

又EB、EF夾角為30°,所以直線E