核心考點05 等腰三角形-【滿分全攻略】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

核心考點05等腰三角形

目錄

一.等腰三角形的性質(zhì)（共16小題）

二.等腰三角形的判定（共2小題）

三.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共12小題）

四.等邊三角形的性質(zhì)（共9小題）

五.等邊三角形的判定（共2小題）

六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）

U考點考向

1.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

（2）等腰三角形性質(zhì)2：

文字：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）

圖形：如下所示：

'若N1=N2,則8。=CD,AD1BC;

符號：在AABC中，AB=AC,＜若==

若AO1BC,則Z1=Z2,BD=CD.

2.等腰三角形的判定

（1）等腰三角形的判定方法1：（定義法）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

（2）等腰三角形的判定方法2：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；（簡稱：等角對等邊）

3.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；

（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個內(nèi)角等于60°；

（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

4.等邊三角形的判定

（1）等邊三角形的判定方法L（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形；

（2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形：

（3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

u考點精講

一.等腰三角形的性質(zhì)（共16小題）

1.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）性質(zhì)"等腰三角形的三線合一”，其中所指的“線”之一是（）

A.等腰三角形底角的平分線

B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中線

D.等腰三角形頂角的平分線

【分析】根據(jù)等腰三角形的“三線合一”是指頂角平分線，底邊上的高，底邊上的中線互相重合，逐個選

項進(jìn)行分析即可得出結(jié)果.

【解答】解：等腰三角形的“三線合一”是指頂角平分線，底邊上的高，底邊上的中線互相重合，

只有選項。符合條件，

故選：D.

【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵，比較

簡單.

2.（2022春?嘉定區(qū)校級期末）等腰三角形的頂角為a,那么這個等腰三角形一條腰上的高與底邊的夾角為

（）

A.aB.2aC.D.900-a

2

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可.

【解答】解：如圖：

，NC=NABC=/I8O。_a)=9o0-j-a>

VBD1AC.

???NA5￡>=90°-a,

，NO8C=90°-ya-（90°-a）[a，

故選：c.

【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)2,關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答.

3.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，已知NA=13°,AB=BC=CD,那么NBCC=128度.

ABD

【分析】由4B=8C可知/BCA=NA=13°,由三角形外角性質(zhì)得/。8。=/4+/8（7。=26°,再由BC

=C￡>可知，△BCO為等腰三角形，由內(nèi)角和定理求NBCZX

【解答】解：：人⑶二鳥。，

.,.NBC4=/A=13°,

AZCBD=ZA+ZBCD=26a,

又，：BC=CD,

：.ZCBD=ZD=26°,

/.ZBCD=1800-ZCBD-ZD=128".

故答案為：128.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)“等邊對等角"，外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理求解.

4.（2022春?嘉定區(qū)校級期末）等腰三角形的周長是50,一邊長為10,則其余兩邊長為20,20.

【分析】要確定等腰三角形的另外兩邊長，可根據(jù)已知的邊的長，結(jié)合周長公式求解，由于長為10的邊已

知沒有明確是腰還是底邊，要分類進(jìn)行討論.

【解答】解：???等腰三角形的周長為50,

.?.當(dāng)10為腰時，它的底長=50-10-10=30,10+10V30,不能構(gòu)成等腰三角形，舍去；

當(dāng)10為底時，它的腰長=（50-10）+2=20,10+20>20,能構(gòu)成等腰三角形，

即它的另外兩邊長分別為20,20.

故答案為：20,20.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；注意養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)

慣，把不符合題意的舍去.

5.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，G是直線HA上的點，若HNHBF,FH=FG,NHFG=46°,則/

HFB=113度.

HGA

FB

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出N”，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出

【解答】解：-：FH=FG,ZHFG=46°,

：.ZH=ZFGH^1.（180°-NHFG）=67°,

2

\'HA//BF,

AZ//FB=180°-Z//=113°.

故答案為：113.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理已經(jīng)平行線的性質(zhì).掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2022春?楊浦區(qū)校級期中）若△ABC中，AB=AC,且三角形的周長為20,那么底邊BC的取值范圍是0

<x<10.

【分析】設(shè)BC=x,根據(jù)等腰三角形以及三角形的周長可知AB=AC=型工，根據(jù)等腰三角形各邊長為正

2

數(shù)且三角形的三邊關(guān)系，即可求出8C的取值范圍.

【解答】解：設(shè)BC=x,

\'AB=AC,且三角形的周長為20,

：.AB=AC=?^L,

2

Vx>0,鈍N_>0且20-x>x,

2

解得OVxVIO,

故答案為：0〈x<10.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?靜安區(qū)期中）等腰三角形的兩邊長分別為5c,"和9c〃?，則該等腰三角形的周長為19或23

cm.

【分析】等腰三角形兩邊的長為5c機和9cm具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情

況討論.

【解答】解：當(dāng)腰為9c機時，則三角形的三邊長分別為9?！?、9cm、5cm,滿足三角形的三邊關(guān)系，周長為

23所；

當(dāng)腰為5cm時，則三角形的三邊長分別為5。小5cm、9cm,滿足三角形的三邊關(guān)系，周長為195?；

綜上可知，等腰三角形的周長為195?或23cm.

故答案為：19或23.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.應(yīng)

向?qū)W生特別強調(diào).

8.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知一個等腰三角形，其中一條腰上的高與另一條腰的夾角為25。，則該

等腰三角形的頂角為65°或115°.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù).另一種情況

等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù).

【解答】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，

'：BDLAC,NAB￡>=25°,

=65°,

即頂角的度數(shù)為65°.

AZBAD=65°,

.?.NBAC=115°.

故答案為65°或115°.

【點評】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，認(rèn)真的進(jìn)行計

算.

9.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則頂角的度數(shù)可能為50

°或130°.

【分析】等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況,

所以舍去不計，另外兩種情況可以根據(jù)垂直的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求出頂角的度數(shù).

【解答】解：①當(dāng)為銳角三角形時，如圖，

高與右邊腰成40°夾角，由三角形內(nèi)角和為180°可得，頂角為50°；

②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖，此時垂足落到三角形外面，

因為三角形內(nèi)角和為180°,

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為50。，

所以三角形的頂角為130°.

故答案為50°或130°.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，進(jìn)行分類討

論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

10.（2022春?閔行區(qū)校級期末）等腰三角形的對稱軸是底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）所在的

直線.

【分析】本題根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是底邊上的高所在的直線，因為等腰三角形底邊上

的高，頂角平分線，底邊上的中線三線合一，所以等腰三角形的對稱軸是底邊上的高（頂角平分線或底邊

的中線）所在的直線.

【解答】解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的對稱軸是底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）所

在的直線.

故填底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱圖形的知識；對兩個性質(zhì)的熟練掌握是正確解答本題的關(guān)

鍵.

11.（2022春?閔行區(qū)校級期末）若等腰三角形的邊長分別為3和6,則它的周長為15.

【分析】因為3和6不知道那個是底那個是腰，所以要分不同的情況討論，當(dāng)3是腰時，當(dāng)6是腰時等.

【解答】解：當(dāng)3是腰時，邊長為3,3,6,但3+3=6,故不能構(gòu)成三角形，這種情況不可以.

當(dāng)6是腰時，邊長為6,6,3,且3+6>6,能構(gòu)成三角形故周長為6+6+3=15.

故答案為：15.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩邊相等，以及三角形的三邊關(guān)系，兩個小邊的和必

須大于大邊才能組成三角形.

12.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，已知在三角形A8C中，AC=AB,過點C作AB的平行線。E,證明:

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：

\'AB//DE,

:.NB=NBCE,

：.ZACB=ABCE,

平分NACE.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=f>,P是BC上任意一點，PC_L4B于點

D,PE1.AC于點E,若△ABC的面積為27,問：PD+PE的值是9.

【分析】可連接AP,由圖得，SABC=SAHP+SACP,代入數(shù)值，解答出即可.

【解答】解：連接AP,

由圖可得，SAHC—SABP+SACP,

：P￡>_LAB于。，PEVACE,A8=AC=6,ZVLBC的面積為6,

二27=工X6XPD+1.X6XPE,

22

=3(PD+PE),

，P￡>+PE=9；

故答案為：9.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積

和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

14.（2022春?閔行區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,B。是△ABC的一條角平分線，若NB￡）C=

72°,則NA的度數(shù)為36°.

A

BC

【分析】根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可推出NA8C=NACB=2ND8C,再根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理可求得NOBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)不難求解.

【解答】解：是NA3C的平分線，

,ZABD^4DBC,

"：AB=AC,

二NABC=NACB=2NDBC,

VZDBC+ZACB+ZBDC=\SO0,ZBDC=12°,

/.3ZDBC+720=180°,

AZDBC=36°,

AZBAC=12°-36°=36°,

故答案為：36°.

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的綜合運用.

15.（2022春?閔行區(qū)校級月考）己知△ABC中，AB=AC,A力是BC邊上的高，BD=3cm,那么BC=6

cm.

【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可得到答案.

【解答】解：??,AB=AC,A。是BC邊上的高,

.,.BC=2BO=2><3=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查等腰三角形性質(zhì)：等腰三角形底邊上三線合一.

16.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分別為14c機和21a〃兩部分,

這個等腰三角形底邊的長為理5或7c.

一3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件求出腰長和底邊長，然后根據(jù)三邊關(guān)系進(jìn)行討論，即可得出結(jié)

論.

【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長是我根，底邊是yc/n.根據(jù)題意，得：

ZZ

x+y=14x+y=21

<崗，

尹=21y+y=14

解得：］;或產(chǎn)巴

位至1y=7

y3

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩組值都能組成三角形.

故答案為：絲。"或7c?".

3

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；解題中，因為兩部分的周長沒有明確所以首先要分兩種情況考

慮.最后一定要注意檢查是否符合三角形的三邊關(guān)系.分類討論是解題的關(guān)鍵.

二.等腰三角形的判定（共2小題）

17.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，在直角三角形ABC中，NACB=90°,NB=36°,點。、E在AB

上，如果8c=2。，NCED=NCDE,那么圖中的等腰三角形共有（）個.

C---------------B

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】先求出各個角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可求出答案.

【解答】解：：/ACB=90°,/B=36°,

AZA=54°,

?:BC=BD,

:.NCDB=NDCB=12°,

：.ZECB=36°,NACE=54°,

：.CE=BE,AE=CE,

.,.△BCD,ACD￡,△CEB,△ACE都是等腰三角形，

故選：B.

【點評】本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出各個角的度數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

18.（2022春?嘉定區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，且滿足8E=CD,Z1

=Z2,試說明△ABC是等腰三角形的理由.

【分析】易證NACO=N4BE,即可證明△ABEgZVIC。，可得4B=AC,從而得結(jié)論.

【解答】解：VZ1=Z2,

：.ZACD^ZABE,

在△ABE和△AC。中，

"ZA=ZA

■ZABE=ZACD

BE=CD

.?.△ABE絲△AC。（A4S）,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題

中求證△BCE之△CBO是解題的關(guān)鍵.

=.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共12小題）

19.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，NB、NC的平分線相交于凡過點尸作。E〃BC,交AB于。，

交AC于E,那么下列結(jié)論正確的是

①△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE：③△AOE的周長為A3+AC；④BD=CE.（）

A

D“E

RC

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì).

【解答】解：'：DE//BC,

：.NDFB=NFBC,NEFC=NFCB,

WF是/ABC的平分線，CF是NAC8的平分線，

，NFBC=ZDFB,NFCE=NFCB,

,：NDBF=NDFB,NEFC=NECF,

：.l\DFB,△FEC都是等腰三角形.

.'.DF=DB,FE=EC,KP<DE=DF+FE=DB+EC,

：./XADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯

角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵.

20.（2021春?松江區(qū)期末）下列判斷錯誤的是（）

A.等腰三角形是軸對稱圖形

B.有兩條邊相等的三角形是等腰三角形

C.等腰三角形的兩個底角相等

D.等腰三角形的角平分線、中線、高互相重合

【分析】根據(jù)如果一個圖形，沿著一條直線對折，兩邊的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖

形和等腰三角形的判定與性質(zhì)分別對每一項進(jìn)行分析即可.

【解答】解：4、等腰三角形是軸對稱圖形，正確；

8、兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，正確；

C、等腰三角形的兩腰相等，兩個底角相等，正確；

。、等腰三角形頂角的角平分線與底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，故本選項錯誤；

故選：D.

【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是軸對稱圖形、等腰三角形的性質(zhì)與判定，

熟練掌握有關(guān)性質(zhì)與定義是本題的關(guān)鍵.

21.（2021春?閔行區(qū)校級月考）如圖，已知OC平分NAO8,CD//OB,若?！?gt;=3?！埃瑒tCD=3cm.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NAOC=NBOC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NBOC=NOC。,

然后求出/AOC=N￡>C。，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CD=OD.

【解答】解：：OC平分/AO8,

，ZAOC=ZBOC,

'JCD//OB,

,NBOC=ZDCO,

：.乙AOC=ZDCO,

：.CD=OD=3cm.

故答案為:3.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖

是解題的關(guān)鍵.

22.（2021春噌陀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=36°,BO是△A8C的角平分線，則

圖中的等腰三角形共有（）

【分析】由BD是△ABC的角平分線，可得N48C=2N4B￡>=72°,又可求/ABC=/C=72°,所以△

ABC是等腰三角形；又乙4=180°-2乙4BC=180°-2X72°=36°,故=所以△ABD是等

腰三角形；由N￡>BC=NABO=36°,得NC=72°,可求NBOC=72°，故/BOC=/C,所以△8OC是

等腰三角形.

【解答】解：:B力是△ABC的角平分線，

AZABC=2ZABD=12°,

.../A8C=NC=72°,

...△ABC是等腰三角形…①.

ZA=180°-2NABC=180°-2X72°=36°,

：.ZA=ZABD,

.'.△ABD是等腰三角形…②.

,.,/OBC=NABO=36°,2c=72°,

:.NBDC=T1°,

：.ZBDC=ZC,

...△8OC是等腰三角形…③.

故圖中的等腰三角形有3個.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用

相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.

23.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC,/ACB的平分線CD交A8于。，DE//BC,S.DE

=6cn,如果點E是邊4c的中點，那么AC的長為12an.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NBCO=NACZ）,由平行線的性質(zhì)得/BCD=/E￡>C,最后根據(jù)等腰三角

形的判定與性質(zhì)可得答案.

【解答】解：的平分線CC交AB于Q,

：.ZBCD^ZACD,

'JDE//BC,

:.NBCD=NEDC,

：.ZACD=AEDC,

??DE=CE—6c/n,

???￡是AC中點,

??AC=2C￡=12cm.

故答案為：12.

【點評】此題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

24.（2021春?嘉定區(qū)期末）已知BO是△A8C的角平分線，E是邊AB上一點，DE//BC,如果。E=5,那

么BE=5.

【分析】利用角平分線的定義，找出相等角，利用平行線的性質(zhì)，內(nèi)錯角相等，進(jìn)行等量代換，找到在一

個三角形內(nèi)相等的兩個角，判定為等腰三角形，問題即可解決.

【解答】解：根據(jù)題意，畫出如下圖形：

B匕---------

?；BD是△ABC的角平分線，

：.ZABD^ZCBD,

'：DE//BC,

:.NBDE=NCBD,

：.NABD=NCBD,

為等腰三角形，

：.BE=DE=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行線性質(zhì)判定出角相等.

25.（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，已知△AOC的面積為4,AO平分NBAC,且AO_L8O于點。，那么△

ABC的面積為8.

【分析】延長B￡＞交AC于點E,則可知△ABE為等腰三角形，則SAAB。=SAADE,SABDC=SACDE,可得出S

AABC=2SAADC.

【解答】解：如圖，延長80交AC于點E,

?.?AO平分N5AE,ADLBD,

：.ZBAD=ZEADf/ADB=/ADE,

在△AB。和中，

<ZBAD=ZEAD

,AD=AD，

ZBDA=ZEDA

???△AB。g△ABD(ASA),

:?BD=DE,

：?S〉A(chǔ)BD=S4ADE，S叢BDC=SACDE,

/.S/、ABD+SABDC=SAADE+SKDE=S^ADC,

**?S/^ABC=2SAADC=2X4=8j

故答案為：8.

【點評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，由BO=DE得至USAABD=SAAPE,SMDC=SA°E是解題的

關(guān)鍵.

26.（2021春?崇明區(qū)期末）閱讀并填空（在空格內(nèi)直接填寫答案）：

如圖，已知△ABC中，8。平分/ABC,DE//CB,說明BE=OE的理由.

解：因為80平分NABC（已知）

所以NEBD=NDBC（角平分線的性質(zhì)）

因為￡>E〃CB（已知）

所以/OBC（兩直線平行內(nèi)錯角相等）

所以NEBD=NEDB（等量代換）

所以BE=DE（等角對等邊）

A

【分析】首先利用已知條件和角平分線的性質(zhì)，接著利用已知條件和內(nèi)錯角相等兩直線平行，最后利用等

式的性質(zhì)和等腰三角形的判定.

【解答】解：因為BO平分NABC（已知），

所以NEBD=NDBC（角平分線的性質(zhì)），

因為。E〃C8（已知），

所以/EOB=NOBC（兩直線平行內(nèi)錯角相等），

所以NEBD=NEDB（等量代換），

所以BE=DE（等角對等邊）.

故答案為：已知；角平分線的性質(zhì)；已知；兩直線平行內(nèi)錯角相等；等量代換；等角對等邊.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定，同時也利用了平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，比較簡單.

27.（2021春?普陀區(qū)校級期中）如圖，ZVIBC中，NB,/C的平分線相交于點F,過尸作￡）E〃8C,分別

交AB、AC于￡＞、E,若AB+AC=10,則ZVIDE的周長等于10.

【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△8OF和是等腰三角形，再由等腰三角形的性

質(zhì)得BD=DF,CE=EF,則△4OE的周長=A8+AC,從而得出答案.

【解答】解：平分NABC,

:./DBF=/CBF,

'JDE//BC,

：.NCBF=NDFB,

：.ZDBF=ZDFB,

：.BD=DF,

同理FE=EC,

：./\ADE^J^^z=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC=10,

故答案為：10.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì).正確地進(jìn)行線段的等量代換是解

決問題的關(guān)鍵.

28.(2021春?普陀區(qū)校級期中)如圖，△ABC中，DE//AC,EF//AB,NBED=NCEF,

(1)試說明△ABC是等腰三角形，

(2)探索A8+AC與四邊形AOEF的周長關(guān)系.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)可得/E4D=NF,NBAF=NE,進(jìn)而再通過角之間的轉(zhuǎn)化得出結(jié)論；

(2)由平行線的性質(zhì)可得尸，NBAF=NE,由于得到/C=NCEF=/BE。

=NB,于是得到EF=CF,DE=DB,即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)：Z)E〃AC

二NBED=NC,

'：EF//AB,

:.NCEF=NB,

NBED=ZCEF,

:./B=NC,

.?.△ABC是等腰三角形；

(2)A2+AC=四邊形ADEF的周長，

理由：-：DE//AC,

：.ZBED=ZC,

"JEF//AB,

:.NCEF=/B,

■:NBED=NCEF,

：.NC=NCEF=NBED=NB,

：.EF=CF,DE=DB,

：.AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=^m.^EFAD的周長.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在△ABE中，NEAC=N8,點C在BE上，A。平分NBAC,交

BC于點。，點尸是線段4力的中點，聯(lián)結(jié)E凡/AEF與/OE/相等嗎？請說明理由.

解：結(jié)論：/AEF=NDEF.

因為AC平分NBAC（已知），

所以/1=/2（角的平分線的意義）.

因為ZB=/E4C,（已知），

所以Nl+NB=N2+NEAC.（等式性質(zhì)）

而/I+N8（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和）,

ZEAD^Z2+ZEAC,

所以/ED4=/E4D（等量代換）.

所以EA=ED（等角對等邊）.

又因為AF=￡>/（線段中點的意義）

所以/AEF=NDEF（等腰三角形的三線合一）.

【分析】直接利用角的平分線的意義，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：結(jié)論：ZAEF=ZDEF.

因為平分NBAC（已知），

所以Nl=/2（角的平分線的意義）.

因為NB=/EAC,（己知），

所以N1+NB=N2+NE4c.（等式性質(zhì)）

而NED4=N1+/B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和），

ZEAD^Z2+ZEAC,

所以NED4=/E4￡）（等量代換）.

所以EA=ED（等角對等邊）.

又因為AF=CF（線段中點的意義）

所以（等腰三角形的三線合一）.

故答案為：NAEF=NDEF,Z1-Z2,Zl+ZB,Zl,NB,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角和，EA=ED,

等角對等邊，ZAEF=ZDEF,等腰三角形的三線合一.

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角，正確得出E4=E￡＞是解題關(guān)鍵.

30.（2021春?靜安區(qū)校級期末）己知：如圖，在△A8C中，ZABC=3ZC,Nl=/2,BELAE.

求證：AC-AB=2BE.

【分析】延長BE交AC于M,利用三角形內(nèi)角和定理，得出N3=N4,AB=AM,：.AC-AB=AC-AM=

CM.

再利用/4是△BCM的外角，再利用等腰三角形對邊相等，CM=8M利用等量代換即可求證.

【解答】證明：延長8E交AC于M

'：BE±AE,

：.NAEB=NAEM=90°

在△ABE中，

VZl+Z3+ZXEB=180°,

.\Z3=90o-Z1

同理，Z4=90°-Z2

VZ1=Z2,

AZ3=Z4,

：.AB=AM

\'BELAE,

:.BM=2BE,

：.AC-AB=AC-AM=CM,

VZ4是ABCM的外角

，Z4=Z5+ZC

VZABC=3ZC,Z.ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5

.\3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC

AZ5=ZC

:.CM=BM

：.AC-AB=BM=2BE

【點評】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是作好輔助線，延長BE交

AC于M,利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考查的知識點較多，是一道難題.

四.等邊三角形的性質(zhì)（共9小題）

31.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在△4BC中3,E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，

則ZBAC=120°

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出NB=/B4力=NC=NEAC=30°,進(jìn)而利用

三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解答】解：是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，

：.BD=DE=EC=AD^AE,N4￡>E=/AED=60°,

AZB=ZBAD=ZC=ZEAC=30°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=120°.

故答案為：120°.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

32.（2021春?閔行區(qū)校級月考）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三

角形ABC和正三角形CDE,A。與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點、Q,連接PQ.以

下五個結(jié)論：?AD=BE-,②PQ〃AE；③AP=BQ：?DE=DP-.⑤/AOB=60°.其中正確的結(jié)論的個數(shù)

是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對選項一一求證，判定正確選項.（根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證NOC8=60

°,由三角形內(nèi)角和外角定理可證NOPC>60°,所以O(shè)PKOE）

【解答】解：①AABC和均是等邊三角形，點A,C,E在同一條直線上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=/ACD=120°

二/XACD^/XECB

：.AD=BE,故本選項正確；

@V△ACQ也△EC8

：.ZCBQ^ZCAP,

又?.?/PCQ=/AC8=60°,CB=AC,

...△BCQg/MCP,

:.CQ=CP,又NPCQ=60°,

.?.△PCQ為等邊三角形，

二/QPC=60°=/ACB,

：.PQ//AE,故本選項正確；

③?.?NACB=NQCE=60°,

AZBCD=60°,

/./ACP=ZBCQ,

'：AC=BC,NDAC=NQBC,

：./\ACP^/\BCQ（ASA）,

：.CP=CQ,AP=BQ,故本選項正確；

④已知△ABC、△OCE為正三角形，

故/￡>CE=NBCA=60°=NDCB=60°,

又因為NQPC=/OAC+NBCA,ZBCA=60Q=NZ）PC>60°,

故。P不等于OE,故本選項錯誤；

△OCE為正三角形，

...NACB=NZ)CE=60°,AC=BC,DC=EC,

：.NACB+NBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

.?.△AC。/△BCE(SAS),

:.NCAD=NCBE,

：.NAOB=ZCAD+ZCEB^NCBE+NCEB,

■:NACB=NCBE+NCEB=6Q°,

ZAOB=60°,

故本選項正確.

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③⑤.

故選：C.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).需要學(xué)生將相關(guān)知識點融會貫通,

綜合運用.

33.(2022春?閔行區(qū)校級期末)小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m,n上測得/

AEG=20a,那么乙4。尸的度數(shù)是40°.

【分析】過A點作4P〃〃?，如圖，則〃〃AP,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/以E=20°,再利用等邊三角形的

性質(zhì)得到NBAC=60°,所以NBAP=40°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NADF的度數(shù).

【解答】解：過A點作AP〃/?,如圖，

：.n//AP,

：.ZPAE=ZAEG=20°,

???△ABC為等邊三角形，

AZBAC=60°,

/.ZBAP=-ZBAC-ZPAE=600-20°=40°,

'：PA//m,

：.ZADF^ZBAP=40Q.

故答案為40°.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，作必〃加是解決問題的關(guān)鍵.也考查了平行線的性質(zhì).

34.（2021春?普陀區(qū)校級月考）等邊三角形的面積為8e，則它邊長是_工&_.

【分析】作出等邊三角形邊上高，利用勾股定理可求出高的值，利用三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：如圖，作AD,8c于點

設(shè)AB=BC=AC=xf

則BD=」BC=L

22

在RtZXABO中，3加2也2=(2_(知2=容,

故邊長為x的等邊三角形的面積為工XxX?=8而,

22

解得：x=±4&,舍去負(fù)值，得x=4五,

故答案為：472.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出等邊三角形一邊上的高是解決本題的突破

點.

35.（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知直線“〃/2,等邊三角形ABC的頂點A、C分別在直線/1、/2上，如

果邊AB與直線/|的夾角Nl=26°,那么邊8C與直線/2的夾角N2=34度.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得N8AC=NBCA=60°,再由平行線的性質(zhì)得/1+/8AC+NBCA+N2=180

。，則Nl+N2=60°,即可求解.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

AZBAC=ZBCA=60°,

.直線h//l2,

...Nl+N8AC+/BCA+N2=180°,

.*.Zl+Z2=180°-60°-60°=60°,

VZ1=26°,

：.Z2=60°-26°=34°,

故答案為：34.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性

質(zhì)，證出Nl+N2=60°是解題的關(guān)鍵.

36.（2021春?崇明區(qū)期末）如圖，△AB。和△CB。都是邊長為6c機的等邊三角形，點￡是邊D4上的動點，

點F是邊0c上的動點.

（1）如果點E從點D出發(fā)，以\cmls的速度沿邊DA向點A方向運動；點廠從點C出發(fā)，以lcm/s的速度

沿邊CD向點D方向運動.當(dāng)點E到達(dá)點A時，兩動點均停止運動.試判斷運動過程中NEBF的大小是否

會發(fā)生變化？如果不變，請求出其大??？如果改變，請說明理由.

（2）如果點E從點D出發(fā)，以lcm/s的速度沿邊D4向點A方向運動；點F從點D出發(fā)，以2cmls的速度

沿邊DC向點C方向運動,到達(dá)點C后立即以原速度沿原路返回.當(dāng)點E到達(dá)點A時，兩動點均停止運動.問

當(dāng)點E運動多少秒時NEB尸=60°?

D

E

B

【分析】(1)利用SAS定理證明△BDE名△BCF,從而利用全等三角形的性質(zhì)分析推理；

(2)利用ASA定理證明△BCE之ABCF,然后利用全等三角形的性質(zhì)，并結(jié)合分類討論思想列方程求解.

【解答】解：(1)運動過程中/EB尸的大小不會發(fā)生變化，為定值60°,理由如下：

由題意可得，BD=BC=AD=CD=6,NBDA=NC=NCBD=60°,DE=DF,

在△/?￡>￡和△BCF中，

'BD=BC

<ZBDE=ZC>

DE=DF

.?.△BDE迫ABCF(SAS),

NDBE=ZCBF,

：.ZEBF=ZDBE+ZDBF=ZDBF+ZCBE=ZCBD=60°；

(2)當(dāng)NEBF=6Q°時，NEBF=NCBD=60°,

二ZDBE+ZDBF=ZDBF+ZCBE,

ZDBE=ZCBF,

在△8DE和△BCF中，

'/BDE=/C

<BD=BC，

ZDBE=ZCBF

.?.△BDE與ABCF(ASA),

：.DE=CF,

設(shè)點E的運動時間為f秒，則。E=f,DF=2t,CF=6-2t,

當(dāng)0WfW3時，f=6-2f,解得f=2,

當(dāng)3Vf這6時,t=2t-6,解得f=6,

綜上，當(dāng)點E運動2秒或6秒時，/EBF=60°.

【點評】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，掌握三角形全等

的判定，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵.

37.（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，在等邊aABC中，邊AB=6厘米，若動點尸從點C開始，按C-BfA

-C的路徑運動，且速度為1厘米/秒，設(shè)點P的運動時間為f秒.

（1）當(dāng)1=3時，判斷AP與8C的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)△PBC的面積為AABC面積的一半時，求f的值；

（3）另有一點。，從點C開始，按C-A-BfC的路徑運動，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點同時出

發(fā)，當(dāng)P、。中有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動.當(dāng)f為何值時，直線PQ把AABC的周長分成相等

的兩部分.

督■用圖1管用圖2

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的周長公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：⑴判斷：AP±BC,

理由如下：如圖1,

vr=3,

:.BP=CP=3,

"：AB=AC,

J.AP1.BC；

（2）當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時，點尸為AB中點或點P為AC中點，則CB+C尸=9或CB+BA+CP

—15）

/.t—9或f=15,

...當(dāng)△PBC的面積為△4BC面積的一半時，f的值為9或15；

（3）當(dāng)點尸在邊BC上，且點Q在邊AC上時，CP=t,CQ=\.5t

則t+1.5t=9,

?*.t—3.6,

當(dāng)點P在邊A8上，且點。在邊BC上時，BP=t-6,BQ=\.5t-12,

則f-6+1.5L12=9,

??t—10.8，

所以當(dāng)f為3.6或10.8秒時、直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.

圖1

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

38.（2021春?普陀區(qū)校級期中）如圖，在等邊△ABC中，點。為BC邊上的點，OEJ_BC交AB于E,DF

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NA=NB=60°,再由。ELBC交A8于E,。尸，AC于F得出/

BDE=NAFD=90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

AZA=ZB=60°.

'：DEVBC^tAB^-E,DFLACF,

：.ZBDE^ZAFD^90Q.

"：ZAED是△B/）E的外角，

AZAED=ZB+ZBDE=60a+90°=150°,

AZ￡DF=360°-ZA-ZAED-ZAFD=360°-60°-150°-90°=60°.

故答案為：60°.

【點評】本題考查的是等邊三角形，三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

39.（2021春?嘉定區(qū)校級期中）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△（；￡>￡

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為。（旋轉(zhuǎn)角0°<?<3600）,請?zhí)骄肯铝袉栴}：

（1）如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°<aW60°時，請寫出/BC。與/4CE的關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60°<0^120°時，請寫出/BCE與N4CD的關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)?！辍˙C時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

A

AA

E

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)或等邊三角形的定義可得結(jié)論：NBCD=NACE；

(2)根據(jù)角的和與差可得結(jié)論：ZBCE-ZACD^120°；

(3)在旋轉(zhuǎn)角0°<?<360°時，正確畫圖可得結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖2,NBCD=NACE,理由如下:

圖2

△ABC和△CDE是等邊三角形,

,NACB=/DCE=60°,

二ZBCD=NACE：

(2)如圖3,/BCE-NACQ=120°,理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：NBCD=NACE,

二NBCE-ZACD=ZACB+ZACD+ZDCE-ZACD=NACB+NDCE=120°；

(3)如圖4,當(dāng)。E〃BC時，a=60°；

圖4

如圖5,當(dāng)OE〃BC時，a=180°+60°=240°；

B

E

綜上，當(dāng)。E〃BC時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°或240°.

【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

五.等邊三角形的判定（共2小題）

40.（2022春?嘉定區(qū)校級期末）下列條件中，不能說明AABC為等邊三角形的是（）

A.ZA=ZB=60°B.ZB+ZC=120°

C.ZB=60°,AB=ACD.ZA=60°,AB=AC

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可得出答案.

【解答】解：A.；/4=/8=60°,

AZC=60°,

:.NA=NB=NC,

C./XABC是等邊三角形.

故A選項不符合題意；

B.VZB+ZC=120°,

AZA=60°,

.?.△ABC不一定是等邊三角形，

故8選項符合題意；

C.VZB=60°,AB=AC,

.?.△ABC是等邊三角形.

故C選項不符合題意；

D.VZA=60°,AB=AC,

/\ABC是等邊三角形.

故D選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，能熟記定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

41.（2021春?閔行區(qū)期末）在△A8C中，如果A8=AC,/A=/C,那么△ABC的形狀為等邊三角形.

【分析】可利用等腰三角形的判定，說明三角形的三條邊都相等，亦可利用等腰三角形的性質(zhì)，說明該三

角形的三個角都相等.

【解答】解：（法一）在△ABC中，?.?/An/C,

：.BA=BC.

5L'：AB=AC,

AB=AC=BC.

所以△ABC是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

（法二）在△ABC中，?：AB=AC,

：.ZB=ZC.

又?:NA=NC,

ZA—ZB—ZC.

所以△A8C是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵.

六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）

42.（2021春?普陀區(qū)校級期中）用一根長12c機的鐵絲圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長為

4_cm.

【分析】等邊三角形的三條邊相等，用12除以3就得這個三角形的邊長，由此可得答案.

【解答】解：12+3=4（cm）.

答：這個等邊三角形的邊長為4°九

故答案為：4.

【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵.

43.（2021春?普陀區(qū)校級期中）如果等腰三角形的頂角為60°